1. hàm số . f D R .x . y Cho D R ( D ) f :D R x y f ( x) Một quy tắc f đặt tương ứng mỗi số x D với một số thực duy nhất f ( x) R ta được một hàm số , kí hiệu : y f ( x) Trong đó : x là biến số còn y là hàm số . Tập D được gọi là tập xác định của hàm số . II. Tập xác định của hàm số . Tập xác định của hàm số y f ( x) là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa . Ví dụ : Tìm tập xác định của hàm số y x 5 . Giải Hàm số xác định x5 0 x 5 Vậy tập xác định của hàm số trên là : D [-5; ) III. Đồ thị của hàm số 8 6 4 2 M( x; f(x) ) 15 10 O 5 5 10 15 2 4 6 8 Đồ thị của hàm số y f ( x) xác định trên tập xác định D là tập hợp tất cả các điểm M ( x; f ( x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x D . 1
2. Cho hàm số y x 2 2 x 3 có đồ thị là ( P) và hai điểm M( 2; 3) , N(1; 7) .Hãy cho biết trong hai điểm đã cho điểm nào nằm trên đồ thị (P). Giải Xét M(2; 3) Ta có : y x 2 2 x 3 3 22 2.2 3 ( hiển nhiên đúng) 33 M ( P) Xét N(1;7) Ta có : y x 2 2 x 3 7 2 12 2.1 3 49 2 ( vô lý ) M ( P) IV. Sự biến thiên của hàm số 1. Hàm số đồng biến ( tăng ) , nghịch biến ( giảm) a) Hàm số đồng biến ( tăng) x , x ( a; b) Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến ( tăng) trên (a;b) nếu 1 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 b) Hàm số nghịch biến ( giảm) x , x ( a; b) Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến ( giảm) trên (a;b) nếu 1 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 2. Chiều biến thiên Để chỉ hàm số y = f(x) tăng trên ( a; b) ta dùng mũi tên đi lên , còn hàm số giảm trên ( a; b) ta dùng mũi tên đi xuống . V. Tính chẵn , lẻ của hàm số 1. Hàm số chẵn x D x D Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số chẵn f ( x ) f ( x ) 2. Hàm số lẻ x D x D Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số lẻ f ( x) f ( x) Chú ý 1: Một hàm số có thể không có tính chẵn , lẻ. I. Chú ý 2 : Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng . Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p) Các dạng bài tập Dạng 1 . Tìm tập xác định của hàm số PP : Đối với hàm số dạng y f ( x) , hàm số xác định f ( x) 0 2
3. hàm số xác định g ( x) 0 g ( x) Đối với các hàm đa thức , tập xác định D = R Ví dụ 1 : Tìm tập xác định của hàm số y 2 x 1 Giải Hàm số đã cho xác định 2 x 1 0 2x 1 1 x 2 1 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D [ ; ) 2 x 1 Ví dụ 2 : Tìm tập xác định của hàm số y x2 Giải Hàm số đã cho xác định x 2 0 x2 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D R {2} Bài tập Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau : 5x 1 1) y 3x 1 15) y 2 x 9 x 14 2) y 2 x 3 x2 x 1 3) y 7 x 20 16) y 7 x2 7 4 2 4) y x 1 17) y 3 4x x2 5 18) y x 2 x 5 5) y 3x 2 19) y 3 x x 3 6 6) y 20) y 1 x 1 x x 1 21) y 7 x 1 x x 7) y 22) y x 1 3 x 3 2 x 6 2x 3 1 1 8) y 23) y 3x 2 3 x 3 4x 2 2x 1 24) y x 5 4 5 x 9) y x 25) y 4 x 3 7 3 10) y 12 26) y 5 7 4 x x 2 4x 27) y 4 x 1 2 x 1 x2 2 11) y 3 x4 28) y x 1 2x 3 5x 8 12) y 2 5x 7 x 3x 2 29) y 1 x3 13) y 2 3x x 2 x 1 30) y 2 2 x x 6x 7 14) y 2 x 9 1 31) y 4 x 2 x 3 Đối với hàm số dạng y
