Bài tập tính tổng của nhị thức newton năm 2024
- 1. u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG [Nguyễn Trung Hiếu] A.LÍ THUYẾT: 1.Các hằng đẳng thức [ a + b] = 1 0 [ a + b] = a + b 1 [ a + b ] = a 2 + 2ab + b 2 2 [ a + b ] = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 3 [ a + b ] = a 4 + 4a3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b 4 4 ... 2.Nhị thức Newton[ Niu-tơn] a.Định lí: n [ a +b ] = Cn a n +Cn a n −1b +... +Cn −1ab n −1 +Cn b n = ∑ n a n −k b k n 0 1 n n Ck k =0 Kết quả: n k n * [ a −b ] = a +[ −b ] = ∑ n a n −k [ −b ] = ∑ −1] Cn a n −k b k [ n n k Ck k k =0 k =0 n * [1+ x] = ∑ n .x k = Cn +Cn .x +... + Cn .x n n Ck 0 1 n k =0 b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn [ a + b ] : n -Số các số hạng của công thức là n+1 -Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: [n-k]+k=n -Số hạng tổng quát của nhị thức là: T =C a b k+1 k n n−k k [Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển [ a + b ] ] n -Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau. - 2 =C +C +... +C n n n n− n 1 0 n - 0 =C −C +... +[ − ] C 0 1 n n n 1 n n -Tam giác pascal: 1 Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng n k
- 2. u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com 0 1 2 3 4 5 .... 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi C =C +C k n [Với 1 < k < n] k− n− 1 1 k n−1 3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng: n • 2n = [ 1 +1] = ∑Cn = n +Cn −1 +... + Cn k n Cn n 0 k =0 n • 0 = [ 1 −1] = ∑ −1] Cn = n −Cn +... + [ −1] Cn [ n k k n C0 1 n k =0 n • [1 + x] = ∑ n x n −k = n x n +Cn x n −1 +... +Cn x 0 n Ck C0 1 n k =0 n • [1−x] = ∑ −1] Cn x k = n x 0 −Cn x1 +... +[ −1] Cn x n [ n k n n C0 1 n k =0 n • [ x −1] = ∑ −1] Cn x n −k = n x n −Cn x n −1 +... +[ −1] Cn x 0 [ n k k n C0 1 n k =0 4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton. n a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có ∑ Cni với i là số tự nhiên liên i= 1 tiếp. n b. Trong biểu thức có ∑ i [ i − 1] C i =1 i n thì ta dùng đạo hàm [ i∈¥ ] n • Trong biểu thức có ∑[ i + k ] C i =1 i n thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm
- 3. u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com n • Trong biểu thức có ∑aC i =1 k i n thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp. n 1 • Trong biểu thức có ∑ i −1C i =1 i n thì ta lấy tích phân xác định trên [ a; b ] thích hợp. n i n [x + x b ] = ∑Cn [ x a ] [x ] n −i = ∑C n x n a [ n −i ] +ib • Nếu bài toán cho khai triển a i b i thì hệ i=1 i =1 số của xm là Cin sap cho phương trình a [ n −i ] +bi =m có nghiệm i ∈¥ n−1 n+1 n • Cin đạt MAX khi i= 2 hay i= 2 với n lẽ, i= 2 với n chẵn. B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON. I.Các bài toán về hệ số nhị thức. 1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton. Ví dụ 1:[Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000] Khai triển và rút gọn đa thức: Q [ x ] =[1 +x ] +[1 +x ] + +[1 +x ] 9 10 14 ... Ta được đa