Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3 mũ x < 9 x 3 mũ trừ x Nho hơn 10

Câu hỏi hot cùng chủ đề

• Cách chuyển từ sin sang cos ạ ?

  Trả lời [30] Xem đáp án »

• Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng

  A. a0, c>0, d0, d 1 thì [ 1] ⇔ f [ x ] ≤ g [ x ] .+ Nếu a = 1 thì [1] nghiệm đúng ∀x ∈ ¡ .+ Nếu 0 < a < 1 thì [ 1] ⇔ f [ x ] ≥ g [ x ] .Dạng 2: Bất phương trình có dạng a f [ x ] < b [với b > 0 ]. [2]+ Nếu a > 1 thì [ 2 ] ⇔ f [ x ] < log a b.+ Nếu 0 < a < 1 thì [ 2 ] ⇔ f [ x ] > log a b.f [ x]> b. [ 3]Dạng 3: Bất phương trình có dạng a+ Nếu b ≤ 0 thì [3] nghiệm đúng ∀x ∈ ¡ .+ Nếu b > 0, a > 1 thì [ 3] ⇔ f [ x ] > log a b.Trang 1 + Nếu 0 < a < 1 thì [ 3] ⇔ f [ x ] < log a b.SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓATrang 2 Phương trình có nghiệmax = bPHƯƠNGTRÌNH MŨPhương trình vơ nghiệmPhương trình nghiệm đúng với mọif xgxa [ ] =a [ ]a f [ x] = a g [ x] ⇔ f [ x ] = g [ x ]af [ x]= b ⇔ f [ x ] = log a bBẤTPHƯƠNGTRÌNHMŨTìm điều kiện đểnghĩacóTrang 3 II. CÁC DẠNG BÀI TẬPDạng 1. Phương trình mũBài tốn 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bảnVí dụ mẫuxVí dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 22A. 0.C. 6.B. 2.− x −4=1là16D. 1.Hướng dẫn giảixCách 1: Ta có 22− x −4= x =111⇔ x 2 − x − 4 = log 2 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔ .1616x = 0Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.xCách 2: Ta có: 22− x −4x = 0= 2 − 4 ⇔ x 2 − x − 4 = −4 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔ . x =1Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.Chọn D.x 2 −1225Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình 0, 6  ÷ 9 xA. -8.B.1.23 27  là=÷ 125 C. 1.D. 0.Hướng dẫn giảix 2 −1225Ta có: 0, 6  ÷ 9 xx3⇔ ÷524 − 2 x 23. ÷53x 27 3=÷ ⇔ ÷ 125 524 + x − 2 x 293 3= ÷ ⇔ ÷55Vậy tổng các nghiệm là2 x2 − 245. ÷ 393= ÷5 x=39 32=  ÷ ⇔ −2 x + x + 24 = 9 ⇔ .x = − 5521.2Chọn B.Ví dụ 3. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 3.5 x − 2 x1A. − .2B.3.23C. − .22+1= 5.3−2 x2+ x +1làD.1.2Hướng dẫn giảiTa có: 3.5x − 2 x 2 +1−2 x 2 + x +1= 5.3⇔5x−2 x2+1−2 x 2 + x +13−2 x 2 + x +155= ⇔ ÷33=53Trang 4 x =0⇔ −2 x + x + 1 = 1 ⇔ .x = 122Vậy tổng các nghiệm là1.2Chọn D.[Ví dụ 4. Gọi T là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3 + 2 2A. T = 0.B. T = −2.]x2 − x + 2[= 3− 2 2C. T = −1.]x3 − 2. Tìm T.D. T = 1.Hướng dẫn giải[][]Nhận xét: 3 + 2 2 3 − 2 2 = 1 ⇒ 3 − 2 2 =[3+ 2 2]x2 − x + 2[= 3− 2 2]x3 − 2[1= 3+ 2 23+ 2 2[⇔ 3+ 2 2]x2 − x + 2[]−1= 3+ 2 2], nên2 − x3x = 0⇔ x − x+2 = 2− x ⇔ x + x − x = 0 ⇔ . x = −1 ± 522332Do đó tích tất cả các nghiệm là 0.Chọn A.Bài tốn 2. Phương trình theo một hàm số mũPhương pháp giảiChú ý: Ta có thể đặt ẩn phụ sau khi đưa được về phương trình chứa một hàm số mũ.Ta thường gặp các dạng sau:•m.a 2 f [ x ] + n.a f [ x ] + p = 0•1f [ x]= .m.a f [ x ] + n.b f [ x ] + p = 0 , trong đó a.b = 1 . Đặt t = a f [ x ] , t > 0 suy ra bt•m.a 2 f [ x ] + n. [ a.b ]•Ẩn phụ khơng hồn tồn: Đặt a x = t khi đó phương trình mới chứa cả x và t. Ta coi t là ẩn; x làf [ x]f [ x]a+ p.b 2 f [ x ] = 0 . Chia hai vế cho b 2 f [ x ] và đặt  ÷b= t > 0.tham số, tìm mối quan hệ x và t.Ví dụ mẫu22Ví dụ 1. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 4 x − 5.2 x + 4 = 0 làA. 3.B. 2.C. 4.