4. 3 x 8 x 7 50) y x 3 2 x x2 x 34) y x 1 x2 x 1 4 x 35) y ( x 2)( x 3) 3x 4 ( x 2) x 4 33) y 51) y= 52) y = x 1 x2 x2 2 37) y ( x 2). x 1 39) y 40) y= 41) y = 42) y 55) y = 56) y = x2 6x 8 57) y = 45) y = 1 x 4x 3 2 2 60) y = 1 1 x x + 1 x 2x 61) y = x 8 2 x 7 + 1 x 1 x x 2x 1 4 2 x 62) y = x 2x 1 1 x 63) y = x2 6x 8 9 x2 x2 4 + x 2 3x 2 (3x 4)(3 x ) 59) y = 64) y = 1 x 4x 3 47) y= 2 x 4 + 6 x x 1 48) y 2 x 1 2x 1 49) y 2 2x x 1 46) y= (2 x 1)(x 2) ( x 2) x 1 x 1 58) y = 2 - 3 3x 5 | x 2 | 1 9 x2 43) y x 4 3 2 x 5x 6 x x 4 44) y x2 4 x 5 54) y = x ( x 1)( x 2) x2 4 + 1 1 x 53) y x2 4 . 36) y 38) y x 8 2 x 7 + 4 x4 3x 2 x x2 x x 1 x 2 2x 3 2 5x x 2 3 2x x 1 2 Bài 2: Cho hàm số y = bằng 2 đơn vị. 65) y= 2x 1 xx 4 5 x 2x 3 . Định a để tập xác định của hàm số là đoạn thẳng có độ dài 4
5. 1 , x 0 Bài 3:Cho hàm số f ( x ) 3 x 1 , 1 x 0 x 1 a) Tìm tập xác định của hàm số y=f(x). b) Tính f(0), f(2),f(-3),f(-1). Bài 4: Cho hàm số f ( x ) x 2 x 1 i. Tìm tập xác định của hàm số. ii. Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của f(4), f ( 2), f ( ) chính xác đến hàng phần trăm. Bài 5: Tìm điều kiện của m để hàm số sau xác định trên [0;1) x a) y x m 2 b) y x m 2 x m 1 x 2m 1 Dạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của một hàm số PP: Dựa vào khái niệm tính chẵn , lẻ. x D x D Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số chẵn f ( x) f ( x) x D x D Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số lẻ f ( x ) f ( x ) Ví dụ 1 : Xét tính chẵn , lẻ của hàm số y 3x 2 2 Giải : Ta có : tập xác định D = R nên x D x D Xét : f ( x) 3( x) 2 2 3 x 2 2 f ( x) Hàm số đã cho là hàm số chẵn . Ví dụ 2 : Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y x 2 x 1 Giải : Ta có : tập xác định D = R nên x D x D Xét : f ( x) ( x) 2 ( x) 1 x 2 x 1 f ( x) f ( x ) Do Hàm số đã cho không có tính chẵn , lẻ. f ( x) f ( x ) Bài tập Xét tính chẵn , lẻ của các hàm số sau : 1) y x3 3 x 8) y x 2 x 2 2 2) y x 2 9) y 2 x 1 2 x 1 3 3) y 2 x x 10) y 2 x 3 x 4) y 3x 2 x 2 x4 x 2 1 11) y x x 5) y 2 3 2x 3 x 7 12) y 3 6) y x x x x 7) y x 4 3 x 2 1 13) y x x 5
6. 1 x 1 x 18) y (2 x 1)(2 x 1) 15) y 1 x 1 x x2 x2 16) y = x 1 x 1 x2 19) y 0 x2 ; x 1 ; 1 x 1 ;x 1 2 17) y x( x 2) Dạng 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số. Phương pháp : Tìm tập xác định D của hàm số. Giả sử x1 , x2 D ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) Lập tỉ số x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) Nếu 0 thì hàm số đã cho đồng biến ( tăng). x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) Nếu 0 thì hàm số đã cho nghịch biến (giảm). x2 x1 Ví duï : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: y f ( x ) x 1 2 x3 GIAÛI. Tập xác định: D R 3 . Giả sử x1 , x2 D ( x1 x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 2 1 x2 x1 ( x2 3).( x1 3) x1 3 0 f ( x2 ) f ( x1 ) Ta có :Với x1, x2 ;3 0 x2 3 0 x2 x1 x1 3 0 f ( x2 ) f ( x1 ) Với x1, x2 3; 0 x2 x1 x2 3 0 Vậy hàm số đã cho đồng biến trong ;3 3; . Xét tỉ số Bài tập f ( x2 ) f ( x1 ) Bài 1. . Bằng cách xét tỉ số , hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau (không yêu cầu x2 x1 lập bảng biến thiên của nó) trên các khỏang đã cho: a. y 3 x 5 d. y x 3 3 x 2 trn R b. y x 2 4 x 3 trên khoảng (; 2) x e. y trên (; 1) và (1; ) 2x 1 x 1 c. y trn khoảng (1; ) x 1 Bài 2. Giả sử f(x) là hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b). Cmr: a. Hàm số y f ( x) C (C là hằng số) nghịch biến trên khoảng (a;b). b. Hàm số y 2004 f ( x) đồng biến trên khoảng (a;b). 6