thức: Q [ x ] =a0 +a1 x + +a14 x14 ... Xác định hệ số a9. Giải: 9 Hệ số x trong các đa thức [1 +x ] , [1 +x ] ,..., [1 +x ] lần lượt là: 9 10 14 9 5 9 C9 , C10 ,..., C14 Do đó: 1 1 1 1 a9 =C9 +C10 +... +C14 =1 +10 + .10.11 + .10.11.12 + 9 5 9 2 6 24 .10.11.12.13 + 20 .10.11.12.13.14 =11 +55+220+715+2002=3003 1 2 6 3 Ví dụ 2:[ĐHBKHN-2000] Giải bất phương trình: 2 A2 x − Ax ≤ Cx +10 2 x Giải: Điều kiện: x là số nguyên dương và x ≥3 Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với: [ 2 x −1] 2 x − 6 [ x − 2 ] [ x −1] [ x −1] x ≤ + 10 2 3! x ⇔ 2 x [ 2 x −1] − x [ x − 2 ] ≤ [ x − 2 ] [ x − 1] + 10 ⇔ 3 x ≤ 12 ⇔ x ≤ 4 Vì x là nghiệm nguyên dương và x ≥3 nên x ∈{ 3; 4} Ví dụ 3: [ĐH KA 2004] Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 1 + x 2 [ 1 − x ] 8 Giải: k k 8 k 8 f [ x ] = ∑C8 x 2 [ 1 − x ] = ∑C8 x 2 k ∑[ −1] Ck x i . i Cách 1: Ta có: k k i k =0 k =0 i =0
- 4. u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com i = 0 0 ≤ i ≤ k ≤ 8 k = 4 Vậy ta có hệ số của x8 là: [ −1] thoã 2k + i = 8 ⇒ i C8k Ck i i , k ∈ ¥ i = 2 k = 3 Hệ số trong khai triển của x8 là: [− ] C8 C4 +[ − ] C8 C3 =238 0 4 0 3 22 1 1 Cách 2: Ta có: [ x ] =C8 + +C8 x 2 [1 −x ] +C8 x 2 [1 −x ] + +C8 x 2 [1 −x ] 0 3 4 3 8 4 8 f ... ... Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng: • C8 x 2 [ 1 − x ] 3 Số hạng thứ 4: 3 • C8 x 2 [ 1 − x ] 4 Số hạng thứ 5: 4 Với hệ số tương đương với: A8= C8 C3 +C8 C4 3 2 4 0 =238 Ví dụ 4:[ĐH HCQG, 2000] 12 1 a] Tìm hệ số x8 trong khai triển 1+ ÷ x b] Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức [ x + 1] n 2 bằng 1024. Hãy tìm hệ số a [ a ∈¥ *] của số hạng ax12 trong khai triển đó.[ ĐHSPHN, khối D,2000] Giải: a] Số hạng thứ [k+1] trong khai triển là: k 1 [ 0 ≤ k ≤12 ] ak = C12 x12−x ÷ = C12 x12−2 k k k x Ta chọn 12 − k = ⇔ 2 2 8 k = Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là: C12 = 66 2 n b] Ta có: [ 1 + x 2 ] = ∑Cnk x 2 n = Cn +Cn x 2 +... + Cn x12 −2 k k 1 k k =0 Với x=1 thì: 2n = n + n + + n = C0 C1 ... C n 1024 ⇔n = 10 ⇔ = 2 2 n 10 Do đó hệ số a [của x12] là: C = 210 6 10 Ví dụ 5:[HVKTQS, 2000] Khai triển đa thức: P [ x ] = + x ]12 =a0 + 1 x + + 12 x12 [1 2 a ... a Tìm max [ a0 , a1 , a2 ,..., a12 ] Giải: Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: ak > ak −1 Từ đây ta có hệ phương trình:
- 5. u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com 2 1 2k C12 ≥ 2k −1 C12−1 k k ≥ k 12 − k + 1 k k k +1 k +1 ⇔ 2 C12 ≥ 2 C12 1 ≥ 2 12 − k k + 1 ⇒ ax [ a0 , a1 , a2 , ..., a12 ] =a8 = 12 218 = m C8 126720 2.Bài toán tìm sô hạng trong khai triển newton. Ví dụ 6: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: [ 2 − 3x ] 25 Giải: Số hạng thứ 21 trong khai triển là: [ − x] 20 C 20 25 25 3 =C25 2 5320 x 20 20 Ví dụ 7: a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau [ x + xy ] 21 3 20 x4 x + 1 ÷ b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau ÷ [ xy ] 3 2 Giải: a. Khai triển [ x + xy ] 20 3 có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12. • C21 [ x 3 ] 11 Số hạng thứ 11 là: [ xy ] 10 10 =C21 x 43 y10 10 • C21 [ x 3 ] 10 Số hạng thứ 12 là: [ xy ] 11 11 =C21 x 41 y11 10 20 x4 x + 1 ÷ b. Khai triển ÷ có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số là số [ xy ] 2 3 10 10 10 4 7 65 20 21 − 2 − hạng thứ 2 +1 =16 : C20 x ÷ [ xy ] ÷ = C20 x y 10 6 3 3 [ Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x]. Ví dụ 8: [ĐH Khối D-2004] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển. 7 1 f [ x] = 3 x + 4 ÷ với x >0 x Giải: k 7 7 [ ] 1 7 −k − k Số hạng tổng quát trong khai triển: Tk +1 = C7 k 3 x 4 ÷ = C7 x k 3 12 [ k ∈¥ , k ≤ 7 ] x 7 7 Ứng với số hạng không chứa x ta có: − k = 0 ⇔k = 4 3 12 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển f [ x] là: C7 = 35 4
- 6. u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com Ví dụ 9: [ĐH SPHN-2001] Cho khai triển nhị thức: 10 1 2 + x ÷ = a0 + a1 x +... + a9 x + a10 x . 9 10 3 3 Hãy tìm số hạng ak lớn nhất. Giải: 10 1 2 1 1 n 1 x ÷ = 10 [ 1 + 2 x ] = 10 ∑C [ 2 x ] 10 k Ta có: + k 10 ⇒ak = C10 2k k 3 3 3 3 k =0 310 ak ≥ ak +1 C10 2k ≥ C10+1 2k +1 k k ⇒ ⇔ k k ak ≥ ak −1 k −1 k −1 C10 2 ≥ C10 2 2k10! 2k10! 1 2 ≥ k ! 10 − k ! k + 1 ! 9 − k ! Ta có ak đạt được max [ ] [ ][ ] 10 − k ≥ k + 1 19 22 ⇔ ⇔ ⇔ ≤k ≤ 2 ≥ 2 3 3 k k 2 10! ≥ 2 10! k ![ 10 − k ] ! [ k − 1] ![ 11 − k ] ! k 11 − k ⇒ k = 7 [ k ∈ ¥ , k ∈ [ 0,10] ] 27 7 Vậy max ak = a7 = C10 310 Bài tập áp dụng Bài 1: [ĐH TK-2002] Gọi a1, a2,…, a11 là các hệ số trong khai triển sau: [ x + ] [ x +2 ] =x11 +a1 x10 1 + + 11 ... a Hãy tìm hệ số a5 Bài 2: Tìm hệ số của x5 trong khai triển x [1 −2 x ] +x 2 [ 1 +3 x ] [ Khối D-2007] 5 10 Bài 3: Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức [ x + y + z +t ] [ Đề 4 “TH&TT” 20 -2003] Bài 4: [TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An] Xác định hệ số của x11 trong khai triển [x +2 ] [ 3x +1] n n đa thức: 2 3 biết: C2 n − C2 n − + + − ] 3k C 2 n − + +32 n C2 n = 3 2 n 1 ... [ 1 2n 2n k k 0 ... 1024 n 1 Bài 5: [LAISAC] Khai triển P [ x ] = x3 + 2 ÷ ta được 2x P [ x ] =a0 x 3 n + 1 x 3 n − + 2 x 3 n− + a 5 a 10 ... Biết rằng ba hệ số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số 4 cộng. Tính số hạng thứ x II. Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp. 1. Thuần nhị thức Newton Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng Cn a n −k b k k thì ta sẽ
- 7. u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com n [ a +b] = ∑Cn a n −k b k n k dùng trực tiếp nhị thức Newton: . Việc còn lại chỉ là k =0 khéo léo chọn a,b. Ví dụ 10: Tính tổng 316 C16 − 15 C16 + 14 C16 − + 16 0 3 1 3 2 ... C 16 Giải: Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b=-1. Khi đó tổng trên sẽ bằng [3-1]16=216 Ví dụ 11: [ ĐH Hàng Hải-2000] Chứng minh rằng: C + C + C + + 0 2n 3 2 3 2 2n 4 ... 3 C 4 2n=2 [2 + ] 1 2n 2n 2n 2n−1 2n Giải: [1+ x] = C2 n + C2 n x + C2 n x 2 + ... + C2 n −1 x 2 n −1 + C2 n x 2 n [ 1] 2n 0 1 2 2n 2n [1− x] = C2 n − C2 n x + C2 n x 2 + ... − C2 n −1 x 2 n −1 + C2 n x 2 n [ 2 ] 2n 0 1 2 2n 2n Lấy [1] + [2] ta được: [1 +x ] +[1 −x ] 2n 2n =2 2 n +C 2 n x 2 + +C2 n x 2 n C0 2 ... 