Đưa phương trình banHướng dẫn giảiTa có: 4 x − 5.2 x + 4 = 0 ⇔ [ 22 ] − 5.2 x + 4 = 022D. 1.x22đầu về dạng phương2trình bậc hai ẩn 2 x .Trang 5 [ ]⇔ 2x22 2x = 1 x2 = 0 x=0− 5.2 + 4 = 0 ⇔  2⇔ 2⇔.x=±2 2 x = 4 x = 22x2Chọn A.Ví dụ 2. Phương trình 31+ x + 31− x = 10 có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó giá trị biểuthức P = x1 + x2 + 2 x1 x2 làA. 0.B. -6.C. -2.D. 2.Hướng dẫn giải1+ x1− xTa có: 3 + 3Đưa phương trình ban23= 10 ⇔ 3.3x + x = 10 ⇔ 3. [ 3x ] − 10.3x + 3 = 03đầu về dạng phươngtrình bậc hai ẩn 3x. 3x = 3 x =1⇔ x 1⇔. Vậy P = −2.3 =x = −13Chọn C.Ví dụ 3. Tích các nghiệm của phương trìnhA. 2.B. -1.[] []x2 −1 +C. 0.x2 + 1 − 2 2 = 0 làD. 1.Hướng dẫn giảiTa có[][x 1 ÷ + 2 +1⇔[[]2 + 1][2 +1 = 1 ⇒ 2 −1 =]2 +1 − 2 2 = 0 ⇔ x[1nên phương trình thành2 +1]22 +1  − 2 2x[]x2 +1 +1 = 0][2 −1 x =1⇔.x = −1= 2 −1]2 +1 = 112 +1Đưa phương trình banđầu về dạng phươngtrình[x2 +1 = 1+ 2x[⇒ 2 −1 =]2 −1Nhận xét:bậc]haiẩnx2 +1 .Vậy tích các nghiệm của phương trình là -1.Chọn B.Ví dụ 4. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình3.4 x +1 − 11.6 x + 2.9 x = 0. . Tìm S.A. S = 1 − log 2 3.B. S = 1 − log 3 2.C. S = 1 − 2 log 2 2.D. S = 1.3Hướng dẫn giảiTa có: 3.4 x +1 − 11.6 x + 2.9 x = 0 ⇔ 12.4 x − 11.6 x + 2.9 x = 02xx6x9x33⇔ 12 − 11. x + 2. x = 0 ⇔ 2.  ÷ − 11.  ÷ + 12 = 04422Chia 2 vế cho 4 x đưa vềphương trình bậc hai ẩnTrang 6   3 x ÷ = 4 x = log 3 4 x = − log 2 4223 .⇔⇔⇔ 3 x 3 x =1 x =1 ÷ =2 2 x3là  ÷ .2Vậy S = 1 − 2 log 2 2.3Chọn C.[Ví dụ 5. Phương trình 3 + 5] +[ 3− 5]xx= 3.2 x có hai nghiệm x1 ; x2 . Giá22trị biểu thức A = x1 + x2 bằng bao nhiêu?A. 9.B. 13.C. 1.D. 2.Ta cóHướng dẫn giải−13+ 5 3− 53− 5  3+ 5 .=1⇔= Nhận xét 3 + 5 3 − 5 = 4 ⇔÷÷ .2222[][]xx2x−13− 5  3+ 5 = ÷÷2 2 x 3+ 5   3− 5  3+ 5  3+ 5 +=3⇔−3.Do đó: ÷÷÷÷÷  2 ÷ 2 ÷÷ +1 = 022 Chia 2 vế cho 2 x đưa về 3 + 5  3 + 5÷ =2 2 ÷ x =1⇔⇔.x x = −1 3 + 5  3 − 5÷÷ = 2 2  3+ 5 là ÷÷. 2 phương trình bậc hai ẩnxxVậy A = 2.Chọn D.xxVí dụ 6. Tổng tất cả các nghiệm thực 3.4 + [ 3 x − 10 ] .2 + 3 − x = 0 là S = log 2aa, vớilà phân số tốibbgiản. Giá trị của a + b bằngA. 2.B. 3.C. 4.D. 5.Hướng dẫn giải3.4 x + [ 3 x − 10 ] .2 x + 3 − x = 0 ⇔ 3. [ 2 x ] + [ 3 x − 10 ] .2 x + 3 − x = 02x2Đặt 2 = t [ t > 0 ] , phương trình trở thành 3t + [ 3 x − 10 ] t + 3 − x = 0Ta xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn là t = 2 x và tham số x.112x = t=33 ⇔Giải phương trình theo tham số x ta được  x 2 = 3 − x [ *]t = 3 − xGiải phương trình [*], ta có: 2 x + x − 3 = 0 .xxĐặt f [ x ] = 2 + x − 3, f ' [ x ] = 2 ln 2 + 1 > 0, ∀x ∈ ¡ nên phương trình f [ x ] = 0 có tối đa một nghiệm.Trang 7 Mà f [ 1] = 0 nên phương trình f [ x ] = 0 có nghiệm duy nhất x = 1 .112Tóm lại phương trình có nghiệm x1 = log 2 ; x2 = 1 nên S = log 2 + 1 = log 2 .333Do đó a = 2, b = 3 suy ra a + b = 5.Chọn D.Bài toán 3. Lấy logarit hai vếPhương pháp giảiCho 0 < a ≠ 1 và x, y > 0 ta có x = y ⇔ log a x = log a y•0 < a ≠ 1, b > 0f [ x]=b⇔.Phương trình a f [ x ] = log a b•f xg xf xg xPhương trình a [ ] = b [ ] ⇔ log a a [ ] = log a b [ ] ⇔ f [ x ] = g [ x ] .log a bf [ x]= log b b g [ x ] ⇔ f [ x ] .log b a = g [ x ] .hoặc log b aVí dụ mẫu2Ví dụ 1. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 7 x .3− x = 1 . Tìm S.A. S = log 7 3.B. S = log 3 7.C. S = log 2 3.D. S = log 3 2.Hướng dẫn giảiTa có:Lấy logarit cơ số 3[22]27 x .3− x = 1 ⇔ log 3 7 x .3− x = log 3 1 ⇔ log 3 7 x + log 3 3− x = 0hoặc cơ số 7 hai vế.x = 0⇔ x .log 3 7 − x = 0 ⇔ x [ x log 3 7 − 1] = 0 ⇔ . x = 1 = log 7 3log 3 72Vậy tổng các nghiệm là S = log 7 3.Chọn A.Ví dụ 2. Phương trình 3x.52 x −1x= 15 có một nghiệm dạng x = − log a b , với a, blà các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của P = a + 2b bằngbao nhiêu?A. P = 8.B. P = 5.C. P = 13.D. P = 3.Hướng dẫn giảiTa có: 3x.52 x −1x2 x −1x −1x −13x.5 x= 15 ⇔= 1 ⇔ 3x −1.5 x = 1 ⇔ log 3  3x −1.5 x ÷ = 03.5⇔ log 3 3x −1 + log 3 5x −1x= 0 ⇔ x −1+x −1.log 3 5 = 0xTrang 8  x =1 1⇔ [ x − 1] .  1 + .log 3 5 ÷ = 0 ⇔ . x x = − log 3 5Vậy a = 3, b = 5 suy ra a + 2b = 13.Chọn C.Bài tốn 4. Đặt nhân tử chungVí dụ mẫuVí dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2.11x + 253x − 23x = 2 làA. 0.B. 1.C. 2.D. 3.Hướng dẫn giảiTa có: 2.11x + 253x − 23x = 2 ⇔ 2.11x + 11x.23x − 23x − 2 = 0⇔ 2 [ 11x − 1] + 23x [ 11x − 1] = 0⇔ [ 2 + 23x ] [ 11x − 1] = 0x⇔ 11x − 1 = 0 [vì 2 + 3 > 0, ∀x ∈ ¡ ] ⇔ x = 0.Chọn A.22Ví dụ 2. Phương trình 2 x + x − 4.2 x − x − 22 x + 4 = 0 có số nghiệm nguyên dươnglàA. 0.B. 1.C. 2.D. 3.Hướng dẫn giảiTa có: 2 x2+x− 4.2 x2−x2− 22 x + 4 = 0 ⇔ 2 x − x.22 x − 4.2 x[⇔ 2 x − x. [ 22 x − 4 ] − [ 22 x − 4 ] = 0 ⇔ [ 22 x − 4 ] 2 x22−x2−x− 22 x + 4 = 0]−1 = 0 22 x = 4 2x = 2 x =1⇔ 2⇔ 2⇔.x −x= 1 x − x = 0x = 0 2Vậy phương trình có một nghiệm ngun dương.Chọn B.Bài toán 5. Phương pháp hàm sốPhương pháp giảiSử dụng tính đơn điệu của hàm số:Tính chất 1. Nếu hàm số y = f [ x ] đồng biến [hoặc nghịch biến] trên [ a; b ] thì có tối đa mộtnghiệm của phương trình f [ x ] = k trên [ a; b ] và f [ u ] = f [ v ] ⇔ u = v, ∀u , v ∈ [ a; b ] .Trang 9 Tính chất 2. Nếu hàm số y = f [ x ] liên tục và đồng biến [hoặc nghịch biến]; hàm số y = g [ x ]liên tục và nghịch biến [hoặc đồng biến] trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f [ x ] = g [ x ]khơng nhiều hơn một.Tính chất 3. Nếu hàm số y = f [ x ] đồng biến [hoặc nghịch biến] trên D thì bất phương trìnhf [ u ] > f [ v ] ⇔ u > v [hoặc u < v ] , ∀u , v ∈ D.Ví dụ mẫuVí dụ 1. Phương trình 3x = 5 − 2 x có bao nhiêu nghiệm?A. 0.B. 3.C. 1.D. 2.Hướng dẫn giảiTa có: 3x = 5 − 2 x ⇔ 3x + 2 x − 5 = 0xxĐặt f [ x ] = 3 + 2 x − 5, ta có f ′ [ x ] = 3 ln 3 + 2 > 0, ∀x ∈ ¡ nên phương trìnhf [ x ] = 0 có tối đa một nghiệm.Mà f [ 1] = 0 nên phương trình f [ x ] = 0 có nghiệm duy nhất là x = 1.Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm.Chọn C.Ví dụ 2. Phương trình 2 x + 5x = 2 + 5 x có bao nhiêu nghiệm?A. 0.B. 3.C. 1.D. 2.Hướng dẫn giảiTa có: 2 x + 5 x = 2 + 5 x ⇔ 5x + 2 x − 5 x − 2 = 0xxxxĐặt f [ x ] = 5 + 2 − 5 x − 2, ta có f ′ [ x ] = 5 .ln 5 + 2 ln 2 − 5xxXét f ′ [ x ] = 0 ⇔ 5 .ln 5 + 2 ln 2 − 5 = 0x2x2Ta có f ′′ [ x ] = 5 .ln 5 + 2 ln 2 > 0, ∀x ∈ ¡ nên phương trình f ′ [ x ] = 0 có tốiđa một nghiệm.f ′ [ x ] = −5 và lim f ′ [ x ] = +∞ nên phương trình f ′ [ x ] = 0 có duyVì xlim→−∞x →+∞nhất một nghiệm x = x0 .Do đó, phương trình f [ x ] = 0 có tối đa hai nghiệm. f [ 1] = 0Mà nên phương trình có hai nghiệm x = 0 hoặc x = 1. f [ 0 ] = 0Chọn D.32Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình 223 x .2 x − 210 x + 23 x3 = 10 x 2 − xgần bằng số nào dưới đây?Trang 10 A. 0,35.B. 0,40.C. 0,50.D. 0,45.Hướng dẫn giải32Ta có 223 x .2 x − 210 x + 23 x3 = 10 x 2 − x ⇔ 223 x3+x2+ 23x 3 + x = 210 x + 10 x 2ttĐặt f [ t ] = 2 + t , ta có f ′ [ t ] = 2 .ln 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ¡ .Mà f [ 23 x + x ] = f [ 10 x32] x=0nên 23 x + x = 10 x ⇔ 5± 2 .x=233Vậy tổng các nghiệm của phương trình là210.23Chọn B.Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình33m + 27 3 3m + 27.2 x = 2 x có nghiệm thực?A. 6.B. 4.C. Vơ số.D. Khơng tồn tại m.Hướng dẫn giảiTa có33m + 27 3 3m + 27.2 x = 2 x ⇔ 27 3 3m + 27.2 x = 23 x − 3m.Đặt 2 x = u , điều kiện: u > 0 và33m + 27.2 x = v ⇒ v 3 = 3m + 27.u.[ 1][ 2][ 3]3[1] trở thành u = 27v + 3m.3322Từ [3] và [2] suy ra u − 27v = v − 27u ⇔ [ u − v ] . [ u + uv + v + 27 ] = 0⇔ u = v.21  3v 2Do u + uv + v + 4 =  u + v ÷ ++ 27 > 0, ∀u, v ∈ ¡ , nên2 4232u 3 − 27u3m + 27u = u ⇔ m =, với u > 0.3u 3 − 27uXét hàm số f [ u ] =với u > 0.3Ta có f ′ [ u ] =1[ 3u 3 − 27 ] ; f ′ [ u ] = 0 ⇔ u = 3 do u > 0.3f [ u ] = −54. Do đó có vơ số giá trị ngun của m để phương trìnhSuy ra [min0; +∞ ]có nghiệm thực.Chọn C.Bài tốn 6. Phương trình chứa tham sốPhương pháp giảiTrang 11 Ví dụ 1. Cho phương trình 4 x − m.2 x +1 + 2m = 0.Biết rằng khi m = m0 thì phương trình có hainghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3. Mệnhđề nào sau đây là đúng?A. m0 là số nguyên âm.B. m0 là số nguyên tố.C. m0 là số lẻ.D. m0 là số chính phương.xBước 1. Đặt t = a [ t > 0 ] , chuyển phương trìnhban đầu về phương trình ẩn t.Hướng dẫn giảiTa có:4 x − m.2 x +1 + 2m = 0. ⇔ [ 2 x ] − 2m.2 x + 2m = 0 [ 1]2Đặt t = 2 x , t > 0, phương trình thànht 2 − 2mt + 2m = 0 [ 2 ] .Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét về điều kiện có Ta thấy rằng ứng với một giá trị t > 0 ta tìm đượcnghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải một nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệmquyết.x1 , x2 thì phương trình [2] có hai nghiệm phân biệtt2 > t1 > 0 đồng thờix1 + x2 = 3 ⇒ 2 x1 + x2 = 23 ⇔ t1.t2 = 8.Từ đó, ta có điều kiện∆ > 0 4 m 2 − 8m > 0 S > 0 ⇔  2m > 0 ⇔ m = 4.P = 8 2m = 8Vậy m0 = 4 là một số chính phương.Chọn D.Bài tốn: Tìm tham số m để phương trình cónghiệm thuộc [ x1 ; x2 ] ta giải như sau:Bước 1. Đặt t = a , t > 0x[Vídụ2.Tìmmđểphươngtrình9 x − 2.3x + 3 − m = 0 có nghiệm thuộc [ 0; +∞ ] .xĐặt 3 = t , [ t > 0 ] . Vì x ∈ [ 0; +∞ ] nên t ∈ [ 1; +∞ ] .]xxvì x ∈ [ x1 ; x2 ] ⇒ t ∈ a 1 ; a 2 .Bước 2. Chuyển về phương trình ẩn t, cơ lập m Phương trình trở thành:chuyển về dạng f [ t ] = mt 2 − 2t + 3 − m = 0 ⇔ m = t 2 − 2t + 3.Trang 12 2Bước 3. Xét hàm f [ t ] : tìm đạo hàm, lập bảng Xét hàm số f [ t ] = t − 2t + 3 trên khoảng [ 1; +∞ ] .Có f ′ [ t ] = 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1. Ta có bảng biến thiênbiến thiên và đưa ra kết luận.t′f [ t]+∞1++∞f [ t]2Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy m > 2 thỏa mãnyêu cầu đề bài.Ví dụ mẫuVí dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình4 x − m.2 x + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu?A. Vơ số.B. 0.C. 1.D. 4.Hướng dẫn giảiTa có 4 x − m.2 x + 2m − 5 = 0 ⇔ [ 2 x ] − m.2 x + 2m − 5 = 022Đặt t = 2 x , t > 0, phương trình thành t − mt + 2m − 5 = 0 [ 2 ] .2Đặt f [ t ] = t − mt + 2m − 5Nhận xét rằng với một giá trị t > 0 ta tìm được một nghiệm x nên để phươngtrình có hai nghiệm x1 < 0 < x2 thì phương trình [2] có hai nghiệm phân biệtt2 > t1 > 0 đồng thời t1 < 1 < t 2 [vì 2 x1 < 20 < 2 x2 ]. Từ đó, ta có: 2 m 2 − 8m + 20 > 0∆>0m−42m−5>0[]5 P > 02m − 5 > 0m>5⇔⇔⇔ < m < 4.2m>02 S >0m>01. f [ t ] < 01. [ 1 − m + 2m − 5 ] < 0

