Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A.\] Trên tia đối của tia \[BC\] lấy điểm \[M,\] trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[N\] sao cho \[BM = CN.\]
a] Chứng minh rằng tam giác \[AMN\] là tam giác cân
b] Kẻ \[BH ⊥ AM,\] kẻ \[CK ⊥ AN.\] Chứng minh rằng \[BH = CK\]
c] Chứng minh rằng \[AH = AK\]
d] Gọi \[O\] là giao điểm của \[HB\] và \[KC.\] Tam giác \[OBC\] là tam giác gì ? Vì sao
e] Khi \[\widehat{BAC} = 60^o\] và \[BM = CN = BC\] hãy tính số đo các góc của tam giác \[AMN\] và xác định dạng của tam giác \[OBC.\]
Hướng dẫn:
c] Tính số đo các góc của tam giác \[OBC\] rồi xác định dạng của tam giác \[OBC\]
Bài giải:
a] \[ΔABC\] cân tại \[A\] [giả thiết]
\[\Rightarrow AB = AC\] và \[\widehat{B_1} = \widehat{C_1}\]Mà
\[\widehat{B_1} + \widehat{ABM} =180^o\] [hai góc kề bù]
\[\begin{align*} \widehat{ABM} &= 180^o - \widehat{B_1} \\&= 180^o - \widehat{C_1}\\&= \widehat{ACN}\end{align*}\]
Xét \[ΔBAM\] và \[ΔCNA\] có:
\[BA = CA\] [giả thiết]
\[ \widehat{ABM} = \widehat{ACN} \] [chứng minh trên]
\[BM = CN\] [giả thiết]
\[\Rightarrow ΔBAM = ΔCAN\] [c.g.c]
\[ \Rightarrow AM = AN\] [cặp cạnh tương ứng]
\[ ΔAMN\] có: \[AM = AN\] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow ΔAMN\] cân tại \[A\] [tính chất tam giác cân]
b] \[ΔAMN\] cân tại \[A\] [chứng minh trên]
\[\Rightarrow \widehat{M} = \widehat{N}\] [định nghĩa tam giác cân]
Xét hai tam giác vuông \[HMB\] và \[KNC\] có:
\[BM = CN\] [giả thiết]
\[ \widehat{M} = \widehat{N}\] [chứng minh trên]
\[\Rightarrow ΔHMB = ΔKNC\] [cạnh huyền - góc nhọn]
\[\Rightarrow BH = CK; BH = CK\] [cặp cạnh tương ứng]
c] Ta có: \[AH = AM - HM\]
\[AK = AN - KN\]
Mà \[AM = AN\] [chứng minh trên]
\[ BH = CK\] [chứng minh trên]
\[\Rightarrow AH = AK\] [đpcm]
d] \[ΔHMB = ΔKNC\] [chứng minh trên]
\[\Rightarrow \widehat{HBM} = \widehat{KCN}\] [cặp góc tương ứng]
Lại có: \[ \widehat{HBM} = \widehat{CBO}\] [đối đỉnh]
\[ \widehat{KCN} = \widehat{BCO}\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow \widehat{CBO} = \widehat{BCO} \]
Xét \[ΔOBC,\] ta có: \[\widehat{CBO} = \widehat{BCO} \] [chứng minh trên]
\[ \Rightarrow ΔOBC\] cân tại \[O\]
e] Khi \[\widehat{BAC} = 60^o \Rightarrow \widehat{B_1} = \widehat{C_1} = 60^o\]
\[\Rightarrow ΔABC\] đều
\[\Rightarrow AB = AB = BC\] [tính chất]
Lại có: \[BM = CN = BC\] [giả thiết]
\[\Rightarrow AB = BM\]
\[\Rightarrow ΔABM\] cân tại \[B.\]
\[ \Rightarrow \widehat{M} = \widehat{BAM}\] [định nghĩa]
Lại có: \[ \widehat{M} + \widehat{BAM} = \widehat{B_1} = 60^o\] [tính chất góc ngoài tam giác]
\[ \Rightarrow \widehat{M} = \widehat{BAM} = \dfrac{1}{2}.60^o = 30^o\]
Tương tự, ta có: \[\widehat{N} = 30^o\]
\[ \Rightarrow \widehat{HBM} = \widehat{KCN} = 60^o\]
\[ \Rightarrow \widehat{OBC} = \widehat{BOC} = 60^o\]
\[ \Rightarrow ΔOBC\] đều