Bài 16 trang 28 sgk toán 11 nâng cao năm 2024
Chương 1 : Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản Bài 16 (trang 28 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:
Bài 16. Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho
Giải
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\) Với điều kiện \(0 < x < π\) ta có : * \(0 < - {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\) Nên\( k = 1\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{11\pi } \over {12}}\) * \(0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\) Nên \(k = 0\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{7\pi } \over {12}}\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng \((0 ; π)\) là : \(x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}\)
Ta tìm \(k\) để điều kiện \(–π < x < π\) được thỏa mãn. Xét họ nghiệm thứ nhất : \(\eqalign{ & - \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi \Leftrightarrow - 7\pi - 30 < 12k\pi < 5\pi - 30 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} \cr & Vi\, - 1,38 < - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < - 0,37\,,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr & \,\,\,\,\, - 1,38 < k < - 0,37 \cr} \) Chỉ có một giá trị \(k\) nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là \(k = -1\). Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \(x = {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{11\pi } \over 6}\) Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai : \( - \pi < - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - 5\pi - 30 < 12k\pi < 7\pi - 30.\) Vậy \(k = -1\) Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là \(x = - {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{13\pi } \over 6}\) Đề bàiBài 16. Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho
Hướng dẫn giải
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\) Với điều kiện \(0 < x < π\) ta có : * \(0 < - {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\) Nên\( k = 1\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{11\pi } \over {12}}\) * \(0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\) Nên \(k = 0\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{7\pi } \over {12}}\) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng \((0 ; π)\) là : \(x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}\)
Ta tìm \(k\) để điều kiện \(–π < x < π\) được thỏa mãn. Xét họ nghiệm thứ nhất : \(\eqalign{ & - \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi \Leftrightarrow - 7\pi - 30 < 12k\pi < 5\pi - 30 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} \cr & Vi\, - 1,38 < - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < - 0,37\,,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr & \,\,\,\,\, - 1,38 < k < - 0,37 \cr} \) Chỉ có một giá trị \(k\) nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là \(k = -1\). Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \(x = {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{11\pi } \over 6}\) Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai : \( - \pi < - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - 5\pi - 30 < 12k\pi < 7\pi - 30.\) Vậy \(k = -1\) Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là \(x = - {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{13\pi } \over 6}\) |