Students also viewed
- Baitapchuong 1 - chương 1
- Trung Ha - hihi
- De tham khao giua ky 1 toan 7 nam 2023 2024 truong thcs le quy don tp hcm
- On tap giua ky 1 toan 7 - Pratice makes perfect
- PHƯƠNG-ÁN-THÍ-NGHIỆM-PHẦN-CƠ-NHIỆT
- Ielts Speaking Forecast Q2 2023 Version 1
Related documents
- Bài tập Toán rời rạc Đồ thị
- Made 116 - Toán cho các nhà kinh tế[ tccnkt]
- 2022 HẠT NHÂN ĐỀ THI ĐAI HỌC CAO ĐẲNG CÁC NĂM HOC SINH
- Toan-roi-rac nguyen-viet-dong 3.tap-hop,-anh-xa,-phep-dem - [cuuduongthancong
- Bai tap cau truc roi rac
- Bai tap chuong 2 - CNTT
Preview text
CHƯƠNG 4. LÝ THUYẾT CHUỖI
4. Chuỗi số
Cho dãy số thực u u 12 , ,..., ,... un. Tổng vô hạn
12 1
... ni ... i
u u u u
được gọi là một chuỗi số.
Tổng n số hạng đầu tiên 12
1
...
n
n n i i
S u u u u
, gọi là tổng riêng thứ n.
Định nghĩa. Nếu lim n n
SS
ta nói chuỗi 1
i i
u
hội tụ và có tổng là S, ký hiệu
1
i i
uS
.
Ngược lại chuỗi gọi là phân kỳ.
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi
1
1
n nn [ 1]
.
Giải
1 1 1
lim lim ... 1 2 [ 1]
n n
S
nn
1 1 1 1 1 1
lim ... 1 2 2 3 nn 1
11
lim 1 11 n
.
Vậy
1
1
1
n nn [ 1]
.
Chuỗi hình học
0
1
,
n 1
n qq
q
; phân kỳ khi q 1.
Nếu q 1 thì
1
k n
nk
q q q
.
0
1
3
n
n
hội tụ;
0
5
3
n
n
phân kỳ.
Ví dụ. Tính tổng chuỗi
1.
1
3
4
n
n
2.
1
4
3
n
n
3.
1
4
3
n n
4.
1
1
3
n
n
5.
12
1
23
4
nn
n n
6.
1 1
22
3
n
n n
7.
21
4 2
2 [ 1]
3
nn
n n
8.
1
23 1
[ 1] 3
2
nn
n n
9.
1
2 2
2 [ 1]
3
nn
n n
10.
21
21 2
5 [ 1]
3
nn
n n
11.
1
21 2
34
2
n
n n
12.
3
2 2
2 [ 1]
3
nn
n n
Giải
1.
1
3
34
3
4 3
1
4
n
n
- Chuỗi
1
4
3
n
n
phân kỳ
3.
11
1
413
4 4. 2
331
1
3
nn nn
4.
1
1
113
341
1
3
n
n
5.
12
11
2 3 1 3
2. 9.
4 2 4
nn nn
n nn
11
13
29
24
nn
nn
13
24
2. 9.
13
11
24
2 9 29
6.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
n n n
n n n n n n n n n
11
2 1 1 2
3 3 3 3
n
n nn
12
2133
..
3312
11
33
1 2 1
3 3 3
Chuỗi
1
2
n nn 1
, 3
12
1
n n
cùng hội tụ
Chuỗi
1
2
n n 1
, 1
02
1
n n
cùng phân kỳ
Ví dụ. Xét tính hội tụ của chuỗi
1.
2 1
21
n 38
n
n
2.
5 1
71
n 51
n
n
3.
2
2 1
35
n [ 1]
n
n n n
4.
2 1
1
n ln
n
nn
5.
2 1
21
n 51
n
n
6.
3 1
21
n 1
n
nn
Tiêu chuẩn Cauchy. Cho chuỗi số dương an , giả sử
lim n n n
a
.
Nếu 1 thì chuỗi hội tụ. Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ.
Tiêu chuẩn D’Alembert. Cho chuỗi số dương an , giả sử
1 lim
n n n
a
a
.
Nếu 1 thì chuỗi hội tụ. Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ.
Ví dụ. Xét tính hội tụ của chuỗi
1.
1
1
21
n
n
n
n
2.
2
2 1
2 2 1
5 2 1
n
n
nn
nn
3.
2
3 1
1
n
n
n
n
4.
21
1 31
n
n
n
n
Hướng dẫn
1.
