Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Hướng dẫn làm bài:
Giả sử có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh AB, AC, AD, BC, CD, BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Khi đó AM, AN, AP là các tiếp tuyến cùng xuất phát từ A nên AM = AN = AP.
Bài 2.20 trang 61 Sách bài tập Hình học 12: Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.
Lời giải:
Quảng cáo
Gọi H trọng tâm của tam giác đều BCD.
Ta có AH ⊥ [BCD]. Do đó
Vậy
Mặt khác OC2 = OH2 + HC2
hay OC = OB = OD = [a√2]/2
Vì BD = BC = CD = a nên các tam giác DOB, BOC, COD là những tam giác vuông cân tại O. Do đó hình chóp ODBC là hình chóp có đáy là tam giác đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trên OH, ngoài ra tâm của mặt cầu ngoại tiếp này phải nằm trên trục của tam giác vuông DOB. Từ trung điểm C’ của cạnh BD ta vẽ đường thẳng song song với OC cắt đường thẳng OH tại I. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và IC2 = IH2 + HC2.
Chú ý rằng IH = OH/2 [vì HC′ = HC/2]
Do đó:
Quảng cáo
Các bài giải sách bài tập Hình học 12 khác:
- Bài 2.20 trang 61 Sách bài tập Hình học 12: Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a....
- Bài 2.21 trang 61 Sách bài tập Hình học 12: Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao....
- Bài 2.22 trang 61 Sách bài tập Hình học 12: Cho hình cầu tâm O bán kính r....
- Bài 2.23 trang 61 Sách bài tập Hình học 12: Cho hình cầu đường kính AA' = 2r....
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12
Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Cho hình lập phương có cạnh bằng \[a\] và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi \[{S_1}\] là diện tích 6 mặt của hình lập phương, \[{S_2}\] là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số \[\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\] bằng:
Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện [giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và trục của tam giác vuông BOD].
- Tính bán kính và kết luận.
Quảng cáo
Lời giải chi tiết
Gọi H trọng tâm của tam giác đều BCD.
Ta có \[\displaystyle AH \bot [BCD]\]. Do đó, \[\displaystyle A{H^2} = A{C^2} - H{C^2}\] \[\displaystyle = {a^2} - {[{2 \over 3}{{a\sqrt 3 } \over 2}]^2} = {{2{a^2}} \over 3}\]
Vậy \[\displaystyle AH = {{a\sqrt 6 } \over 3}\] và \[\displaystyle OH = {{a\sqrt 6 } \over 6}\]
Mặt khác \[\displaystyle O{C^2} = O{H^2} + H{C^2}\] \[ \displaystyle = {{{a^2}} \over 6} + {{{a^2}} \over 3} = {{{a^2}} \over 2}\] hay \[\displaystyle OC = OB = OD = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]
Vì \[BD = BC = CD = a\] nên các tam giác \[DOB, BOC, COD\] là những tam giác vuông cân tại O.
Do đó hình chóp ODBC là hình chóp có đáy là tam giác đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trên OH, ngoài ra tâm của mặt cầu ngoại tiếp này phải nằm trên trục của tam giác vuông DOB.
Từ trung điểm C’ của cạnh BD ta vẽ đường thẳng song song với OC cắt đường thẳng OH tại I.
Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và IC2 = IH2 + HC2.
Chú ý rằng \[\displaystyle IH = {1 \over 2}OH\] [vì \[\displaystyle HC' = {1 \over 2}HC\]]
Do đó: \[\displaystyle I{C^2} = {{{a^2}} \over {24}} + {{{a^2}} \over 3} = {{9{a^2}} \over {24}}\] hay \[\displaystyle IC = {{a\sqrt 6 } \over 4}\]
Loigiaihay.com
- Bài 2.21 trang 61 SBT hình học 12 Giải bài 2.21 trang 61 sách bài tập hình học 12. Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE
- Bài 2.22 trang 61 SBT hình học 12 Giải bài 2.22 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và bằng 30^0.
- Bài 2.23 trang 61 SBT hình học 12 Giải bài 2.23 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho. Mặt phẳng qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn [C].
- Bài 2.19 trang 61 SBT hình học 12 Giải bài 2.19 trang 61 sách bài tập hình học 12. Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12 Giải bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12. Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều , có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.
\>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
\>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.