Tài liệu gồm 08 trang, tổng hợp kiến thức cần nhớ, bài tập mẫu, bài tập tương tự và phát triển chủ đề phương trình, bất phương trình mũ và logarit, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh ôn thi THPT môn Toán.
Các bài toán phương trình, bất phương trình mũ và logarit được chọn lọc bám sát đề minh họa THPT môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phương trình mũ cơ bản. Giải phương trình mũ đưa về cùng cơ số. Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Bất phương trình mũ cơ bản. Giải bất phương trình mũ đưa về cùng cơ số.
2. BÀI TẬP MẪU
1. Dạng toán: Đây là dạng toán giải bất phương trình mũ sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số. 2. Hướng giải: Bước 1: Vì cơ số a = 5 > 1 nên chiều bất phương trình không đổi. Bước 2: Bỏ cơ số, ta thu được bất phương trình liên quan đến số mũ. Bước 3: Giải bất phương trình này tìm nghiệm. Bước 4: Dựa vào các đáp án, kết luận mệnh đề đúng.3. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
[ads]
Cập nhật lúc: 10:17 06-11-2015 Mục tin: LỚP 12
1. Giải phương trình sau:
Điều kiện: x > 1
Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 4/3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a] ${{\log }_{2}}\left[ {{x}^{2}}+x+2 \right]=3.$ b] ${{\log }_{3}}\left[ 2x+1 \right]+{{\log }_{3}}\left[ x-3 \right]=2.$ |
Lời giải chi tiết:
a] Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+2=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-3 \\ \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; -3}.
b] Điều kiện: $x>3$. Khi đó $\text{PT}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ \left[ 2x+1 \right]\left[ x-3 \right] \right]={{\log }_{3}}9\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x-3=9$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=4 \\ {} x=\frac{-3}{2} \\ \end{array} \right.$.
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là $x$ = 4.
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a] ${{\log }_{2}}\left[ x+4 \right]=3-2{{\log }_{2}}x.$ b] $3{{\log }_{8}}\left[ x-2 \right]-{{\log }_{\sqrt{2}}}\left[ 3x+2 \right]+7=0.$ |
Lời giải chi tiết:
a] Điều kiện: $x>0$. Khi đó $\text{PT}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ x+4 \right]+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{x}^{2}}\left[ x+4 \right] \right]=3\Leftrightarrow {{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=8$
$\Leftrightarrow \left[ x+2 \right]\left[ {{x}^{2}}+2x-4 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-2 \\ {} x=-1+\sqrt{5} \\ {} x=-1-\sqrt{5} \\ \end{array} \right.$.
Kết hợp ĐK $x>0$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=-1+\sqrt{5}$
b] Điều kiện: $x>2$. Khi đó $\text{PT}\Leftrightarrow 3{{\log }_{{{2}^{3}}}}\left[ x-2 \right]-{{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}\left[ 3x+2 \right]+7=0$
$\begin{array} {} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ x-2 \right]-2{{\log }_{2}}\left[ 3x+2 \right]+7=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ x-2 \right]-{{\log }_{2}}{{\left[ 3x+2 \right]}^{2}}+{{\log }_{2}}{{2}^{7}}=0 \\ {} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{128\left[ x-2 \right]}{{{\left[ 3x+2 \right]}^{2}}}=0\Leftrightarrow 128\left[ x-2 \right]={{\left[ 3x+2 \right]}^{2}}\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}-116x+260=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=10 \\ {} x=\frac{26}{9} \\ \end{array} \right.\,\,\left[ t/m \right]. \\ \end{array}$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=10;\,x=\frac{26}{9}.$
| Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a] ${{\log }_{2}}\left[ x\left[ x-1 \right] \right]=1$ b] ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}\left[ x-1 \right]=1$ c] ${{\log }_{2}}\left[ x-2 \right]-6{{\log }_{\frac{1}{8}}}\sqrt{3x-5}=2$ d] ${{\log }_{2}}\left[ x-3 \right]+{{\log }_{2}}\left[ x-1 \right]=3$ |
Lời giải chi tiết:
a] Điều kiện: $x\left[ x-1 \right]>0\Leftrightarrow x>1;x1$.