7. 3 khi 3 x 1 Bài 3.Cho hàm số f ( x) 4 x 2 khi 1 x 0 2 2 x 1 khi 0 x 3 a. Tìm tập xác định của hàm số. Tính f (1), f ( 3) . b. Trên các khoảng sau đây hàm số đồng biến hay nghịch biến (3; 2),( 1;0) ? khi x 2 3 x 4 Bài 4. Cho hàm số f ( x) 2 x 4 khi x 2 a. Tìm tập xác định của hàm số. b. Tính các giá trị f (5), f ( 5), f (0) . c. Tìm x sao cho f ( x) 5 Dạng 4. Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ 2 Bài 1: Giả sử hàm số y có đồ thị là (H) x a. Nếu tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? b. Nếu tịnh tiến (H) sang phải 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? c. Nếu tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, rồi sang trái 4 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? Bi 2. Cho (P) là đồ thị của hàm số y 3 x 2 . a. Nếu tịnh tiến (P) sang phải 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? b. Nếu tịnh tiến (P) xuống dưới 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? c. Nếu tịnh tiến (P) sang tri 1 đơn vị, rồi sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được lên trên 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? Bài 3. Cho (H) là đồ thị hàm số y = 3x a. Khi tịnh tiến (H) sang phải 4 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ? b. Khi tịnh tiến (H) lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ? c. Khi tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, rồi tịnh tiến lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ? 2 Bi 4. Cho hàm số y x 2 có đồ thị là parabol(P). Phải tịnh tiến (P) như thế nào để được đồ thị của 3 hàm số : a) y 2 x 2 7 b) y 2 x 2 5 c) y 2( x 3) 2 d ) y 2( x 4) 2 e) y 2( x 2) 2 5 f ) y 2x2 6x 1 Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f : R R biết : x 2 f ( x) f (1 x) 2 x x 4 , x R 3x 2 Bài 6. Tìm hàm số f ( x) biết : f ( ) x 2, x 1 x 1 3x 2 Bài 7. Tìm hàm số f ( x) biết f ( x 1) , x 4 x4 x 3 3x 4 Bài 8. Tìm hàm số f ( x) biết: f ( ) 2 , x 2 x2 x 5 x Bài 9. Tìm hàm số f ( x) biết: 4 f ( x) ( x 1) f ( ) 15, x 1 x 1 Bài 10. Tìm hàm số f ( x) biết: 2 f ( x) 5 x. f ( x) 4 x 3, x HÀM Số BậC NHấT Tóm tắt lý thuyết 7
8. dạng y ax b , a;b R và a≠ 0. Hàm số bậc nhất có tập xác định D = R a > 0 hàm số đồng biến trên R a < 0 hàm số nghịch biến trên R 2. Bảng biến thiên : a>0 x y = ax + b - a<0 x y = ax + b + + - + - + - Bài tập 6 Bài 1.Cho hàm số y 3 2 4 x . Không sử dụng máy tính hãy so sánh hai giá trị: f (7 5 ) và 5 6 f (7 5 ) . 5 7 101 3 5 Bài 2. Cho hàm số y x . Không sử dụng máy tính hãy so sánh hai giá trị: f ( ) và 102 203 4 3 5 f( ). 