SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ
|
Quan tâm
0
|
A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
$1.$ Cho hàm số $y=f[x]$ có đồ thị $[C_1]$ và hàm số $y=g[x]$ có đồ thị $[C_2]$. Xét sự tương giao của $[C_1]$ và $[C_2]$ theo các bước. + Lập phương trình hoành độ giao điểm của $[C_1]$ và $[C_2]$ là $f[x]=g[x] f[x]-g[x]=0 [1]$ + Biện luận số giao điểm của $[C_1]$ và $[C_2]$ qua nghiệm của PT $[1]$ Nếu $[1]$ vô nghiệm thì $[C_1]$ không cắt $[C_2]$ Nếu $[1]$ có nghiệm bội chẵn [dạng $[x-a]^{2n}.F[x]=0$] thì $[C_1]$ tiếp xúc với $[C_2]$ Nếu $[1]$ có $n$ nghiệm đơn thì $[C_1]$ cắt $[C_2]$ tại $n$ điểm phân biệt $2.$ Điều kiện $[C_1]$ và$[C_2]$ tiếp xúc nhau còn có thể thể hiện thông qua sự kiện hệ phương trình sau có nghiệm $\begin{cases}f[x]=g[x] \\ f'[x]=g'[x] \end{cases} [2]$ HPT $[2]$ có bấy nhiêu nghiệm thì hai đồ thị tiếp xúc nhau tại bấy nhiêu điểm. $3.$ Có ba phương pháp cơ bản để giải quyết các bài toán dạng này: + Phương pháp nhẩm nghiệm: Thường là nhẩm nghiệm hữu tỷ. + Phương pháp đồ thị : Dựa vào hình dáng đồ thị và cực trị của hàm số. + Phương pháp hàm số: Chuyển về bài toán tương giao mới. B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC Ví dụ $1.$ Cho hàm số $[C_m] : y = x^3 3[m+1]x^2+2[m^2+4m+1]x-4m[m+1]$ Tìm $m$ để $[C_m]$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn $1.$ Lời giải: Phương trình biểu diễn trục hoành có dạng $y=0$ nên PT biểu diễn sự tương giao của $[C_m]$ và trục hoành là : $ x^3 3[m+1]x^2+2[m^2+4m+1]x-4m[m+1]=0$ Nhận thấy $x=2$ thỏa mãn PT này nên trước hết ta phân tích để tạo ra nhân tử $x-2$ ở vế trái của PT. PT $\Leftrightarrow x^3 2x^2-[3m+1]x^2+6[3m+1]x+2m[m+1]x-4m[m+1]=0$ $\Leftrightarrow [x-2]\left[ {x^2-[3m+1]x+2m[m+1]} \right]=0$ Tiếp tục phân tích với nhận xét $x=2m$ là nghiệm của PT. PT $\Leftrightarrow [x-2]\left[ {x^2-2mx-[m+1]x+2m[m+1]} \right]=0$ $\Leftrightarrow [x-2][x-2m][x-m-1]=0$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\\x=2m\\x=m+1 \end{matrix}} \right.$ Như vậy, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \boxed{\displaystyle\begin{cases}m>\frac{1}{2} \\m \ne 1 \end{cases}}$. Ví dụ $2.$ [Đại học Khối $D-2006$] Cho $[C]: y=x^3-3x+2$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $A[3; 20]$ có hệ số góc $m$. Tìm $m$ để đường thằng $d$ cắt $[C]$ tại ba điểm phân biệt. Lời giải: Phương trình đường thẳng $[d]$ có dạng, $[d]: y=m[x-3]+20$. Phương trình hoành độ giao điểm của $[C]$ và $[d]$ là $x^3-3x+2=m[x-3]+20$ $\Leftrightarrow x^3-3x-18=m[x-3]$ $\Leftrightarrow [x-3][x^2+3x+6]=m[x-3]$ $\Leftrightarrow [x-3][\underbrace{x^2+3x+6-m}_{\displaystyle g[x]}]=0 [1]$ Như vậy ta cần PT $[1]$ có ba nghiệm phân biệt, tức là PT $g[x]=0$ có hai nghiệm phận biệt và khác $3$. Viết thành $\begin{cases}\Delta_g > 0 \\ g[3] \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}4m-15>0 \\ 24-m \ne 0\end{cases}\Leftrightarrow \boxed{\displaystyle\begin{cases}m>\frac{15}{4} \\ m \ne 24\end{cases}}$ Ví dụ $3.$ Cho hàm số $[C_m] : y=x^3-2mx^2+[2m^2-1]x+m[1-m^2]$ Tìm $m$ để $[C_m]$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Lời giải : Xét phương trình tương giao : $ x^3-2mx^2+[2m^2-1]x+m[1-m^2]=0$ $\Leftrightarrow [x-m]\underbrace{[x^2-mx+m^2-1]}_{\displaystyle g[x]}=0$ Yêu cầu bài toán trở thành $m>0$ và PT $g[x]=0$ có hai nghiệm dương phân biệt khác $m$. $\Leftrightarrow \begin{cases}m>0 \\ \Delta_g >0\\P=x_1x_2=\frac{c}{a}>0\\S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0\\g[m] \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m>0 \\ 4-3m^2 >0\\m^2-1>0\\m>0\\m^2-1 \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow \boxed{\displaystyle10 \\-m \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m>-\frac{1}{4} \\ m \ne 0\end{cases}$. Nhận thấy ở ký hiệu ban đầu của bài toán thì $x_1=1$ và $x_2, x_3$ là các nghiệm của PT $g[x]=0$. Như vậy, $x_1^2+ x_2^2+ x_3^2 0\\[3-x_1][3-x_2]>0\\x_1+x_20\\x_1+x_2 Chủ Đề |