  m 0, phương trình [ *] ⇔ t + 3 = m t + 1 ⇔ m =t +3t2 +1[ 1] .Trang 13 t +3Xét hàm số f [ t ] =Ta có f ′ [ t ] =[txác định trên tập D = [ 0; +∞ ] .t2 +11 − 3t2+ 1]. Cho f ′ [ t ] = 0 ⇔ 1 − 3t = 0 ⇔ t = 1 .t +132Bảng biến thiên−∞x0y′+y13010+∞−31Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 1 < m ≤ 3 hoặc m = 10 phương trình cónghiệm duy nhất nên có hai giá trị nguyên của tham số m.Chọn D.Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình2.4x −1− 5.2x −1+ m = 0, [ *] có nghiệm?A. 3.B. 0.C. 1.D. 4.Hướng dẫn giảiĐặt t = 2x −1, điều kiện t ≥1vì2x − 1 ≥ −1.2Khi đó [ *] ⇔ 2t − 5t = −m.1Xét hàm số y = −2t 2 + 5t trên  ; +∞ ÷.25Ta có y′ = −4t + 5. Cho y ′ = 0 ⇔ 4t − 5 = 0 ⇔ t = .4x−∞y′12+y540258+∞−2−∞Do đó phương trình có nghiệm khi m ≤25.8Chọn A.Bài tập tự luyện dạng 1Trang 14 xCâu 1: Giá trị của tham số k để hai phương trình 3 = 30 − x [ 1] và x − k = 0 [ 2 ] có nghiệm chung làA. 2.B. 3.Câu 2: Phương trình 3xA. 1.Câu 3: Phương trình3−9 x + 4C. 4.= 81 có bao nhiêu nghiệm?B. 2.[C. 3.] [x6 + 35A. 1.D. 5.+6 − 35]xD. 4.= 12 có bao nhiêu nghiệm?B. 2.C. 3.D. 4.Câu 4: Phương trình 2 x + 2.5x = 40000 có bao nhiêu nghiệm nguyên?A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.Câu 5: Phương trình 3x− 2 = 666661 có bao nhiêu nghiệm?A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.Câu 6: Phương trình 4 x − 10.2 x + 16 = 0 có bao nhiêu nghiệm?A. 1.B. 4.Câu 7: Cho phương trình 3xA. 28.2C. 3.− 4 x +5= 9. Tổng các lập phương các nghiệm thực của phương trình làB. 27.Câu 8: Cho phương trình 3x2− 3 x +8D. 2.C. 26.D. 25.= 92 x −1 , khi đó tập nghiệm của phương trình làA. S = { 2;5} . −5 − 61 −5 + 61 ;B. S = .22 5 − 61 5 + 61 ;C. S = .2  2D. S = { −2; −5} .x +11Câu 9: Phương trình 3 + 9.  ÷ − 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm âm?3xA. 1.B. 3.C. 0.D. 2.28Câu 10: Cho phương trình 2 3 x + 4 = 16 x2 −1. Khẳng định nào sau đây đúng?A. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.B. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.C. Nghiệm của phương trình là các số vơ tỉ.D. Phương trình vơ nghiệm.Câu 11: Phương trình 28− x .58− x = 0, 001. [ 105 ]2A. 7.21− xcó tổng các nghiệm làB. -7.C. 5.D. -5.C. x = 1, x = log 3 2.D. x = −1, x = − log 3 2.Câu 12: Phương trình 9 x − 5.3x + 6 = 0 có nghiệm làA. x = 1, x = log 2 3.B. x = −1, x = log 3 2.Câu 13: Cho phương trình 4.4 x − 9.2 x+1 + 8 = 0. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó,tích x1.x2 bằngTrang 15 A. -1.B. 2.C. -2.D. 1.Câu 14: Cho phương trình 4 x − 41− x = 3. Khẳng định nào sau đây sai?A. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42 x − 3.4 x − 4 = 0.B. Phương trình có một nghiệm.C. Nghiệm của phương trình là ln lớn hơn 0.D. Phương trình vơ nghiệm.Câu 15: Nghiệm của phương trình 2 x + 2 x +1 = 3x + 3x +1 làA. x = log 323.4B. x = 1.D. x = log 4C. x = 0.32.3Câu 16: Nghiệm của phương trình 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 0 là2 3B. x ∈  ;  .3 2A. x ∈ { 0;1} .C. x ∈ { −1;0} .D. x ∈ { −1;1} .Câu 17: Nghiệm của phương trình 12.3x + 3.15 x − 5 x+1 = 20 làA. x = log 5 3 − 1.B. x = log 3 5.C. x = log 3 5 + 1.D. x = log 3 5 − 1.Câu 18: Phương trình 9 x − 5.3x + 6 = 0 có tổng các nghiệm là2B. log 3 .3A. log 3 6.3C. log 3 .2D. − log 3 6.Câu 19: Phương trình 5 x + 251− x = 6 có tích các nghiệm là 1 − 21 A. log 5 ÷÷. 2  1 + 21 B. log 5 ÷÷. 2 [Câu 20: Phương trình 7 + 4 3A. x = log [ 2+ 3 ] 2.] + [ 2 + 3]xx= 6 có nghiệm là[B. x = log 2 3.Câu 22: Phương trìnhB. x ∈ { −5; −1;1;3} .[A. 1.3− 2] +[x3+ 22−3 x + 2+ 4x2+ 6 x +5= 42 x2+3 x + 7C. x ∈ { −5; −1;1; −2} .] =[xB. 2.10]xD. x = 1.+ 1.D. x ∈ { 5; −1;1; 2} .có bao nhiêu nghiệm thực?C. 3.2]C. x = log 2 2 + 3 .Câu 21: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4 xA. x ∈ { −5; −1;1; 2} . 1 + 21 D. 5log 5 ÷÷. 2 C. 5.D. 4.2Câu 23: Cho phương trình 2cos x + 4.2sin x = 6. Phương trình có bao nhiêu nghiệm?A. 0.B. 2.C. 4.D. Vơ số nghiệm.Câu 24: Phương trình x.2 x + x 2 + 2 = 2 x +1 + 3 x có tổng các nghiệm bằng bao nhiêu?A. 0.Câu 25: Phương trìnhA. 4.B. 4.[5+ 2B. 0.C. 3.] +[x3− 2] = [ 7]xxD. 2.có bao nhiêu nghiệm?C. 3.D. 2.Trang 16 2xxxCâu 26: Phương trình 3 + 2 x [ 3 + 1] − 4.3 − 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?A. 1.B. 2.Câu 27: Phương trình 2 x −3 = 3xC. 0.2−5 x + 6D. 3.có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1 < x2 hãy chọn phát biểu đúng?A. 3 x1 + 2 x2 = log 3 54. B. 2 x1 − 3 x2 = log 3 8.C. 2 x1 + 3 x2 = log 3 54.D. 3 x1 − 2 x2 = log 3 8.Câu 28: Phương trình 4sin x + 4cos x = 2 2 [ sin x + cos x ] có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [ 0;15] ?2A. 3.2B. 1.C. 2.D. 3.Câu 29: m là tham số thay đổi sao cho phương trình 9 x − 4.3x +1 + 27 m2−1có hai nghiệm phân biệt. Tổnghai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?A. 1.B. -3.C. 2.D. -4.[Câu 30: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 + 3] + [ 2 − 3]xx= m có hai nghiệm phânbiệt?A. m < 2.B. m > 2.C. m = 2.D. m ≤ 2.22Câu 31: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x2 + 4 = 22[ x +1] + 22[ x + 2 ] − 2 x2 + 3 + 1. Khi đó, tổng hainghiệm bằng?A. -2.B. 2.C. 0.Câu 32: Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x −1.5A. S = { 2; m log 3 5} .B. S = { 2; m + log 3 5} .2x +1x −1Câu 33: Biết rằng phương trình 3 .25 =2 x −2−mx−mD. 1.= 15, m là tham số khác 2.C. S = { 2} .D. S = { 2; m − log 3 5} .3có đúng hai nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị của25P = 3x1 + 3x2 .A. P =26.5Câu 34: Phương trình 2 x −1 − 2 xA. 1.2−xD. P =C. P = 26.B. P = 26.26.25= [ x − 1] có bao nhiêu nghiệm?2B. 2.C. 3.D. 4.Câu 35: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2017sin x − 2017 cos x = cos 2 x trên đoạn [ 0; π] .2A. T = π.B. T =π.4xCâu 36: Biết rằng phương trình 32C. T =−1π.22D. T =3π.4+ [ x 2 − 1] 3x +1 = 1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phươnghai nghiệm của phương trình bằngA. 