Soạn SBT ngữ văn 10 tập 2 chân trời sáng tạo
Soạn SBT ngữ văn 10 tập 2 kết nối tri thức
Soạn SBT ngữ văn 10 tập 1 cánh diều
Soạn SBT ngữ văn 10 tập 1 chân trời sáng tạo
Soạn SBT ngữ văn 10 tập 1 kết nối tri thức
Soạn SBT ngữ văn 10 tập 2 cánh diều
Soạn tập bản đồ địa lí 10
Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Công thức lượng giác chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10.
Ví dụ 1: Tính \[\sin \frac{{5\pi }}{{12}};c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}}\]
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos
* Ta có \[\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{2\pi + 3\pi }}{{12}} = \sin [\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4}]\]
\[\begin{array}{l} = \sin \frac{\pi }{6}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}.\sin \frac{\pi }{4}\\ = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\]
* Ta có \[c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}} = c{\rm{os}}\frac{{3\pi + 4\pi }}{{12}} = \cos [\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3}]\]
\[\begin{array}{l} = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\]
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
\[\begin{array}{l} a]{\rm{ }}\tan [\frac{\pi }{4} - a] = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\ b]{\rm{ }}\tan [\frac{\pi }{4} + a] = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\]
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng đối với tan
\[\begin{array}{l} a]\tan [\frac{\pi }{4} - a] = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\ b]\tan [\frac{\pi }{4} + a] = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\]
Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết \[\sin a = - \frac{3}{5}{\rm{, }}\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\]
Hướng dẫn:
+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp
+ Áp dụng công thức nhân đôi
\[\begin{array}{l} {\sin ^2}a + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a\\ \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {[ - \frac{3}{5}]^2} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos a = \pm \frac{4}{5}
\end{array}\]
Vì \[\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\] nên \[\cos a = - \frac{4}{5}\]
Vậy \[\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.[ - \frac{3}{5}][ - \frac{4}{5}] = \frac{{24}}{{25}}\]
\[\begin{array}{l} \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2{[ - \frac{4}{5}]^2} - 1 = \frac{{32}}{{25}} - 1 = \frac{7}{{25}}\\ \tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{c{\rm{os}}2a}} = \frac{{24}}{{25}}.\frac{{25}}{7} = \frac{{24}}{7}
\end{array}\]
Ví dụ 4: Tính \[{\rm{sin}}\frac{\pi }{8};\tan \frac{\pi }{8}\]
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức hạ bậc
Ta có \[{\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\]
Vì \[\sin \frac{\pi }{8} > 0\] nên suy ra \[\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\]
\[{\tan ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{{1 + c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\]
Vì \[\tan \frac{\pi }{8} > 0\] nên suy ra \[\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} = \sqrt {\frac{{{{[2 - \sqrt 2 ]}^2}}}{2}} = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } = \sqrt 2 - 1\]
Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức
\[A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}};B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\]
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
\[\begin{array}{l} A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left[ {\frac{{15\pi }}{{12}} - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right] + \sin \left[ {\frac{{15\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right]} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{10\pi }}{{12}} + \sin \frac{{20\pi }}{{12}}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{6} + \sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left[ { - \frac{{2\pi }}{3}} \right]} \right] = \frac{1}{2}[\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}] = \frac{1}{4}\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]