2n [ 4] + [ −2 ] 2n 2n = 2 C2 n + C22n 32 + ... + C2 n 32 n 0 2n 24 n + 2 2 n ⇔ = C2 n + C2 n 32 + ... + C22nn 32 n 0 2 2 Chọn x=3 suy ra: 22 n [ 22 n + 1] ⇔ = C2 n + C2 n 32 + ... + C2 nn 32 n 0 2 2 2 2 n −1 ⇔ 2 [22 n + 1] = C2 n + C2n 32 + ... + C2 n 32 n 0 2 2n ⇒ ĐPCM 2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2. a.Đạo hàm cấp 1. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n, …,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng kC hoặc kC a b thì ta có thể dùng đạo hàm cấp k n k n n −k k−1 1 để tính. Cụ thể: [ a +x ] n =Cn a n +2Cn a n − x + +nCn ax n 0 1 1 ... n Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: n [ a +x ] =Cn a n − +2C n a n −2 + +nCn ax n − [1] n−1 1 1 2 n 1 ... Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm. Ví dụ 12:[ĐH BKHN-1999] Tính tổng Cn −2Cn + C n −4Cn + +[ − ] 1 2 n−1 3 3 4 ... 1 n nC n
- 8. u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com Giải: Ta thấy tổng cần tính có dạng như VP[1]. Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x=-1 ta tính được tổng băng 0. Cách khác: Sử dụng đẳng thức kC =nC ta tính được tổng bằng: k n k− n− 1 1 nCn − +nC n − + + − ] ... [ 1 nCn −1 =n [1 − ] n−1 n− n−1 nCn − − 0 1 1 1 2 1 1 1 =0 Ví dụ 13:Tính tổng: 2008C2007 + 0 2007C2007 + + 2007 1 ... C 2007 Giải: Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,…,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu: [x+ ] 2007 1 =C2007 x 2007 + 2007 x 2006 + +C2007 0 C1 ... 2007 Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được 2007C x trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải 0 2007 2006 nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm: x [ x +1] 2007 = C2007 x 2008 + C2007 x 2007 +... + C2007 x 0 1 2007 ⇔ [ x +1] [ 2008 x +1] = 2008C2007 x 2007 + 2007C2007 x 2006 + ... + C2007 2006 0 1 2007 Thay x=1 vào ta tìm được tổng là 2009.22006 b.Đạo hàm cấp 2. Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,[n-1]n hay [n-1]n, …,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 [không kể dấu] tức có dạng k [k −1]C a hay tổng quát hơn k n n−k k [ k − ] Cn a n −k b k 1 k thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét đa thức [ a +bx ] n =Cn +Cn a n − bx + +Cn b n x n 0 1 1 ... n Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được: bn [ a + ] n−1 bx =C n a n − b +2Cn a n − b 2 x... +nC n b n x n − 1 1 2 2 n 1 Đạo hàm lần nữa: b n [n − ][a + 2 1 bx n−2 ] =2.1C 2 n a n− b 2 + + [ n − ] C n b n x n − [ 2 ] 2 ... n 1 n 1 Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi. Ví dụ14: [ĐH AN-CS Khối A 1998] Cho [ x ] =[1 +x ] , [ 2 ≤n ≤¢ ] n f a.Tính f ′ [ 1] b.Chứng minh răng: 2.1Cn + 2 3.2Cn + + n − ] nCn =n [ n − ] 2 n − 3 ... [ 1 n 1 2 Giải: a. f ′ [ x ] =n [1 +x ] ⇒ ′ [ x ] =n [ n − ] [1 +x ] n−1 n−2 ′ f ′ 1 ⇒ ′[1] =n [1 +x ] n − f ′ 2 b. Ta có