1
1
21
n
n
n
n
.
Tiêu chuẩn Cauchy
1
lim lim
11
2 1 2 1
lim 1 2
n n n n n n
n nn
n
a n
.
Nên chuỗi hội tụ.
2.
2
2 1
2 2 1
5 2 1
n
n
nn
nn
.
Tiêu chuẩn Cauchy
22
22
2
lim lim
2 2 1 2 2 1
5 2 1
im 1 2 1 55
l
n
n n n n n n
n n n n
nn
a nn
.
Nên chuỗi hội tụ.
3.
2
3 1
1
n
n
n
n
Tiêu chuẩn Cauchy
22
33
11
lim lim n lim 0 1
n
n n n n n
nn a nn
.
Nên chuỗi hội tụ.
4.
21
1 31
n
n
n
n
Tiêu chuẩn Cauchy
21 21 1 lim lim lim 1 1 3 1 93
n n
n
n n n n n n
nn a nn
.
Nên chuỗi hội tụ.
Tiêu chuẩn D’Alembert. Cho chuỗi số dương
an
, giả sử
1 lim
n n n
a
a
.
Nếu 1 thì chuỗi hội tụ. Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ.
Ví dụ. Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi
1.
1
5
51
n n
2.
1
2
73
n
n n
3.
1
1
3
n n
n
4.
1
[ 2]!
3
n n
n
Hướng dẫn
- Chuỗi
1
5
51
n n
, ta có
11
55
5 1 5 1
unn nn,u
,
1 1 1
5
51 5 1 1 lim lim lim 1 5515
51
n n n n n n n n n
u
u
chuỗi hội tụ.
2.
1 2 1 7
n n n
u lim u
chuỗi hội tụ
- Chuỗi
1
1
3
n n
n
có
11
12
33
nnnn
nn u ,u
,
1 1 1
2
3 2 3 2 . 131 3[ 1]
3
n n n n n n
n
u nn
u n n n
1 1 1 3
n n n
u lim u
chuỗi hội tụ.
- Chuỗi
1
[ 2]!
3
n n
n
có
Chuỗi đan dấu
1
[ 1]
n n n
a
, thỏa {}
n a là dãy giảm, lim 0 n n
a
thì chuỗi hội tụ.
Ví dụ. Xét tính hội tụ của chuỗi
1.
0
[ 1]
n
n
n
2.
2 0
[ 1]
n
n
n
3.
0 1
[ 1]
n
n
n
4.
3 0 2
[ 1]
n
n
n
5.
2
3 1
1 1 n 2
n n
n
6.
1
1
n
n
n n
7. 2
1
] 21
[
1 1
n
n
n
n
8.
2
1
1 [ 1] 5
n
n
n
n
Giải
1.
0
[ 1]
n
n
n
có
1
n a n
là dãy giảm và lim lim
1
0
n nn
a n
nên chuỗi
0
[ 1]
n
n
n
hội tụ.
2.
2 0
[ 1]
n
n
n
có 2
1
an n
là dãy giảm và 2 lim lim
1
n 0 nn
a n
nên chuỗi 2 0
[ 1]
n
n
n
hội tụ.
Định nghĩa.
- Chuỗi n
a gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
n
a hội tụ.
Ví dụ.
1.
n
a =
2 0
[ 1]
n
n
n
, có chuỗi an = 2
0
1
n n
3 0
[ 1]
n
n
n
; 4
0
[ 1]
n
n
n
hội tụ tuyệt đối.
- Chuỗi n
a hội tụ, chuỗi
n
a phân kỳ thì chuỗi
n
a gọi là bán hội tụ.
1.
0
[ 1]
n
n
n
hội tụ theo Leibniz; chuỗi
0
1
n n
phân kỳ nên chuỗi
0
[ 1]
n
n
n
bán hội tụ.
0 1
[ 1]
n
n
n
; 3
0 2
[ 1]
n
n
n
bán hội tụ.
Định lý 4. Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.
Ví dụ. Xét tính hội tụ, hội tụ tuyệt đối của các chuỗi sau
1.
1
1
1
[ 1]
n
n n
2.
1
1
1
[ 1]
21
n
n n
3.
1 3 1
1
[ 1]
1
n
n n
4.
1 2 1
1
[ 1]
n
n n
Hướng dẫn
1.
1
1
1
[ 1]
n
n n
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz,
1
11
11
[ 1]
n
nnnn
phân kỳ. Chuỗi bán
hội tụ.
2.
1
1
1
[ 1]
21
n
n n
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz,
1
11
11
[ 1]
2 1 2 1
n
nnnn
phân kỳ. Chuỗi bán hội tụ.