Ta có phương trình tương đương với ${{\log }_{2}}\left[ x\left[ x-1 \right] \right]=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow x=-1;x=2$
Vậy phương trình có nghiệm là $x=-1;x=2.$
c] Điều kiện: $x>2$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ x-2 \right]+{{\log }_{2}}\left[ 3x-5 \right]=2\Leftrightarrow \left[ x-2 \right]\left[ 3x-5 \right]=4\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-11x+6=0\Leftrightarrow x=3;x=\frac{2}{3}$
Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là $x=3.$
d] Điều kiện: $x>3$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow \left[ x-3 \right]\left[ x-1 \right]=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\Leftrightarrow x=-1;x=5$
Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là $x=5.$
| Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
a] $\lg \left[ x-2 \right]+\lg \left[ x-3 \right]=1-\lg 5$ b] $2{{\log }_{8}}\left[ x-2 \right]-{{\log }_{8}}\left[ x-3 \right]=\frac{2}{3}$ c] $\lg \sqrt{5x-4}+\lg \sqrt{x+1}=2+\lg 0,18$ d] ${{\log }_{3}}\left[ {{x}^{2}}-6 \right]={{\log }_{3}}\left[ x-2 \right]+1$ |
Lời giải chi tiết:
a] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x-2>0 \\ {} x-3>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>3$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow \lg \left[ x-2 \right]\left[ x-3 \right]=\lg 2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4=0\Leftrightarrow x=1;x=4.$
Đối chiếu với điều kiện pt có nghiệm là $x=4.$
b] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>2 \\ {} x>3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>3.$
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{8}}\frac{{{\left[ x-2 \right]}^{2}}}{x-3}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+16=0\Leftrightarrow x=4\,\,[TM].$
Vậy PT có nghiệm là $x=4.$
c] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>\frac{5}{4} \\ {} x>-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{5}{4}$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow \lg \sqrt{\left[ 5x-4 \right]\left[ x+1 \right]}=\lg 18\Leftrightarrow \sqrt{\left[ 5x-4 \right]\left[ x+1 \right]}=18\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+x-328=0\Leftrightarrow x=8;x=-\frac{41}{5}.$
Đối chiếu với điều kiện nên phương trình có nghiệm là $x=8.$
d] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-6>0 \\ {} x-2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\sqrt{6}$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ {{x}^{2}}-6 \right]={{\log }_{3}}3\left[ x-2 \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x=0\Leftrightarrow x=0;x=3.$
Đối chiếu điều kiện PT có nghiệm $x$= 3.
| Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a] ${{\log }_{2}}\left[ x+3 \right]+{{\log }_{2}}\left[ x-1 \right]=\frac{1}{{{\log }_{5}}2}$ b] ${{\log }_{4}}x+{{\log }_{4}}\left[ 10-x \right]=2$ c] ${{\log }_{5}}\left[ x-1 \right]-{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left[ x+2 \right]=0$ d] ${{\log }_{2}}\left[ x-1 \right]+{{\log }_{2}}\left[ x+3 \right]={{\log }_{2}}10-1$ |
Lời giải chi tiết:
a] Điều kiện:$\left\{ \begin{array} {} x+3>0 \\ {} x-1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>1$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ x+3 \right]\left[ x-1 \right]={{\log }_{2}}5\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Leftrightarrow x=2;x=-4$
Đối chiếu điều kiện nên pt có nghiệm là $x=2.$
b] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} 10-x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 00 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>2$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x-1 \right]+{{\log }_{5}}\left[ x+2 \right]=0\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x-1 \right]\left[ x+2 \right]=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là $x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.$
d] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x-1>0 \\ {} x+3>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>1$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ x-1 \right]\left[ x+3 \right]={{\log }_{2}}5\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Leftrightarrow x=2;x=-4$
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm $x$= 2.
| Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
a] ${{\log }_{9}}\left[ x+8 \right]-{{\log }_{3}}\left[ x+26 \right]+2=0$ b] ${{\log }_{3}}x+{{\log }_{\sqrt{3}}}x+{{\log }_{\frac{1}{3}}}x=6$ c] $1+\lg \left[ {{x}^{2}}-2x+1 \right]-\lg \left[ {{x}^{2}}+1 \right]=2\lg \left[ 1-x \right]$ d] ${{\log }_{4}}x+{{\log }_{\frac{1}{16}}}x+{{\log }_{8}}x=5$ |
Lời giải chi tiết:
a] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x+8>0 \\ {} x+26>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>-8$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{9}}\frac{81\left[ x+8 \right]}{{{\left[ x+26 \right]}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-29x+28=0\Leftrightarrow x=1;x=28$
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là $x=1;x=28.$
b] Điều kiện: $x>0$
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+2{{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}x=6\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x=3\Leftrightarrow x=27$
Vậy PT có nghiệm $x=27.$
c] Điều kiện: $1-x0\Leftrightarrow x0$
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}x+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=6\Leftrightarrow x=64\,\,\,\left[ TM \right]$
Vậy PT có nghiệm $x=64.$
c] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x-1>0 \\ {} x+1>0 \\ {} 7-x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 10\Leftrightarrow 00$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-7x+12={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-7x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3\,\,\,\left[ TM \right] \\ {} x=-4\,\,\,[L] \\ \end{array} \right.$
Vậy PT có nghiệm $x=3.$
b] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} 2{{x}^{2}}-3x-4>0 \\ {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} x>\frac{3+\sqrt{41}}{4} \\ {} x0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{3+\sqrt{41}}{4}$
Ta có: $PT\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-4={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1\,\,\,\left[ L \right] \\ {} x=4\,\,\,[TM] \\ \end{array} \right.$
Vậy PT có nghiệm $x=4.$
c] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-5x+6>0 \\ {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} x>3 \\ {} x0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x>3 \\ {} 00 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} \left[ \begin{array} {} x>\sqrt{2} \\ {} x0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\sqrt{2}$.
Ta có $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2=x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1\,\,\,\left[ L \right] \\ {} x=2\,\,\,[TM] \\ \end{array} \right.$
Vậy PT có nghiệm là $x=2.$
| Bài tập 9: Giải các phương trình sau:
a] ${{\log }_{3x+5}}\left[ 9{{x}^{2}}+8x+2 \right]=2$ b] ${{\log }_{2x+4}}\left[ {{x}^{2}}+1 \right]=1$ c] ${{\log }_{x}}\frac{15}{1-2x}=-2$ d] ${{\log }_{{{x}^{2}}}}\left[ 3-2x \right]=1$ e] ${{\log }_{{{x}^{2}}+3x}}\left[ x+3 \right]=1$ f] ${{\log }_{x}}\left[ 2{{x}^{2}}-5x+4 \right]=2$ |
Lời giải chi tiết:
a] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} 9{{x}^{2}}+8x+2>0 \\ {} 3x+5>0 \\ {} 3x+5\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>-\frac{5}{3} \\ {} x\ne -\frac{4}{3} \\ \end{array} \right.$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+8x+2={{\left[ 3x+5 \right]}^{2}}\Leftrightarrow x=-\frac{23}{22}\,\,\,\left[ TM \right]$
Vậy PT có nghiệm là $x=-\frac{23}{22}.$
b] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}+1>0 \\ {} 2x+4>0 \\ {} 2x+4\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>-2 \\ {} x\ne -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1=2x+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=3 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left[ TM \right]$
Vậy PT có nghiệm $x=-1;\,x=3.$
c] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} \frac{15}{1-2x}>0 \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 00 \\ {} {{x}^{2}}\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne 0 \\ {} x\ne \pm 1 \\ {} x0 \\ {} x+3>0 \\ {} {{x}^{2}}+3x\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ne \frac{-3+\sqrt{13}}{2} \\ {} x>0 \\ \end{array} \right.$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-3 \\ \end{array} \right.$
Kiểm tra điều kiện thì $x=1$ là nghiệm cần tìm.
f] Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} 2{{x}^{2}}-5x+4>0 \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.$.
Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=4 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left[ TM \right]$
Vậy PT có nghiệm là $x=1;\,x=4.$
| Ví dụ 10: Giải các phương trình sau:
a] ${{\log }_{9}}{{\left[ {{x}^{2}}-5x+6 \right]}^{2}}=\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{x-1}{2}+{{\log }_{3}}\left| x-3 \right|$ b] $\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{2}}}\left[ x+3 \right]+\frac{1}{4}{{\log }_{4}}{{\left[ x-1 \right]}^{8}}={{\log }_{2}}4x$ |
Lời giải:
- a] Điều kiện: $x>1;x\ne 3$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left| {{x}^{2}}-5x+6 \right|={{\log }_{3}}\frac{x-1}{2}+{{\log }_{3}}\left| x-3 \right|$
$\Leftrightarrow \left| {{x}^{2}}-5x+6 \right|=\frac{\left[ x-1 \right]\left| x-3 \right|}{2}\Leftrightarrow \left| \left[ x-2 \right]\left[ x-3 \right] \right|=\frac{\left[ x-1 \right]\left| x-3 \right|}{2}\Leftrightarrow 2\left| x-2 \right|=x-1\left[ 1 \right]$
TH1: $x\ge 2$ ta có: $\left[ 1 \right]\Leftrightarrow 2x-4=x-1\Leftrightarrow x=3$ [loại].
