Bài tập tích phân có cận là vô cùng

Nếu hàm số $y=f(x)$ xác định trên $[a;b]$ vô hạn và khả tích trên mỗi đoạn hữu hạn $-\infty

1.1. $\int_{-\infty}^{{b}f(x)dx=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}}{b}f(x)dx$

1.2. $\int_{a}^{{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to +\infty}\int_{a}}{b}f(x)dx$

1.3. Tổng quát: $\int_{-\infty}^{{+\infty}f(x)dx=\lim_{a\to -\infty, b\to +\infty}\int_{a}}{b}f(x)dx$

Nếu giới hạn $\lim_{a\to -\infty, b\to +\infty}\int_{a}^{{b}f(x)dx$ là hữu hạn thì tích phân suy rộng $\int_{-\infty}}{+\infty}f(x)dx$ là hội tụ (integral is convergent ).

Ngược lại, nếu giới hạn $\lim_{a\to -\infty, b\to +\infty}\int_{a}^{{b}f(x)dx$ là vô cùng hoặc không tồn tại thì tích phân suy rộng $\int_{-\infty}}{+\infty}f(x)dx$ là phân kỳ (integral is divergent ).

2. Ứng dụng

2.1. Chứng minh: $I=\int_{0}^{+\infty}cosxdx$ phân kỳ

$I=\int_{0}^{{+\infty}cosxdx=\lim_{b\to+\infty}\int_{0}}{b}cosxdx=\lim_{b\to +\infty}sin b\to$ không tồn tại $\to$ tích phân phân kỳ.

2.2. Chứng minh: $I=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$ hội tụ

$I=\int_{1}^{{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=\lim_{b\to +\infty}\int_{1}}{b}\frac{1}{x^2}dx=1-\lim_{b\to+\infty}\frac{1}{b}=1\to$ hữu hạn $\to$ tích phân hội tụ.

2. Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn

Nếu hàm số $y=f(x)$ xác định và khả tích mỗi đoạn trên $[a+\varepsilon ;b],\forall \varepsilon >0, \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$

Nếu hàm số $y=f(x)$ xác định và khả tích mỗi đoạn trên $[a ;b-\varepsilon],\forall \varepsilon >0, \lim_{x\to b^{-}}f(x)=\infty$

Nếu hàm số $y=f(x)$ có điểm gián đoạn tại $c$ trên đoạn $[a ;b],\:$$ \lim_{x\to c}f(x)=\infty$ và liên tục khi $a\leq x

$\int_{a}^{{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon _1\to o}-}\int_{a}^{{c-\varepsilon _1}f(x)dx+\lim_{\varepsilon _2\to o}+}\int_{c+\varepsilon _2}^{b}f(x)dx$

Tích phân suy rộng là giới hạn của một tích phân xác định như một điểm đầu nút của (các) khoảng lấy tích phân tiệm cận hoặc số thực xác định, trong một số trường hợp, cả hai điểm đầu nút đều đạt đến các giới hạn. Vậy có những loại tích phân suy rộng nào? Điều kiện hội tụ của các loại tích phân suy rộng là gì? Những chia sẻ của VOH Giáo dục dưới đây sẽ giúp các em học sinh giải đáp được các thắc mắc:

---

1. Các loại tích phân suy rộng

Hiểu theo nghĩa thông thường tích phân suy rộng là giới hạn của tích phân xác định khi cho cận tích phân dần tới vô cùng. Tích phân suy rộng bao gồm 2 loại là tích phân suy rộng với cận vô hạn (tích phân suy rộng loại 1) và tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn (tích phân suy rộng loại 2)

1.1. Một số tính chất của tích phân suy rộng

Ảnh 1: Tính chất của tích phân suy rộng

1.2. Tích phân suy rộng loại 1

Giả sử f(x) là hàm số xác định trên khoảng a,+và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a,A, aA<+ khi đó ta có định nghĩa:

Ảnh 2: Định nghĩa tích phân suy rộng loại 1

Để hiểu hơn về định nghĩa tích phân suy rộng loại 1 các bạn có thể tham khảo một số ví dụ sau:

Ảnh 3: Ví dụ minh họa tích phân suy rộng loại 1Ảnh 4: Ví dụ minh họa tích phân suy rộng loại 1

1.3. Tích phân suy rộng loại 2

Cho hàm sốf(x) là hàm số xác định trên khoảng [a.b) và khả tích trên [a,t] với mọi a

Ảnh 5: Định nghĩa tích phân suy rộng loại 2

Để hiểu hơn về định nghĩa tích phân suy rộng loại 2 các bạn có thể tham khảo ví dụ dưới đây

Ảnh 6: Ví dụ minh họa tích phân suy rộng loại 2

2. Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng

Với mỗi loại tích phân suy rộng sẽ có những điều kiện riêng, cụ thể:

2.1. Điều kiện của tích phân suy rộng loại 1

Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 1 cụ thể như sau:

Ảnh 7: Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

2.2. Điều kiện của tích phân suy rộng loại 2

Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2 cụ thể như sau:

Về định nghĩa

Ảnh 8: Định nghĩa điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Định lý về điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Ảnh 9: Định lý về điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Hệ quả của điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2 được phát biểu như sau:

Ảnh 10: Hệ quả của điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Trên đây là những kiến thức liên quan đến tích phân suy rộng, hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn ứng dụng giải toán thành công.