2.B. 0.C. 8.D. −8.Trang 17 Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9 x − 2.3x +1 + m = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2thỏa mãn x1 + x2 = 1.A. m = 6.B. m = −3.C. m = 3.D. m = 1.Câu 38: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x − m.2 x +1 + 2m = 0 có hai nghiệm thực x1 , x2thỏa mãn x1 + x2 = 2.A. m = 4.B. m = 3.C. m = 2.D. m = 1.Câu 39: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2017 2 x −1 − 2m.2017 x + m = 0 có hai nghiệm thựcx1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 1.A. m = 0.B. m = 3.C. m = 2.D. m = 1.xxCâu 40: Cho phương trình [ m + 1] 16 − 2 [ 2m − 3] 4 + 6m + 5 = 0 với m là tham số thực. Tập các giá trịcủa m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng [ a; b ] . Tính P = ab.A. P = 4.3C. P = − .2B. P = −4.5D. P = .6xxCâu 41: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 9 − [ m − 1] 3 + 2m = 0 có nghiệm duy nhất.A. m = 5 + 2 6.B. m = 0; m = 5 + 2 6.C. m < 0.D. m < 0; m = 5 + 2 6.Câu 42: Cho phương trình 4 x2− 2 x +1− m.2 x2−2 x + 2+ 3m − 2 = 0 với m là tham số thực. Tìm các giá trị của mđể phương trình có bốn nghiệm phân biệt.A. m < 1.B. m < 1; m > 2.Câu 43: Cho phương trình m.2 x2−5 x + 6C. m ≥ 2.D. m > 2.2+ 21− x = 2.26−5 x + m với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giátrị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt?A. 1.B. 2.C. 3.Câu 44: Cho phương trình 251+1− x 2− [ m + 2 ] 51+1− x 2D. 4.+ 2m + 1 = 0 với m là tham số thực. Số nguyên dươngm lớn nhất để phương trình có nghiệm làA. m = 20.B. m = 35.C. m = 30.D. m = 25.Dạng 2: Bất phương trình mũBài tốn 1. Biến đổi về dạng bất phương trình cơ bảnVí dụ mẫuVí dụ 1. Giải bất phương trình[]3 −1x+1> 4−2 3Hướng dẫn giảiTa thấy a = 3 − 1 ∈ [ 0;1] nên ta có: x + 1 < log3 −1[ 4 − 2 3 ] ⇔ x + 1 < 2 ⇔ x < 1.Trang 18 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ −∞;1]Chọn D.Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình 22 x −1 + 22 x −2 + 22 x −3 ≥ 448 là9A.  −∞;  .29B.  ; +∞ ÷.29C.  −∞; −  .2 9D.  − ; +∞ ÷. 2Hướng dẫn giảiTa có:1 2x 1 2x 1 2x7.2 + .2 + .2 ≥ 448 ⇔ .22 x ≥ 448 ⇔ 22 x ≥ 51224889⇔ 2 x ≥ log 2 512 ⇔ 2 x ≥ 9 ⇔ x ≥ .2Chọn B.Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x + 2 x + 2 + 2 x + 4 ≥ 3x + 3x + 2 + 3x + 4 là13 A. T =  −∞;log 2  .3 3 13B. T = log 2 ; +∞ ÷. 3 313 C. T =  −∞;log 2 ÷.3 3 13D. T =  log 2 ; +∞ ÷. 3 3Hướng dẫn giảixTa có: 2 x + 4.2 x + 16.2 x ≥ 3x + 9.3x + 81.3x ⇔ 21.2 x ≥ 91.3x ⇔Vì cơ số a =2 x 91 2  13≥⇔ ÷ ≥ .x321  3 3132∈ [ 0;1] nên bất phương trình thành x ≤ log 2 .33 3Chọn A.Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình[5 −2]2xx−1≤[5+2]xlàA. [ −∞; −1] ∪ [ 0;1] .B. [ −1;0] .C. [ −∞; −1] ∪ [ 0; +∞ ] .D. [ −1;0] ∪ [ 1; +∞ ] .Hướng dẫn giảiTa thấy[5 −2[]5+22xx −1≤[][]5 − 2 =1⇔ 5 − 2 =5−2]−x[5+2]−1nên bất phương trình thành. [ 1]Vì cơ số a = 5 − 2 ∈ [ 0;1] nên[ 1] ⇔ −1 ≤ x ≤ 02x2xx2 + x≥ −x ⇔+x≥0⇔≥0⇔.x −1x −1x −1 x >1Chọn D.Trang 19 Bài tốn 2. Bất phương trình theo một hàm số mũVí dụ mẫuVí dụ 1. Bất phương trình 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên?A. 2.B. 3.C. 0.D. 1.Hướng dẫn giảiTa có: 5.4 x + 2.25 x − 7.10 x ≤ 02xx25x10 x55⇔ 5 + 2. x − 7. x ≤ 0 ⇔ 2.  ÷ − 7.  ÷ + 5 ≤ 04422x5 5⇔ 1 ≤  ÷ ≤ ⇔ 0 ≤ x ≤ 1.2 2Vậy bất phương trình có hai nghiệm nguyên.Chọn A.2Ví dụ 2. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 42 x − 5.4 xA. 2.B. 4.2+xC. 0.