Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB bất kỳ. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. E và F là hai điểm bất kỳ trên dây AB. Gọi C và D tương ứng là giao điểm của ME, MF của đường tròn [O]. Chứng minh \[\widehat {EFD} + \widehat {ECD} = {180^0}\].
Giải
Ta có M là điểm chính giữa cung nhỏ \[\overparen{AB}\]
\[ \Rightarrow \] sđ \[\overparen{MA}\] = sđ \[\overparen{MB}\] [1]
\[\widehat D = {1 \over 2}\] sđ \[\overparen{MAC}\] [tính chất góc nội tiếp]
\[ \Rightarrow \] \[\widehat D = {1 \over 2}\] [sđ \[\overparen{MA}\] + sđ \[\overparen{AC}\]] [2]
\[\widehat{AEC} = {1 \over 2}\] [sđ \[\overparen{MB}\] + sđ \[\overparen{AC}\]] [tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\widehat D = \widehat {AEC}\]
\[\widehat {AEC} + \widehat {CEF} = 180^\circ \] [kề bù]
\[ \Rightarrow \]\[\widehat D + \widehat {CEF} = 180^\circ \] [4]
Trong tứ giác CEFD ta có:
\[\widehat {CEF} + \widehat D + \widehat {ECD} + \widehat {EFD} = 360^\circ \] [tổng các góc trong tứ giác] [5]
Từ [4] và [5] suy ra: \[\widehat {ECD} + \widehat {EFD} = 180^\circ \]
Câu 5.2 trang 105 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy 3 điểm A, B, C trên đường tròn đó sao cho
AB = BC = CA. Gọi I là điểm bất kỳ của cung nhỏ BC [và I không trùng với B, C].
Gọi M là giao điểm của CI và AB. Gọi N là giao điểm của BI và AC. Chứng minh:
- \[\widehat {ANB} = \widehat {BCI}\]
- \[\widehat {AMC} = \widehat {CBI}\]
Giải
AB = AC = BC [gt]
Suy ra các cung nhỏ \[\overparen{AB}\] = \[\overparen{AC}\] = \[\overparen{BC}\] [1]
- \[\widehat {BCI} = {1 \over 2}\] sđ \[\overparen{BI}\] [tính chất góc nội tiếp]
hay \[\widehat {BCI} = {1 \over 2}\] [sđ \[\overparen{BC}\]- sđ \[\overparen{CI}\]] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {BCI} = {1 \over 2}\] [sđ \[\overparen{AB}\]- sđ \[\overparen{CI}\] [3]
\[\widehat {ANB} = {1 \over 2}\] [sđ \[\overparen{AB}\]- sđ \[\overparen{CI}\]] [tính chất góc có ở đỉnh ở ngoài đường tròn] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: \[\widehat {ANB} = \widehat {BCI}\]
- \[\widehat {CBI} = {1 \over 2}\] sđ \[\overparen{CI}\][tính chất góc nội tiếp]
Hay \[\widehat {CBI} = {1 \over 2}\] [sđ \[\overparen{BC}\]- sđ \[\overparen{BI}\]] [5]
Từ [1] và [5] suy ra: \[\widehat {CBI} = {1 \over 2}\] [sđ \[\overparen{AC}\]- sđ \[\overparen{BI}\]] [6]
\[\widehat {AMC} = {1 \over 2}\] [sđ \[\overparen{AC}\]- sđ \[\overparen{BI}\]] [tính chất góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn] [7]
Tổng số tuổi của tôi và của em tôi năm nay bằng 26. Khi tổng số tuổi của chúng tôi gấp 5 lần tuổi của tôi hiện nay thì tuổi của tôi khi đó sẽ gấp 3 lần tuổi của em tôi hiện nay. Hãy tính tuổi hiện nay của mỗi người chúng tôi.