TH2: $11$ ta có: $\left[ x+3 \right]\left[ x-1 \right]=4x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-1\,\,\,[lo{}^\text{1}i] \\ {} x=3 \\ \end{array} \right..$
TH2: Với $00 \\ {} {{x}^{2}}+x-5>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}.$
Khi đó: $PT\Leftrightarrow \lg \sqrt{{{x}^{2}}+x-5}=\lg 1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+x-5}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-3\,\,\,\left[ lo{}^\text{1}i \right] \\ \end{array} \right.$
Vậy là nghiệm của PT đã cho là $x=2.$
- c] Ta có: $PT\Leftrightarrow \left[ {{x}^{2}}+x+1 \right]\left[ {{x}^{2}}-x+1 \right]=\left[ {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right]\left[ {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \right]$
$\begin{array} {} \Leftrightarrow \left[ \left[ {{x}^{2}}+1 \right]+x \right]\left[ \left[ {{x}^{2}}+1 \right]-x \right]=\left[ \left[ {{x}^{4}}+1 \right]+{{x}^{2}} \right]\left[ \left[ {{x}^{4}}+1 \right]-{{x}^{2}} \right]\Leftrightarrow {{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}^{2}}-{{x}^{2}}={{\left[ {{x}^{4}}+1 \right]}^{2}}-{{x}^{4}} \\ {} \Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1={{x}^{8}}+{{x}^{4}}+1\Leftrightarrow {{x}^{8}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$
Vậy $x=0;x=\pm 1$ là nghiệm của PT đã cho.
| Ví dụ 12: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{5}}\left[ x+4 \right]=1-2{{\log }_{25}}x$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. |
Lời giải:
Điều kiện: $x>0$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x+4 \right]=1-2{{\log }_{{{5}^{2}}}}x\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x+4 \right]={{\log }_{5}}5-{{\log }_{5}}x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x\left[ x+4 \right] \right]={{\log }_{5}}5\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-5 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện suy ra PT có nghiệm duy nhất $x=1$. Chọn A.
| Ví dụ 13: Số nghiệm của phương trình $\ln \left[ {{x}^{2}}+2x-3 \right]+\ln \left[ x+3 \right]=\ln \left[ x-1 \right]$ là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}+2x-3>0 \\ {} x+3>0 \\ {} x-1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>1$. Khi đó $PT\Leftrightarrow \ln \left[ \left[ x-1 \right]\left[ x+3 \right] \right]+\ln \left[ x+3 \right]=\ln \left[ x-1 \right]$
$\begin{array} {} \Leftrightarrow \ln \left[ \left[ x-1 \right]{{\left[ x+3 \right]}^{2}} \right]=\ln \left[ x-1 \right]\Leftrightarrow \left[ x-1 \right]{{\left[ x+3 \right]}^{2}}=x-1\Leftrightarrow \left[ x-1 \right]\left[ {{\left[ x+3 \right]}^{2}}-1 \right]=0 \\ {} \Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x-1=0 \\ {} {{\left[ x+3 \right]}^{2}}=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-4 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$
Kết hợp điều kiện suy ra PT vô nghiệm. Chọn A.
| Ví dụ 14: Gọi n là số nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left[ x-2 \right]+3{{\log }_{8}}\left[ 3x-5 \right]-2=0$. Khi đó:
A. $n=1$. B. $n=2$. C. $n=0$. D. $n=3$. |
Lời giải:
Ta có: ${{\log }_{2}}\left[ x-2 \right]+3{{\log }_{8}}\left[ 3x-5 \right]-2=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ x-2 \right]+{{\log }_{2}}\left[ 3x-5 \right]=2\Leftrightarrow \left[ x-2 \right]\left[ 3x-5 \right]=4$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-11x+6=0\Leftrightarrow x=3;x=\frac{2}{3}$
Đối chiếu điều kiện loại nghiệm $x=\frac{2}{3}$, suy ra PT có nghiệm duy nhất $x=3\Rightarrow n=1$. Chọn A.