+ 42 x +1 = 0 làD. 1.Hướng dẫn giải2Ta có: 42 x − 5.4 x2+x[ ]+ 42 x +1 = 0 ⇔ 4 x[⇔ 4x22− 5.4 x .4 x + 4. [ 4 x ] = 02−x22]2− 5.4 x2−x+4=0 4x −x = 1 x2 − x = 0⇔ 2⇔ 2 4 x − x = 4x − x = 22 x=0 x =1⇔. x = −1 x=2Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.Chọn A.4 x − 3.2 x +1 + 8Ví dụ 3. Bất phương trình≥ 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?2 x +1 − 1A. 2.B. -1.C. 0.D. 1.Hướng dẫn giảixx +12 x − 6.2 x + 8Ta có: 4 − 3.2 + 8 ≥ 0 ⇔ [ ]≥02 x +1 − 12.2 x − 12Lập bảng xét dấu của f [ t ] =t 2 − 6t + 8 x, 2 = t.2t − 1Trang 20 12−∞x−VT2++∞4−00+Từ bảng xét dấu ta có:[2 ]x 2− 6.2 x + 82.2 x − 1 2x ≥ 4 x≥2≥ 0 ⇔ 1⇔ −1 < x ≤ 1. < 2x ≤ 2 2Vậy bất phương trình khơng có nghiệm ngun âm.Chọn C.Ví dụ 5. Bất phương trình15x +1−1≥1có tập nghiệm dạng S = [ − a; b ] ∪ [ a; +∞ ] với a > 0 . Giá trị5 − 5xtổng a + b làA. 2.B. 3.C. 0.D. 1.Hướng dẫn giảiTa có:15x +1 − 1≥1115 − 5 x − 5.5 x + 1⇔−≥0⇔≥05 − 5x5.5 x − 1 5 − 5 x[ 5.5x − 1] . [ 5 − 5x ]⇔5 − 5 x − 5.5 x + 16 − 6.5 x≥0⇔≥0[ 5.5x − 1] . [ 5 − 5x ][ 5.5x − 1] . [ 5 − 5x ]Đưa vế trái về dạng một ẩn chứa 5x sau đó xét dấut 2 − 6.t,5 x = t.Lập bảng xét dấu f [ t ] =[ 5.t − 1] . [ 5 − t ]x−∞−VTTừ bảng xét dấu ta có156 − 6.5 x[ 5.5x − 1] .[ 5 − 5x ]1+∞5−+0x 5 >5 x >1≥ 0 ⇔ 1⇔.x < 5 ≤ 1  −1 < x ≤ 0 5+Vậy a = 1, b = 0 ⇒ a + b = 1.Chọn D.Bài toán 3. Lấy logarit hai vếPhương pháp giảiCho 0 < a ≠ 1 và x, y > 0 ta có:+ Nếu 0 < a < 1 thì x < y ⇔ log a x > log a y.+ Nếu a > 1 thì x < y ⇔ log a x < log a y.Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình3 x21 ÷ 32 x+11

   3làA. S = [ 1; +∞ ] .1B. S =  −∞; − ÷∪ [ 1; +∞ ] .3Trang 21  1 C. S =  − ;1÷. 3 1D. S =  −∞; − ÷.3Hướng dẫn giảiTa có:3 x21 ÷ 32 x +11

   33x21⇔ log 1  ÷3  32 x +11> log 1  ÷3 3⇔ 3x 2 − 2 x − 1 > 01x11Vậy S =  −∞; − ÷∪ [ 1; +∞ ] .3Chọn B.Ví dụ mẫu−3 x 21Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình  ÷ 3< 32 x +1 làA. S = [ 1; +∞ ] .1B. S =  −∞; − ÷∪ [ 1; +∞ ] .3 1 C. S =  − ;1÷. 3 1D. S =  −∞; − ÷.3Hướng dẫn giải−3 x 21Ta có  ÷ 322< 32 x +1 ⇔ 33 x < 32 x +1 ⇔ log 3 33 x < log 3 32 x +1⇔ 3x 2 < 2 x + 11⇔ − < x < 1.3 1 Vậy S =  − ;1÷. 3 Chọn C.− x2 +5 x1Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình  ÷2x +11> ÷4làA. S = [ ∞;1] ∪ [ 2; +∞ ] .B. S = [ −∞;1] .C. S = ¡ \ { 1; 2} .D. S = [ 2; +∞ ] .Trang 22 Hướng dẫn giải− x2 +5 x1Ta có  ÷2− x2 + 5 xx +11> ÷41⇔ ÷22 x+21> ÷2− x2 +5 x2 x+ 21⇔ log 1  ÷2 21< log 1  ÷2 2⇔ − x2 + 5x < 2 x + 2⇔ − x 2 + 3x − 2 < 0⇔ x 2 − 3x + 2 > 0x > 2⇔.

   x 36.32− x là −3 < x < 2.A. x > 4 − log 2 6 < x < −2.B. x > 4 −4 < x < − 2.C. x > 1 − log 3 18 < x < −2.D. x > 4Hướng dẫn giảix−4xx−4Ta có 8 x + 2 > 36.32− x ⇔ 2 x + 2 > 34− x ⇔ log 2 x + 2 > log 34− x33⇔x−4 log 3 2 log 3 2 > 4 − x ⇔ [ x − 4 ] + 1÷ > 0x+2 x+2x − 4 > 0x > 4x − 4 < 0x < 4⇔ ⇔   log 3 2  log 3 2 + 2 + x+1 < 0

  4x > 4x v, ∀u , v ∈ D.+ Nếu hàm số y = f [ x ] luôn nghịch biến trên D thì bất phương trình:f [ u ] > f [ v ] ⇔ u < v, ∀u , v ∈ D.Ví dụ mẫuaVí dụ 1. Bất phương trình 8 x + 2 x > 27 x +1 + 3x +1 có tập nghiệm là S =  −∞;log a 3 ÷, vớilà phân sốbb tối giản. Giá trị của a.b bằngA. 2.B. 3.C. 6.D. 12.Hướng dẫn giảiTa có 8 x + 2 x > 27 x +1 + 3x +1 ⇔ [ 2 x ] + 2 x > [ 3x +1 ] + 3x +13332Đặt f [ t ] = t + t , ta có f ′ [ t ] = 3t + 1 > 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ .Mà f [ 2Vìx] > f [3 ] ⇔ 2x +1xx>3x +12⇔ 2 > 3.3 ⇔  ÷ > 33xx2∈ [ 0;1] nên x < log 2 3 từ đó a = 2, b = 3 nên a.b = 6.33Chọn C.Trang 25

  Video liên quan