Tính giá trị lượng giác của góc 2a

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Tính giá trị lượng giác của một cung, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Tính giá trị lượng giác của một cung: Tính giá trị lượng giác của một cung. Để tính giá trị lượng giác của 1 cung ta dựa vào các hằng đẳng thức lượng giác: sin2 α + cos2 α = 1; 1 + tan2 α = cos2 α ; 1 + cot2 α = sin2 α. Ngoài ra, cần phải xác định dấu của các hàm số lượng giác của cung đó. BÀI TẬP DẠNG 2. Ví dụ 1. Biết sin α = 3 và α = 2. Tính giá trị của cos α và tan α. Mặt khác sin2 α + cos2 α = 1 nên cos2 α = 1 − sin2 α = 1 ⇒ cos α = ± 2√2. Ví dụ 2. Cho tan α = − 3 ở đó π < α < π. Tính giá trị của sin α. Ví dụ 3. Cho tan α = 2, tính giá trị biểu thức M = cos2 α − sin2 α. Ta có M = cos2 α − sin2 αcos2 α + sin2 α. Chia cả tử và mẫu cho cos2 α ta được M = 1 − tan2 α1 + tan2 α.

Ví dụ 4. Cho cot α = 3. Tính giá trị biểu thức M = 2 sin α − 3 cos α5 sin3 α + cos3 α. Ta có M = 2 sin α − 3 cos α5 sin3 α + cos3 α. Bài 3. Cho tan α + cot α = 2. Tính giá trị biểu thức P = cot3 α + tan3 α. Lời giải. cot3 α + tan3 α = [cot α + tan α] 3 − 3 cot α · tan α.[cot α + tan α] = 23 − 3 · 2 = 2. Bài 4. Cho sin α = 3 với π2 < α < π. Tính giá trị của biểu thức. Bài 5. Cho tan α = 1, tính giá trị của biểu thức M = 2 sin2 α + 3 sin α cos α − 4 cos2 α 5 cos2 α − sin2 α. Lời giải. Dễ thấy cos α 6= 0, chia cả tử và mẫu của biểu thức M cho cos2 α ta được: M = 2 tan2 α + 3 tan α − 4 5 − tan2 α.

CHƯƠNG II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỬA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC a BAT KÌ VỚI 0° < a < 180° A. KIẾN THỨC CẨN NAM vững Giá trị lượng giác của một góc Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M trên nửa đường tròn sao cho xOM - a [0° < a < 180°] và M có tọa độ [x0; yo], ta có: sina = yo cosa = Xo y X tana = — [x0 0] cota = — [y0 * 0] XO y[] Các tính chât Cho hai góc bù nhau là a và 180° - cc, ta có: sin[180° - a] = sina cos[180° - a] = -cosa tan[180° - a] = -tana cot[180° - a] = -cota 3. Một số giá trị lượng giác a 0° 30° 45° 60° 90° sin a 0 1 2 V| 2 2 1 cosa 1 73 2 72 2 1 2 0 tan a 0 _7| 3 1 73 II cota II Tã 1 73 3 0 Góc giữa hai vectơ Cho hai vectơ a và b khác 0. Từ điểm o bất kỳ, vẽ OÃ = a và OB — b. Góc AOB [có sô đo từ 0° đến 18O0} [a , b] = 90", kí hiệu alb B. GIẢI BÀI TẬP Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: sinA = sin[B + C]; b] cosA - -cos[B + C] Giải Ta có: Trong tam giác ABC thì A + [B + C] = 180° Hay A = 180° - [B + C] nghĩa là A và [B + C] bù nhau. Theo tính chất của hai góc bù nhau thì sinA = sin[B + C]. Tương tự câu A, ta có: cosA = -cos[B + C]. Cho AOB là tam giác cân tại 0 có OA = a và có các đường cao OH và AK. Giả sử ACIĨ4 = a. Tính AK và OK theo a và oc. Giải Ta có: OH là đường cao của tam giác cân AOB nên OH là tia phân giác của ACIR Khi đó A OR - 2cc AK AAOK vuông tại K nên —— = sin2a => AK - asin2a AO Tương tự —— = cos2a => OK = acos2a AO Chứng minh rằng: sinl05° = sin75° b] COS1700 = - coslO0 c] COS1220 = - cos58° Giải Ta có: 105° = 180° - 75°. Vậy sinl05° = sin75° Ta có: 170° = 180° - 10°. Vậy sinl70° = -coslO0 Ta có: 122° = 180° - 58°. Vậy COS1220 = -cos58° Chứng minh rằng với mọi góc a [0° < a < 180°] ta đều có: 2_. . •_2~ _ 1 cos a + sin a = 1 Giải Theo định nghĩa, M[x; y] thuộc nửa đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Oxy nên: OM2 = X2 + y2 X2 + y2 = 1 Mặc khác X = cosa và y = sinoc. Vậy cos2a + sin2a = 1 Cho góc a với cosa = Ỷ. Tính giá trị của biểu thức: p = 3sin2a + cos2a. Giải Ta có: cos2a + sin2a = 1 sin2a = 1 - cos2a = 1 Mặc khác: p = 3sin2a + cos2a = 2sin2a + sin2a + COS2OC = 2sin2a + 1 = 2.— + 1 = ——— = 9 9 9 Vậy: Cho hình vuông ABCD. Tính: cos[AC, BA], sin [AC, BD], cos[AB, CD]. Giải Tính cos[AC, BA] Vẽ tia AB'là tia đối của tia AB, ta có: [AC, BA] có số đo là CAB'. Suy ra [AC, BA] = 135° Vậy COS1350 = Tính sin [AC, BD] Ta có: [AC, BD] = COD = 90° Vậy sin [AC, BD] = sin90° = 1 * Tính cos[AB, CD] Vì AB và CD ngược hướng nên [AB, CD] = 0° Vậy cos[AB, CD] = cosO0 = 1.