3.
1 3 1
1
[ 1]
1
n
n n
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz,
1 33 11
11
[ 1]
11
n
nnnn
phân
kỳ. Chuỗi bán hội tụ.
4.
1 2 1
1
[ 1]
n
n n
hội tụ tuyệt đối vì chuỗi
1 22 11
11
[ 1]
n
nnnn
hội tụ.
Tiêu chuẩn Cauchy. Cho chuỗi số bất kỳ n
a , đặt
lim n n n
a
.
Nếu 1 thì chuỗi hội tụ [tuyệt đối]. Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ.
Ví dụ. Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi 2
0
2
1
[ 1]
n
n
n
n
n
Hướng dẫn
21 1 2 2 1 11 11
lim lim lim lim 1
n n n n n
n n n n n n n
nn e nn
a n
Nên chuỗi phân kỳ.
Tiêu chuẩn D’Alembert. Cho chuỗi số bất kỳ n
a , đặt
1 lim
n
n n
a
a
.
Nếu 1 thì chuỗi hội tụ [tuyệt đối]. Nếu 1 thì chuỗi phân kỳ.
4. CHUỖI LŨY THỪA
Định nghĩa. Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
0
ni , n
n aax
.
Định lý 4. Với mọi chuỗi lũy thừa
0
n n
n a x
, tồn tại số R, [ 0 R ] sao cho chuỗi
0
n n
n a x
hội tụ tuyệt đối khi xR , phân kỳ khi xR .
- Số R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi.
- Miền hội tụ của chuỗi là khoảng hội tụ [ RR , ] và sự hội tụ tại hai điểm xR .
Định lý. Cho chuỗi lũy thừa
n
axn , giả sử
lim n n n
a
hoặc 1 lim n n n
a
a
thì bán kính hội tụ
1
R
. Khoảng hội tụ là [ RR , ].
Ví dụ. Tìm miền hội tụ của chuỗi
1.
1 3
n
n
x
2.
2 1
n
n
x
n
3.
1 [5 1]!
n
n
x
n
4.
1
[ 1]
.
n n n n
x n
5.
1 3
n
n
x
n
6.
1
n
n n
x
n
7.
1!
n
n
x
n
8.
2
1 1
n n
n
n x n
9.
1.
n
n n
x
n
10.
2 1.
n
n n
x
n
11.
2 1
[ 1]
.
n
n n
x
n
12.
2 1
[ 1]
3
n
n
x
nn
Hướng dẫn
1.
1 3
n
n
x
,
1
3
an n
Ta có
1 1 1
lim lim lim 3 3 3
n n n n n n n
a
Bán kính hội tụ
1
R 3
, khoảng hội tụ [ 3;3]
Tại x 3 ta có
1
1
n
n
phân kỳ
Tại x 3 ta có
1
[ 1]
n
n
phân kỳ
Vậy miền hội tụ là [ 3;3].
2.
2 1
n
n
x
n
, 2
1
an n
Ta có 22
11
lim n n lim n lim 1 n n n n
a n n
Bán kính hội tụ
1
R 1
, khoảng hội tụ [ 1;1]
Tại x 1 ta có 2 1
1
n n
hội tụ
Tại x 1 ta có 2 1
[ 1]
n
n n
hội tụ
Vậy miền hội tụ là [ 1;1].
5.
113 [3 ]
n n
n nn
xx
nn
,
1
[3 ]
n n a n
Ta có
11
lim lim lim 0 3 3
n n n n n n n
a n n
Bán kính hội tụ
1
R
, miền hội tụ [ ; ]
6.
1
n
n n
x
n
Ta có
11
lim n lim n lim 0 n n n n n
a nn
Bán kính hội tụ R , miền hội tụ [ ; ]
7.
1!
n
n
x
n
Ta có
1
1
[ 1]!! 1.2... 1
lim lim lim lim lim 0 1 [ 1]! 1.2... .[ 1] 1
!
n
n n n n n n
a n nn
a n n n n
n
Bán kính hội tụ R , miền hội tụ [ ; ]
9.
1.
n
n n
x
n
Ta có
1 1 1
lim lim lim 333
n n n n n n n n
a n n
Bán kính hội tụ R 3 , khoảng hội tụ [ 3;3]
Tại x 3 ta có
11
31
.
n
n nnnn
phân kỳ
Tại x 3 ta có
11
[ 3] [ 1]
.
nn
n nnnn
hội tụ
Vậy miền hội tụ là [ 3; 3]