| Ví dụ 15: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left[ {{2}^{x}}+4 \right]-x={{\log }_{2}}\left[ {{2}^{x}}+12 \right]-3$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. |
Lời giải:
$PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{2}^{x}}+4 \right]-{{\log }_{2}}\left[ {{2}^{x}}+12 \right]=x-3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{{{2}^{x}}+4}{{{2}^{x}}+12}=x-3\Leftrightarrow \frac{{{2}^{x}}+4}{{{2}^{x}}+12}={{2}^{x-3}}$
Đặt $t={{2}^{x}}>0\Rightarrow \frac{t+4}{t+12}=\frac{t}{8}\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4t-32=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=-8\left[ lo{}^\text{1}i \right] \\ {} t=4\Rightarrow x=2 \\ \end{array} \right.$
Vậy $x=2$ là nghiệm của PT đã cho. Chọn A.
| Ví dụ 16: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{x-1}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left[ 5-x \right]=3{{\log }_{8}}\left[ x-3 \right]$ là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. |
Lời giải:
Điều kiện: $5>x>3$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}{{\left[ x-1 \right]}^{\frac{1}{2}}}+{{\log }_{2}}\left[ 5-x \right]=3{{\log }_{{{2}^{3}}}}\left[ x-3 \right]$
$\begin{array} {} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ x-1 \right]+{{\log }_{2}}\left[ 5-x \right]={{\log }_{2}}\left[ x-3 \right] \\ {} \Leftrightarrow \left[ x-1 \right]\left[ 5-x \right]=x-3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}\,\,\,\left[ t/m \right] \\ {} x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}\,\,\,\left[ lo{}^\text{1}i \right] \\ \end{array} \right.. \\ \end{array}$
Vậy nghiệm của PT là $x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$. Chọn A.
| Ví dụ 17: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình ${{\log }_{3}}\left[ {{x}^{2}}-2x+3 \right]-\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{3}}}\left[ x+1 \right]=1$ là:
A. T = 25. B. T = 26. C. T = 29. D. T = 30. |
Lời giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} {{x}^{2}}-2x+3>0 \\ {} x+1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>-1.$
Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ {{x}^{2}}-2x+3 \right]-{{\log }_{3}}\left[ x+1 \right]={{\log }_{3}}3\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x+1}={{\log }_{3}}3$
$\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x+1}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+3=3x+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=5 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left[ t/m \right]$
Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 25. Chọn A.
| Ví dụ 18: Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2{{\log }_{2}}\left[ 2x-2 \right]+{{\log }_{2}}{{\left[ x-3 \right]}^{2}}=2$. Tổng các phần tử của tập S bằng:
A. $8$. B. $6+\sqrt{2}$. C. $4+\sqrt{2}$. D. $8+\sqrt{2}$. |
Lời giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} 2x-2>0 \\ {} {{\left[ x-3 \right]}^{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x>1 \\ {} x\ne 3 \\ \end{array} \right..$
Khi đó $PT\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left[ 2x-2 \right]+2{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2x-2 \right]+{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|={{\log }_{2}}2\Leftrightarrow \left[ 2x-2 \right]\left| x-3 \right|=2$
TH1: Với $x>3.\,\,PT\Leftrightarrow \left[ 2x-2 \right]\left[ x-3 \right]=2\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-8x+4=0\xrightarrow{x>3}x=2+\sqrt{2}.$
TH2: Với $1-4,x\ne 1$
$PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left| x+1 \right|+{{\log }_{2}}4={{\log }_{2}}\left[ 4-x \right]+{{\log }_{2}}\left[ 4+x \right]\Leftrightarrow 4\left| x+1 \right|=\left[ 4-x \right]\left[ 4+x \right]$
TH1: Với $4>x>-1$ ta có $4x+4=16-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-6 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=2.$
TH2: Với $-1>x>-4$ ta có $-4x-4=16-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2+2\sqrt{6} \\ {} x=2-2\sqrt{6} \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=2-2\sqrt{6}.$
Vậy PT có 2 nghiệm $x=2,x=2-2\sqrt{6}\Rightarrow T=4-2\sqrt{6}$. Chọn D.