Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương,"n giai thừa", ký hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên. n n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 50408 403209 36288010 362880015 130767436800020 243290200817664000025 50 70 100 171 450 1000 3249 10000 25206 100000 205023 1000000 10 [[googol|]] 10 10Các giá trị trên được tính bởi OEIS. n! = 1.2.3....n VD: 4! = 1.2.3.4 = 24 8! = 1.2.3.....7.8 = 40 320
Nội dung chính Show
- Mục lục
- Định nghĩa đệ quySửa đổi
- Một số tính chất của giai thừaSửa đổi
- Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừaSửa đổi
- Mở rộng cho tập số rộng hơnSửa đổi
- Công thức GammaSửa đổi
- Giai thừa với số thựcSửa đổi
- Giai thừa với số phứcSửa đổi
- Các khái niệm tương tựSửa đổi
- Giai thừa nguyên tố [primorial]Sửa đổi
- Giai thừa képSửa đổi
- Giai thừa bộiSửa đổi
- Siêu giai thừa[superfactorial]Sửa đổi
- Giai thừa trênSửa đổi x n ¯ = x [ x + 1 ] [ x + 2 ] [ x + n 1 ] = [ x + n 1 ] ! [ x 1 ] ! {\displaystyle x^{\overline {n}}=x[x+1][x+2]\cdots [x+n-1]={\frac {[x+n-1]!}{[x-1]!}}}
- Tham khảoSửa đổi
- Liên kết ngoàiSửa đổi
Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước 0! = 1. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.
Giai thừa phổ biến trong các phép toán tổ hợp - xác suất
Mục lục
- 1 Định nghĩa đệ quy
- 2 Một số tính chất của giai thừa
- 3 Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa
- 4 Mở rộng cho tập số rộng hơn
- 4.1 Công thức Gamma
- 4.2 Giai thừa với số thực
- 4.3 Giai thừa với số phức
- 5 Các khái niệm tương tự
- 5.1 Giai thừa nguyên tố [primorial]
- 5.2 Giai thừa kép
- 5.3 Giai thừa bội
- 5.4 Siêu giai thừa[superfactorial]
- 5.5 Giai thừa trên
- 6 Tham khảo
- 7 Liên kết ngoài
Định nghĩa đệ quySửa đổi
Ta có thể định nghĩa đệ quy [quy nạp] n! như sau
- 0! = 1
- [n + 1]! =n! × [n + 1] với n> 0
Một số tính chất của giai thừaSửa đổi
- Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn hàm mũ hai tầng [abc] có cùng cơ số và mũ.
- log a [ n ! ] = x = 1 n log a [ x ] . {\displaystyle \log _{a}{[n!]}=\sum _{x=1}^{n}\log _{a}[x].}
- 1 n log x d x x = 1 n log x 0 n log [ x + 1 ] d x {\displaystyle \int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log[x+1]\,dx}
- n log [ n e ] + 1 log n ! [ n + 1 ] log [ n + 1 e ] + 1. {\displaystyle n\log \left[{\frac {n}{e}}\right]+1\leq \log n!\leq [n+1]\log \left[{\frac {n+1}{e}}\right]+1.}
- e [ n e ] n n ! e [ n + 1 e ] n + 1 . {\displaystyle e\left[{\frac {n}{e}}\right]^{n}\leq n!\leq e\left[{\frac {n+1}{e}}\right]^{n+1}.}
- n ! 2 π n [ n e ] n . {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left[{\frac {n}{e}}\right]^{n}.}
[Công thức Stirling].
- n ! > 2 π n [ n e ] n . {\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\left[{\frac {n}{e}}\right]^{n}.}
- ln [ n ! ] n ln [ n ] n + ln [ n [ 1 + 4 n [ 1 + 2 n ] ] ] 6 + ln [ π ] 2 . {\displaystyle \ln[n!]\approx n\ln[n]-n+{\frac {\ln[n[1+4n[1+2n]]]}{6}}+{\frac {\ln[\pi ]}{2}}.}
Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan.
Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừaSửa đổi
- Công thức tính số tổ hợp: C n k = n ! k ! [ n k ] ! [ 0 < k n ] {\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k![n-k]!}}[0