- 9. u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com n n f [ x ] = [ 1 + x ] = ∑ C n x k = Cn + C n x + ∑ C n x k k n 0 1 k k =1 k =2 n f ′ [ x ] = Cn + ∑ kCn x k −1 1 k k =2 n f ′′ [ x ] = ∑ k [ k − 1] Cn x k −2 k k =2 n ⇒ f ′′ [ 1] = ∑ k [ k − 1] Cn = 2n −2 k k =1 ⇒ 2.1C + 3.2Cn + ... + [ p + 1] Cnp + ... + [ n + 1] nCn = n [ nĐ 1] 2 2 n −1 [ 21 n n + PCM ] Từ câu b thay [n-1]=[n+1] thì ta có một bài toán khác: b’. Chứng minh rằng: 2.1C + C + +[ n + ] pC + +[ n + ] nC =n [ n + ] 2 3.2 ... 1 1 n... 1 2 n 1 n p n n n−2 Với bài toán này ta giải như sau: Xét nhị thức: [1 +x ] =C +C x +... +C x n 0 1 n n n n n Nhân 2 vế của đẳng thức với đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta được: x ≠0 2n [1 +x ] + [ n − ] x [1 +x ] 3.2Cn x + + n + ] nCn x n − ... [ n−1 n−2 n 1 =2Cn x + 1 2 1 n 1 Cho x=2 ta được ĐPCM Bài tập áp dụng Bài 1:[CĐSP Bến Tre Khối A-2002] Chứng minh rằng: C20 + 20 + + 20 =219 1 C1 ... C 19 32004 +1 Bài 2:[CĐ Khối T-M-2004]Chứng minh rằng : C2004 + 2 2 C2004 +... + 2 2004 C2004 = 0 1 2004 2 Bài 3:[ĐHKTQD-2000] Chứng minh: [ 2 +x ] ... nCn =n.3 n− [ ∀ ≤n ∈ ] n =1.2 n −.Cn + 1 1 2.2 n − .Cn + 2 2 3.2 n − .Cn + + 2 2 n 1 1 ¢ Bài 4: Rút gọn tổng: 12 C2009 22008 + 2 C2009 2 2007 + + 1 2 2 ... 2009 2 C2009 2009 III.Một số phương pháp khác: 0 ≤ m ∈ k ≤ n Ví dụ 15: [ĐHQG TP.HCM 1997] Cho k , m, n ∈ Z Chứng minh: Cn .Cm + n − Cm + + n − Cm = n + k 0 Ck 1 1 ... C k m m Ck m Giải: [ 1 + x ] m = Cm + Cm x + ... + Cm x m 0 1 m Ta có : [ 1 + x ] = Cn x n + Cn x n −1 + ... + Cn n 0 1 n [ 1 + x ] m+n = Cm + n + Cm + n x + ... + Cm +n x m + n 0 1 m +n Suy ra hệ số xk trong [1+x]n .[1+x]m là Cm Cn + m Cn − + + m Cn − 0 k C 1 k 1 ... C m k m Và hệ số xk trong khai [1+x]m+n là k Cm + n
- 10. u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com Đồng nhất thức: [1+x]n .[1+x]m = [1+x]n+m Ta được: C .C + C + + C ... C C = k n C 0 m k− n 1 1 m k− n m m m k n+m ⇒ ĐPCM Ví dụ16: [Đề2-TH&TT-2008] S2= [ C ] +2 [ Cn ] +... +n [ Cn ] 2 2 2 1 n 2 n với n là số tự nhiên lẽ Giải: Ta có: 2 2 [ ] n −1 n2 1 n +1 n2 1 − + [ Cn ] +[ n −1] [ Cnn −1 ] ÷ C n ÷ + n [ Cn ] 2 2 n 2 S= 1 +... + ÷ Cn ÷ + ÷ ÷ 2 ÷ 2 ÷ [ n [ Cn ] + [ Cn ] + ... + [ Cn −1 ] 1 2 2 n 2 ] +n 2 [ = n [ Cn +1 ] + [ Cn ] + ... + [ C ] ] + n n 2 2 2 n −1 2 n ⇒ 2 S n = n [ Cn ] + [ Cn ] + ... + [ Cn ] + n 1 2 2 2 n 2 Mặt khác ta có: [1 +x ] hệ số của xn là: 2n =C2 n +C2 n x + +C2 n x 2 n ⇒ 0 1 ... 2n n C2 n [*] Trong khi đó: [1 +x ] n =Cn +C n x +... +Cn x n 0 1 n [C ] +[ Cn ] +... +[ Cn ] 2 2 2 Nên hệ số của xn là 1 n 2 n [**] Từ [*] và [**] ⇒C2 n −1 = n [ Cn ] +[ Cn ] +... +[ Cn ] n 1 2 2 2 n 2 n n ⇒ Sn = CĐ ⇒ PCM 2n 2 Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh rằng: a] C 3 +2C 3 + +nC 1 n n−1 ... 2 n n−1 n n = .4 n − n 1 [ĐH Luật-2001] b] 1 C +2 C +... +n C =n [ n + ] 2 2 1 n 12 2 n 2 n n n−2 [ Đề 1-TH&TT-2008] Bài 2: Tính các tổng sau: a] C + C + C + +29.2 C 3.2 1 30 5.2 ... 2 3 30 4 5 30 28 29 30 1 2 n Cn C n n Cn b] Cn − 0 + −... + [ −1] 2 3 n +1 3n Bài 3: Đặt Tk =[ − ] . Chứng minh ∑ Tk = 0 k+1 1 3k C6 n + 2k 1 k =1