Bài viết hướng dẫn cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy thông qua lý thuyết và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.
Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định: + Điểm $A[{x_0};{y_0}] \in \Delta $. + Một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left[ {a;b} \right]$ của $Δ.$ Khi đó phương trình tổng quát của $Δ$ là $a\left[ {x – {x_0}} \right] + b\left[ {y – {y_0}} \right] = 0$.
Chú ý:
a. Đường thẳng $Δ$ có phương trình tổng quát là: $ax + by + c = 0$, ${a^2} + {b^2} \ne 0$ nhận $\overrightarrow n \left[ {a;b} \right]$ làm vectơ pháp tuyến. b. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia. c. Phương trình đường thẳng $Δ$ qua điểm $M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]$ có dạng $Δ$: $a\left[ {x – {x_0}} \right] + b\left[ {y – {y_0}} \right] = 0$ với ${a^2} + {b^2} \ne 0$. Đặc biệt: + Nếu đường thẳng $Δ$ song song với trục $Oy:$ $Δ:$ $x = {x_0}$. + Nếu đường thẳng $Δ$ cắt trục $Oy:$ $Δ:$ $y – {y_0} = k\left[ {x – {x_0}} \right]$.d. Phương trình đường thẳng đi qua $A\left[ {a;0} \right], B\left[ {0;b} \right]$ với $ab \ne 0$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.
A. Phương pháp giải
* Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định :
- Điểm A[x0; y0] thuộc d
- Một vectơ pháp tuyến n→[ a; b] của d
Khi đó phương trình tổng quát của d là: a[x-x0] + b[y-y0] = 0
* Cho đường thẳng d: ax+ by+ c= 0 nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng ∆ có dạng: ax + by + c’ = 0 [c’ ≠ c] .
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho ba đường thẳng [a]:3x - 2y + 5 = 0; [b]: 2x + 4y - 7 = 0 và
[c]: 3x + 4y - 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của a và b , và song song với c là:
A. 24x + 32y - 53 = 0. B. 23x + 32y + 53 = 0 C. 24x - 33y + 12 = 0. D. Đáp án khác
Lời giải
Giao điểm của [a] và [ b] nếu có là nghiệm hệ phương trình :
Ta có đường thẳng d // c nên đường thẳng d có dạng: 3x+ 4y+ c= 0 [c≠-1]
Vì điểm A thuộc đường thẳng d nên : 3. + 4. + c = 0 ⇔ c=
Vậy d: 3x + 4y + = 0 ⇔ d3 = 24x + 32y - 53 = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M[1; -3] và nhận vectơ n→[1; 2] làm vectơ pháp tuyến.
A. ∆: x + 2y + 5 = 0 B. ∆: x + 2y – 5 = 0 C. ∆: 2x + y + 1 = 0 D. Đáp án khác
Lời giải
Đường thẳng ∆: qua M[ 1; -3] và VTPT n→[1; 2]
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 1[x - 1] + 2[y + 3] = 0
Hay x + 2y + 5 = 0
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng [d]: x-2y + 1= 0 . Nếu đường thẳng [∆] đi qua M[1; -1] và song song với d thì ∆ có phương trình
A. x - 2y - 3 = 0 B. x - 2y + 5 = 0 C. x - 2y +3 = 0 D. x + 2y + 1 = 0
Lời giải
Do đường thẳng ∆// d nên đường thẳng ∆ có dạng x - 2y + c = 0 [c ≠ 1]
Ta lại có M[1; -1] ∈ [∆] ⇒ 1 - 2[-1] + c = 0 ⇔ c = -3
Vậy phương trình ∆: x - 2y - 3 = 0
Chọn A
Ví dụ 4: Cho ba điểm A[1; -2]; B[5; -4] và C[-1;4] . Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình
A. 3x - 4y + 8 = 0 B. 3x – 4y - 11 = 0 C. -6x + 8y + 11 = 0 D. 8x + 6y + 13 = 0
Lời giải
Ta có BC→ = [-6; 8]
Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC
⇒ AA' nhận VTPT n→ = BC→ = [-6; 8] và qua A[1; -2]
Suy ra phương trình AA’: -6[x - 1] + 8[y + 2] = 0
Hay -6x + 8y + 22 = 0 ⇔ 3x - 4y - 11 = 0.