§2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Định nghĩa Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM = a [còn viết AM = a] sina = OK cosa = OH sina ... -. tana = ■■■-— [với cosa * 0] cos a cosa . .. . -. cota = [với sina * 0] sina Các giá trị sina, cosa, tana, cota được gọi là các giá trị lượng giác của cung a. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin. Hệ quả Vì các góc lượng giác a + 2k7t, k e z cùng xác định một điểm M trên đường tròn lượng giác nên ta có: cos[ot + 2kn] = cosa; sin[a + 2krc] = sina Với mọi a, ta luôn có: -1 < cosa < 1; -1 < sina < 1 tana xác định với mọi aỉÉT+kn.keX 2 cota xác định với mọi a * k7i, k e z tan[a + k7i] = tana; cot[a + krc] ~ cota, k e z d] Dâu giá trị hàm sô lượng giác phần tư Giá trị lượng giac I II Ill IV cosa + - - + sina + + - - ■ tan a + - + - cota + - + - 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt a 0 71 6 71 4 7Ĩ 3 71 2 sina 0 1 2 72 2 7s 2 1 cosa 1 73 2 7| 2 1 2 0 tana 0 1 73 1 Tã Không xác định cota Không xác định 1 1 73 0 Công thức lượng giác cơ bản sin2 a + COS2 a = 1 1 + tan2 a = —-T—, a # + krc, ke z cos2 a 2 , J .a 1 1 + coĩ a = ' , a*kn, keZ sin a tana.cota = 1, a*^7, keZ 2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt cot[-a] = -cota cos[a + 7i] = -cosa cot[a + 7i] = cota cos[7t - a] = -cosa cot[n - a] = -cota Hai góc đối nhau: sin[-a] = -sina; cos[-a] = cosa tan[-a] = -tana; Hai góc hơn kém nhau 7t: sin[a + 7t] = -sina; c] Hai góc bù nhau: tan[a + 7i] = tana; sin[n - a] = sina; tan[n - a] = -tana; d] Hai góc phụ nhau: a = sina sinị -^-a I - cosa; COS = tana B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Có cung ư náo mà sinct nhận các giá trị tương ứng sau đây không? a] -0,7; b] c] -yíi ; d] Ti Ốịiải Vì -1 < -0,7 < 1 nên có cung a sao cho sina = -0,7. Vì > 1 nên không có cung a nào thỏa sina = 4- . c] -72 < -1 nên không có a thỏa sina = -72 d] Vì > 1 nên không có a thỏa sina = 2. Các đẳng thức sau có thể đổng thời xảy ra không? T2... T5. a] sina = -—vả COS[Í= _ ; 3 3 75 2 b] sina = --3 và cosa = 5 5 c] sina = 0,7 và cosa = 0,3. Ốịiải a] Không, vì không thoả mãn hằng đẳng thức sin2a + cos2a = 1. b] Có, vì = 1; c] Không vì [0,7]2 + [0,3]2 * 1. 3. Cho 0 < a < ^ . Xác định dấu cùa các giá trị lượng giác a] sin[a - It]! b] COS c] tan[« + 7t]; d] cot a + a]0 -71 < a - 7t < “ suy ra điểm cuôi của cung a - 71 thuộc 2 2 cung [III] trên đường tròn lượng giác nên sin[a - 7i] < 0 b] 0 < a < -— 71 < — 371 .ỉ1 7 *'• „ a < — suy ra aiem CUO1 cứa cung - a thuộc cung [III] 2 Do đó cos[ - a] < 0. 2 0 7t < 7t + a < 2 371 T 71 + a e [III] => tan[7t + a] > 0. „ 71 7T 7Ĩ 71 ZTT\ 71 \ - rv 0-;a+-- € [II] => cot[a + —] < 0. Tính các giá trị lượng giác của góc a, nếu cosa = -ậ- và 0 < a < ỊỊ; 13 2 c] tana = --3-và 77 sin2 a = -— = — 2 - 1 + cot2 a 10 cos a = sin a. cot a = —==; tan a = -— 7ĨÕ 3 Tim a, biết: a] cosa = 1; d] sina =1: a = k27t, k € Z; b] cosa = -1; e] sinu = -1: b]a = [2k + 1]71, k e z; c] cosa = 0: f] sina = 0. c] a = ^ + k7t, k e Z; 2 a = ^ + k27t, k € z ; 2 f] a = k7t, k e z. a = “ + k27t, k € Z; 2 c. BÀI TẬP LÀM THÊM Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = 3[sin4x + cos4x] - 2[sin6x + cos6x]; B = cos[x - k] + sin^x-^J - tan^ + x^cot^-^-x] Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: b] sinA = -sin[2A + B + C]; . B + C . A a] cos—-—= sin--; 2 tanA = -tan[B + C] Xác định dấu của since, cosa, tana biết: 71 < a < 371 < a < 3k . 2 ; 1 Ok 3k 7k —- < a < —- ; 2 4 571 1 1k —- < a < —— 2 4 7k < a < 2k 2k < a < —- 2 4. Chứng minh rằng: , tan2a-sin2a a] ' " = tan a; cot a - cos a , . sina + cosa . . . 2.. . b] —= 1 + tana + tan a + tan a. cos2 a