Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của:
- Không gian mẫu.
- Các biến cố:
A: “ 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”.
B: “ 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.
C: “ 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.
Hướng dẫn giải:
- Ta có: \[n[\Omega ] = C_{24}^4 = 10626\]
- Số cách chọn 4 viên bi có đúng hai viên bị màu trắng là: \[C_{10}^2.C_{14}^2 = 4095\]
Suy ra: \[n[A] = 4095\].
Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là: \[C_{18}^4\]
Suy ra : \[n[B] = C_{24}^4 - C_{18}^4 = 7566\].
Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là: \[C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4\]
Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là:
\[C_{14}^4 + C_{18}^4 + C_{14}^4 - 2[C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4]\]
Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là:
\[C_{24}^4 - [C_{14}^4 + C_{18}^4 + C_{14}^4] + [C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4] = 5859\]
Suy ra \[n[C] = 5859\].
Ví dụ 2:
Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi \[{A_k}\] là các biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ \[k\]” với \[k = 1,2,3,4\]. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố \[{A_1},{A_2},{A_3},{A_4}:\]
A: “Lần thứ tư mới bắn trúng bia’’.
B: “Bắn trúng bia ít nhất một lần’’.
c: “ Chỉ bắn trúng bia hai lần’’.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[\overline {{A_k}} \] là biến cố lần thứ \[k\] [\[k = 1,2,3,4\]] bắn không trúng bia.
Do đó:
\[A = \overline {{A_1}} \cap \overline {{A_2}} \cap \overline {{A_3}} \cap {A_4}\]
\[B = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} \cup {A_4}\]
\[C = {A_i} \cap {A_j} \cap \overline {{A_k}} \cap \overline {{A_m}} \] với \[i,j,k,m \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}\] và đôi một khác nhau.
§4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN cố
- KIẾN THỨC CĂN BẢN PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU Phép thử Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Không gian mẫu Tập hợp mọi kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Q [đọc là ô-mê-ga]. BIẾN CỐ Biến cố\à một tập con của không gian mẫu. Tập 0 được gọi là biến cố không thể [gọi tắt là biến cố không]. Còn tập Q được gọi là biến cô' chắc chẩn. Iir. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN cố Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Tập Q\A được gọi là biến cố đối của biến cô’ A, kí hiệu là A . Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có định nghĩa sau: Tập AuB được gọi là hợp của các biến cố A và B. Tập A n B được gọi là giao của các biến cố A và B. Nếu A n B = 0 thì ta nói A và B xung khắc. Theo định nghĩa, A u B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra; Biến cố A n B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra. Biến cố A n B còn được viết là A.B. A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.
- PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Gieo một đổng tiền ba lần. Mô tả không gian mẵu; Xác định các biến cõ: A: “Lẩn đấu xuất hiện mặt sấp’’; B: “Mặt sấp xảy ra đúng một lần"; C: "Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần". tfiầi Gieo một đồng tiền ba lần đều được sấp thì ta viết sss không gian mẫu là Q = {SSS, SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNNJ. A là biến cố: “Là lần đầu xuất hiện mặt sấp” thì A = {SSS, SSN, SNS, SNN}. B là biến cô': “Mặt sấp xảy ra đúng một lần” thì B = {SNN, NSN, NNS}. c là biến cô': “Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần” thì c = {NNN, NNS, SNN, NSN, NSS, SSN, SNS} = Q{SSS}. Gieo một con súc sắc hai lần. Mô tả không gian mẫu; Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh để: A = í[6; 1], [6, 2], [6, 3], [6, 4]. [6^ 5], [6, 6]ì; B = 1[2, 6], [6, 2], [3, 5], [5, 3], [4, 4]1; c = ![1, 1]. [2, 2], [3, 3], [4, 4], [5. 5], [6, 6]ì. Ốji.