Baài 2.20 sách bài tập hình học 12 năm 2024
|
Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Phương pháp giải - Xem chi tiết - Xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và trục của tam giác vuông BOD). - Tính bán kính và kết luận. Lời giải chi tiết Gọi H trọng tâm của tam giác đều BCD. Ta có AH⊥(BCD). Do đó, AH2=AC2−HC2 =a2−(23a32)2=2a23 Vậy AH=a63 và OH=a66 Mặt khác OC2=OH2+HC2 =a26+a23=a22 hay OC=OB=OD=a22 Vì BD=BC=CD=a nên các tam giácDOB,BOC,COD là những tam giác vuông cân tại O. Do đó hình chóp ODBC là hình chóp có đáy là tam giác đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trên OH, ngoài ra tâm của mặt cầu ngoại tiếp này phải nằm trên trục của tam giác vuông DOB. Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau. Hướng dẫn làm bài: Giả sử có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh AB, AC, AD, BC, CD, BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Khi đó AM, AN, AP là các tiếp tuyến cùng xuất phát từ A nên AM = AN = AP. Sách bài tập Hình học 12 cơ bản (SBT HH12 CB) gồm 149 trang do nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam phát hành, sách cung cấp hệ thống bài tập Toán bổ trợ cho học sinh khối 12 trong quá trình học tập Hình học 12 cơ bản, có đáp số và hướng dẫn giải. Sách được biên soạn bởi các tác giả: Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên. Xem thêm: Sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUANtại I. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và \(IC^2=\dfrac{1}{2}OH\) (vì \(HC'=\dfrac{1}{2}HC\)) Do đó : \(IC^2=\dfrac{a^2}{24}+\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{9a^2}{24}\) hay \(IC=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\) Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Hướng dẫn làm bài: Gọi H trọng tâm của tam giác đều BCD. Ta có \(AH \bot (BCD)\) . Do đó, \(A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {a^2} - {({2 \over 3}{{a\sqrt 3 } \over 2})^2} = {{2{a^2}} \over 3}\) Vậy \(AH = {{a\sqrt 6 } \over 3}\) và \(OH = {{a\sqrt 6 } \over 6}\) Mặt khác \(O{C^2} = O{H^2} + H{C^2} = {{{a^2}} \over 6} + {{{a^2}} \over 3} = {{{a^2}} \over 2}\) hay \(OC = OB = OD = {{a\sqrt 2 } \over 2}\) Vì BD = BC = CD = a nên các tam giác DOB, BOC, COD là những tam giác vuông cân tại O. Do đó hình chóp ODBC là hình chóp có đáy là tam giác đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trên OH, ngoài ra tâm của mặt cầu ngoại tiếp này phải nằm trên trục của tam giác vuông DOB. Từ trung điểm C’ của cạnh BD ta vẽ đường thẳng song song với OC cắt đường thẳng OH tại I. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và IC2 = IH2 + HC2. Chú ý rằng \(IH = {1 \over 2}OH\) (vì \(HC' = {1 \over 2}HC\)) Do đó: \(I{C^2} = {{{a^2}} \over {24}} + {{{a^2}} \over 3} = {{9{a^2}} \over {24}}\) hay \(IC = {{a\sqrt 6 } \over 4}\) Sachbaitap.com Bài tiếp theo Xem lời giải SGK - Toán 12 - Xem ngay \>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi. |