\end{array}\]
\[\begin{array}{l} B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {{{75}^0} - {{15}^0}} \right] + \cos \left[ {{{75}^0} + {{15}^0}} \right]} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 0} \right] = \frac{1}{4}
\end{array}\]
Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức
\[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 .\sin [x + \frac{\pi }{4}]\]
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức [có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức]
\[\begin{array}{l} VT{\rm{ = sinx}} + \cos x = \sin x + \sin [\frac{\pi }{2} - x]\\ = 2\sin \frac{\pi }{4}.\cos [x - \frac{\pi }{4}] = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos [\frac{\pi }{4} - x]\\ = \sqrt 2 .\sin [\frac{\pi }{2} - [\frac{\pi }{4} - x]{\rm{]}} = \sqrt 2 .\sin [x + \frac{\pi }{4}] = VP
\end{array}\]
Nội dung bài viết gồm 2 phần:
- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Công thức cộng
- \[cos\,[a-b]=cos\,a\,cos\,b+sin\,a\,sin\,b\]
- \[cos\,[a+b]=cos\,a\,cos\,b-sin\,a\,sin\,b\]
- \[sin\,[a-b]=sin\,a\,cos\,b-cos\,a\,sin\,b\]
- \[sin\,[a+b]=sin\,a\,cos\,b+cos\,a\,sin\,b\]
- \[tan\,[a+b]=\frac{tan\,a-tan\,b}{1+tan\,a\,tan\,b}\]
- \[tan\,[a-b]=\frac{tan\,a+tan\,b}{1-tan\,a\,tan\,b}\]
II. Công thức nhân đôi
- \[sin\,2a=2\,sin\,a\,cos\,a\]
- \[cos\,2a=cos^2\,a-sin^2\,a=2cos^2\,a-1=1-2sin^2\,a\]
- \[tan\,2a=\frac{2tan\,a}{1-tan^2\,a}\]
Công thức hạ bậc
- \[\cos^2\,a = \frac{1+cos\,2a}{2}\]
- \[sin^2\,a = \frac{1-cos\,2a}{2}\]
- \[tan^2\,a=\frac{1-cos\,2a}{1+cos\,2a}\]
III. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
- \[cos\,a\,cos\,b=\frac{1}{2}[cos\,[a-b]+cos\,[a+b]]\]
- \[sin\,a\,sin\,b=\frac{1}{2}[cos\,[a-b]-cos\,[a+b]]\]
- \[sin\,a\,cos\,b=\frac{1}{2}[sin\,[a-b]+sin\,[a+b]]\]
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
- \[cos\,u+cos\,v=2cos\,\frac{u+v}{2}cos\,\frac{u-v}{2}\]
- \[cos\,u-cos\,v=-2sin\,\frac{u+v}{2}sin\,\frac{u-v}{2}\]
- \[sin\,u+sin\,v=2sin\,\frac{u+v}{2}cos\,\frac{u-v}{2}\]
- \[sin\,u+sin\,v=2cos\,\frac{u+v}{2}sin\,\frac{u-v}{2}\]
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: trang 153 sgk Đại số 10
Tính
a] \[\cos {225^0},\sin {240^0},cot[ - {15^0}],tan{75^0}\];
b] \[\sin \frac{7\pi}{12}\], \[\cos \left [ -\frac{\pi}{12} \right ]\], \[\tan\left [ \frac{13\pi}{12} \right ]\]
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: trang 154 sgk Đại số 10
Tính
a] \[\cos[α + \frac{\pi}{3}\]], biết \[\sinα = \frac{1}{\sqrt{3}}\] và \[0 < α < \frac{\pi }{2}\].
b] \[\tan[α - \frac{\pi }{4}\]], biết \[\cosα = -\frac{1}{3}\] và \[ \frac{\pi }{2} Xem hướng dẫn giải
Câu 3: trang 154 sgk Đại số 10
Rút gọn các biểu thức
a] \[\sin[a + b] + \sin[\frac{\pi}{2}- a]\sin[-b]\].
b] \[cos[\frac{\pi }{4} + a]\cos[ \frac{\pi}{4} - a] + \frac{1 }{2} \sin^2a\]
c] \[\cos[ \frac{\pi}{2} - a]\sin[ \frac{\pi}{2} - b] - \sin[a - b]\]
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: trang 154 sgk Đại số 10
Chứng minh các đẳng thức
a] \[ \frac{cos[a-b]}{cos[a+b]}=\frac{cotacotb+1}{cotacotb-1}\]
b] \[\sin[a + b]\sin[a - b] = \sin^2a – \sin^2b = \cos^2b – \cos^2a\]
c] \[\cos[a + b]\cos[a - b] = \cos^2a - \sin^2b = \cos^2b – \sin^2a\]
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: trang 154 sgk Đại số 10
Tính \[\sin2a, \cos2a, \tan2a\], biết
a] \[sin \,a = -0,6\] và \[π < a < {{3\pi } \over 2}\]
b] \[cos \,a = - {5 \over {13}}\] và \[{\pi \over 2} < a Xem hướng dẫn giải
Câu 8: trang 155 sgk Đại số 10
Rút gọn biểu thức \[A = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin 3{\rm{x}} + \sin 5{\rm{x}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + cos3x + cos5x}}\].
=> Xem hướng dẫn giải
Trắc nghiệm đại số 10 bài 3: Công thức lượng giác