Giải
Gọi tuổi của tôi hiện nay là x [tuổi]
Điều kiện: x ∈ N*; 13 < x < 26 thì tuổi hiện nay của em tôi là 26 – x [tuổi]
Gọi số năm phải thêm là y [năm], điều kiện: y ∈ N*
Vì sau y năm tổng tuổi hai anh em gấp 5 lần tuổi tôi hiện nay, ta có phương trình:
\[\left[ {x + y} \right] + \left[ {26 - x + y} \right] = 5x\]
Tuổi của tôi sau y năm gấp 3 lần tuổi em tôi hiện nay, ta có phương trình:
\[x + y = 3\left[ {26 - x} \right]\]
Ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {\left[ {x + y} \right] + \left[ {26 - x + y} \right] = 5x} \cr {x + y = 3\left[ {26 - x} \right]} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {5x - 2y = 26} \cr {4x + y = 78} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {5x - 2y = 26} \cr {8x + 2y = 156} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {13x = 182} \cr {4x + y = 78} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 14} \cr {4.14 + y = 78} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x = 14} \cr {y = 22} \cr} } \right. \cr} \]
x = 14; y = 22 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy hiện nay tuổi tôi là 14 tuổi, tuổi em tôi là 26 – 14 = 12 [tuổi]
Câu 5.2 trang 15 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Có hai bến xe khách P và Q. Một người đi xe đạp từ P đến Q với vận tốc không đổi, nhận thấy cứ 15 phút lại có một xe khách đi cùng chiều vượt qua và cứ 10 phút lại gặp một xe khách đi ngược chiều. Giả thiết rằng các xe khách chạy với cùng một vận tốc, không dừng lại trên đường và ở cả hai bến, cứ x phút lại có một xe rời bến. Hỏi thời gian x là bao nhiêu phút và vận tốc xe khách bằng bao nhiêu lần vận tốc người đi xe đạp?
Giải
Gọi vận tốc người đi xe đạp là y [km/phút]
Vận tốc xe khách là z [km/phút]
Điều kiện: z > y > 0
Xét trường hợp các xe khách đi cùng chiều với xe đạp.
Giả sử xe khách thứ nhất vượt xe đạp ở điểm B thì xe khách thứ hai ở điểm A như hình vẽ.
Hai xe khởi hành cách nhau x phút nên quãng đường xe khách đi đoạn AB dài xz [km].
Gọi điểm xe khách thứ hai vượt xe đạp là C thì quãng đường BC người đi xe đạp hết 15 phút nên đoạn BC dài là: 15y [km]. Quãng đường AC là quãng đường xe khách đi hết 15 phút nên đoạn AC dài 15z [km].
Ta có phương trình: xz + 15y = 15z
Xét trường hợp các xe khách đi ngược chiều với xe đạp.
Giả sử người đi xe đạp gặp xe khách thứ nhất tại điểm D thì xe khách thứ hai ở vị trí E như hình vẽ.
Hai xe khách khởi hành cách nhau x phút nên đoạn đường DE xe khách đi dài xz [km]. Sau đó 10 phút xe đạp gặp xe khách thứ hai tại điểm F thì quãng đường hai xe đi bằng đoạn đường DE]
Ta có phương trình: 10y + 10z = xz
Ta có hệ phương trình:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {xz + 15y = 15z} \cr {10y + 10z = xz} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {xz + 15y = 15z} \cr {xz - 10y = 10z} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {x + 15{y \over z} = 15} \cr {x - 10{y \over z} = 10} \cr} } \right. \cr} \]
Đặt \[{y \over z} = t\] ta có:
\[\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {x + 15t = 15} \cr {x - 10t = 10} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {25t = 5} \cr {x - 10t = 10} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {t = {1 \over 5}} \cr {x - 10.{1 \over 5} = 10} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {t = {1 \over 5}} \cr {x = 12} \cr} } \right. \cr} \]
Suy ra: \[x = 12;{y \over z} = {1 \over 5} \Rightarrow 5y = z\]
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy cứ 12 phút lại có một chuyến xe khách rời bến và vấn tốc của xe khách gấp 5 lần vận tốc của xe đạp.