4 Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của k sao cho đồ thị của hàm số y = -2x +k(x+1) a) Đi qua gốc tọa độ O. b) Đi qua điểm M(-2,3) c) Song song với đường thẳng y 2 x Bài 4. Trong mỗi trường hợp sau, xác định a và b sao cho đường thẳng y ax b a. Cắt đường thẳng y=2x+5 tại điểm có hòanh độ bằng -2 và cắt đường thẳng y= -3x+4 tại điểm có tung độ bằng -2. 1 1 b. Song song với đường thẳng y x và đi qua giao điểm của hai đường thẳng y x 1 và 2 2 y= 3x+5. Bài 5. a. Cho điểm A( xo , yo ) , hãy xác định tọa độ của điểm B, biết rằng B đối xứng với A qua trục hòanh . b. Chứng minh rằng hai đường thẳng y = x-2 và y= 2- x đối xứng với nhau qua trục hòanh. c. Tìm biểu thức xác định hàm số y=f(x), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng y= -2x+3 qua trục hoành . Bài 6. a. Tìm điểm A sao cho đường thẳng y = 2mx+1-m luôn đi qua A, dù m lấy bất kỳ giá trị nào. b. Tìm điểm B sao cho đường thẳng y = mx-3-x luôn đi qua B, dù m lấy bất kỳ giá trị nào. Bài 7. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho a. Ba đường thẳng y=2x, y= -3-x và y = mx+5 phân biệt và đồng quy. b. Ba đường thẳng y= -5(x+1), y=mx+3 và y=3x+m phân biệt và đồng quy. Bài 8. Cho Cho 2 đường thẳng 1 : y = (2m -1)x +4m - 5 ; 2 : y = (m – 2) x + m + 4 a. Tìm 2 điểm cố định của 2 đường thẳng 8
9. để đồ thị 1 song song với 2 Bi 9. Chứng minh rằng phương trình đường thẳng cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A(a;0) , B(0;b) x y với ab 0 l 1 . a b Bi 10. Tìm hàm số y ax b biết đồ thị của nó: a. Qua hai điểm A(3; -4) và B(1; -1) b. Qua A(3; -4) và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. c. Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là – 2 và song song với đường thẳng (d) có phương trình y 4 x 4 d. Đi qua giao điểm của đường thẳng y 3 x 6 với trục hoành và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6 . Bi 11. Với mỗi giá trị của m, xét đường thẳng (d m ) : y (2 m 1) x 3 a. Với m = 2, hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d 2) b. Tìm điểm cố định mà đường thẳng đ cho luôn đi qua với mọi m. HÀM Số BậC HAI Tóm tắt lý thuyết Hàm số có dạng y = ax2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠ 0 a>0 a<0 Tập xác định là R Tập xác định là R b b Đỉnh I ( ; ) Đỉnh I ( ; ) 2a 4a 2a 4a b b Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -; ) 2a 2a b b và đồng biến trên khoảng ( ; +) và đồng biến trên khoảng ( ; +) 2a 2a Bảng biến thiên Bảng biến thiên x x b b - + - + 2a 2a y y + + 4a - - 4a Trục đối xứng là đường x = b Trục đối xứng là đường x = 2a b 2a Bài tập Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x 2 3 x 4 Giải *Tập xác định: D R *Bảng biến thiên Do a 1 0 ta có : 9
10. trên ( ; ) , giảm trên (; ) 2 2 3 Hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x 2 25 Hàm số có đỉnh I ( 2; ) 4 *Điểm đặc biệt 3 25 (4;0) ,(1; 0), ( ; ) 2 4 *Đồ thị 6 4 2 15 10 5 O A B 5 10 2 4 6 I 8 10 Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a. y 2 x 2 2 x 3 e. 2 b. y x 4 x f. 2 c. y 2 x x 1 g. y 2 x2 x 1 y x2 2x 1 y 4 x2 x 4 d. y 3 x 2 2 x 1 Bài 2. Cho hàm số y 2 x 2 12 x 5 2 1 . Không sử dụng máy tính hãy so sánh các giá trị sau : 10 15