ải Không gian mẫu: Q = {[i, j] 11 < i, j < 6}. A là biến cô' “Lần gieo đầu xuất hiện trên mặt 6”; B là biến cô' “Tổng sô' châm trong hai lần gieo là 8”; c là biến cô' “Kết quả hai lần gieo có sô' chấm bằng nhau”. Một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Mô tả không gian mẫu; Xác định các biến cố sau: A: “Tổng các số trẽn hai thẻ là số chẵn"; B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”. Không gian mẫu là: Q = {[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]}. Biến cô' “Tổng các sô' trên hai thẻ là sô' chẵn” là A = {[1, 3], [2, 4]}; Biến cô' “Tích các sô' trên hai thẻ là sô' chẵn” là B = {[1, 2], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]} = Q{[1, 3]}. Hai xạ thù cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: “Ngưởi thứ k bắn trúng”, k = 1,2. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cỗ A,, A2: A: “Không ai bắn trúng"; B: “Cả hai đều bắn trúng”; C: “Có đúng một người bắn trúng”; C: “Có ít nhất một người bắn trúng”. Chứng tỏ rằng A = D ; B và c xung khắc. úịlài Aị là biến cố: “Người thứ nhát bắn trúng” A2 là biến cô': “Người thứ hai bắn trúng” Khi đó Aj là biến cô': “Người thứ nhâ't bắn không trúng” Khi đó A2 là biến cô': “Người thứ hai bắn không trúng” Biến cô': “Không ai bắn trúng” A = Aị r, A, ; Biến cô': “Cả hai đều bắn trúng” B = A] n A2; Biến cô': “Có đúng một người bắn trúng” c = [Aj n A2]v[A1 nA2j; Biến cố: “Có ít nhâ't một người bán trúng” D = A] LV Av. D là biến cố: “Cả hai người đều bắn không trúng”. Do đó: D - A. Ta có: B n c = 0 nên B và c xung khắc. Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thè đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu dỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh sô’ 7, 8, 9. 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thè. Mô tả không gian mẫu: Kí hiệu A, B, c là các biến cố sau: A: "Lấy được thẻ màu đỏ'’: B: "Lấy được thẻ màu trắng "; C: “Lấy được thẻ ghi số chẵn". Hãy biểu diễn các biến cô' A, B. c bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu. Ốỳ.ảl Không gian mẫu Q = {1, 2, 3, 10}. A = {1, 2, 3, 4, 5] là biến cố: “Lấy được thẻ màu đỏ”; B - {7, 8, 9, 10 ị là biến cố: “Lây được thẻ màu trắng”; c = {2, 4, 6, 8, 10} là biến cố: “Lây được thẻ ghi số chẩn”. Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đấu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại. Mô tả không gian mẫu; Xác định các biến cố: A: "Số lần gieo không vượt quá ba"; B: "SỐ lân gieo là bốn". ốjiải Không gian mẫu là Q = {S, NS, NNS, NNNS, NNNN}. A = {S, NS, NNS} là biến cô': “Sô' lần gieo không vượt quá ba” B = {NNNS, NNNN} là biến cố: “Số lần gieo là bốn” Từ một hộp chứa 5 quả cầu được đánh sô' 1,2, 3, 4, 5 lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải. Xây dựng không gian mẫu; Xác định các biến cố sau: A: "Chữ số sau lớn hơn chữ sô' trước”; B: “Chữ số trước gấp đôi chữ số sau”; C: "Hai chữ số bằng nhau”. Vì việc lấy là ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp thứ tự nên mỗi lần lấy, ta được một chỉnh hợp chập 2 của 5 chữ số. Vậy không gian mẫu bao gồm các chỉnh hợp chập 2 của 5 chữ sô'; Q = {12, 21, 13, 31, 14, 41, 15, 51, 23, 32, 24, 42, 25, 52, 34, 43, 35, 53, 45, 541. A = {12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45} là biến cố: “chữ sô” sau lớn hơn chữ số trước”. B = {21, 42} là biến cố; “chữ số trước gap đôi chữ số sau”, c = 0.
- BÀI TẬP LÀM THÊM Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. Xây dựng không gian mẫu. Xác định các biến cố; A: "Hai bi cùng màu trắng"; B: "Hai bi cùng màu đỏ"; C: "Hai bi cùng màu"; D; "Hai bi khác màu”. Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc, các biện cố đối nhau. Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự xuất hiện mặt sấp [S], mặt ngửa [N] của đồng tiền và số chấm xuất hiện trên con súc sắc. Xây dựng không gian mẫu. Xác định các biến cố sau: A: "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm"; B: "Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm"; C; "Mặt 6 chấm xuất hiện".