Chọn B
Ví dụ 5. Đường thẳng d đi qua điểm A[ 1; -3] và có vectơ pháp tuyến n→[ 1; 5] có phương trình tổng quát là:
A. d: x + 5y + 2 = 0 B. d: x- 5y + 2 = 0 C. x + 5y + 14 = 0 D. d: x - 5y + 7 = 0
Lời giải
Ta có: đường thẳng d: qua A[ 1; -3] và VTPT n→[ 1; 5]
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
1[ x - 1] + 5.[y + 3] = 0 hay x + 5y + 14 = 0
Chọn C.
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[2; -1]; B[ 4; 5] và C[ -3; 2] . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
A. 7x + 3y – 11 = 0 B. -3x + 7y + 5 = 0 C. 3x + 7y + 2 = 0 D. 7x + 3y + 15 = 0
Lời giải
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A.
Đường thẳng AH : qua A[ 2;-1] và Nhận VTPT BC→[ 7; 3]
⇒ Phương trình đường cao AH :
7[ x - 2] + 3[y + 1] = 0 hay 7x + 3y – 11 = 0
Chọn A.
Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC cân tại A có A[1 ; -2]. Gọi M là trung điểm của BC và
M[ -2 ; 1]. Lập phương trình đường thẳng BC ?
A. x + y - 3 = 0 B. 2x - y + 6 = 0 C. x - y + 3 = 0 D. x + y + 1 = 0
Lời giải
+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao
⇒ AM vuông góc BC.
⇒ Đường thẳng BC nhận AM→[ -3 ; 3] = -3[1 ; -1] làm VTPT
+ Đường thẳng BC : qua M[-2; 1] và VTPT n→[ 1; -1]
⇒ Phương trình đường thẳng BC :
1[x + 2] - 1[y - 1] = 0 hay x - y + 3 = 0
Chọn C.
Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC có đường cao BH : x + y - 2 = 0, đường cao CK : 2x + 3y - 5 = 0 và phương trình cạnh BC : 2x - y + 2 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ?
A. x - 3y + 1 = 0 B. x + 4y - 5 = 0 C. x + 2y - 3 =0 D. 2x - y + 1 = 0
Lời giải
+ Gọi ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại P. Tọa độ của P là nghiệm hệ phương trình :
+Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình :
Tương tự ta tìm được tọa độ C[-
+ Đường thẳng AP :
⇒ Phương trình đường thẳng AP :
1[x - 1] + 2[y - 1] = 0 ⇔ x + 2y - 3 = 0
Chọn C.
Ví dụ 9. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y - 9 = 0 là:
A. 3x + 5y - 7 = 0 B. 3x + 5y = 0 C. 3x - 5y = 0 D. 3x - 5y + 9 = 0
Lời giải
Do đường thẳng d// ∆ nên đường thẳng d có dạng : 3x + 5y + c = 0 [ c ≠ - 9]
Do điểm O[0; 0] thuộc đường thẳng d nên :
3.0 + 5.0 + c = 0 ⇔ c = 0
Vậy phương trình đường thẳng d: 3x + 5y = 0
Chọn B.
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có B[-2; -4]. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình 2x - 3y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng BC?
A. 2x + 3y - 1 = 0 B. 2x - 3y - 8 = 0 C. 2x + 3y - 6 = 0 D. 2x - 3y + 1 = 0
Lời giải
Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.
⇒ IJ// BC.
⇒ Đường thẳng BC có dạng : 2x - 3y + c = 0 [ c ≠ 1]
Mà điểm B thuộc BC nên: 2.[-2] - 3[-4] + c = 0 ⇔ c = -8
⇒ phương trình đường thẳng BC: 2x - 3y - 8 = 0
Chọn B.
Ví dụ 11: Đường thẳng đi qua A[1; -2] , nhận n→ = [1; -2] làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
A. x - 2y + 1 = 0. B. 2x + y = 0 C. x - 2y - 5 = 0 D. x - 2y + 5 = 0
Lời giải
Gọi [d] là đường thẳng đi qua A và nhận n→ = [1; -2] làm VTPT
=>Phương trình đường thẳng [d] : 1[x - 1] - 2[y + 2] = 0 hay x - 2y – 5 = 0
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M[ -1; 2] và song song với trục Ox.
A. y + 2 = 0 B. x + 1 = 0 C. x - 1 = 0 D. y - 2 = 0
Câu 2: Cho đường thẳng [a] : 2x+ y- 3=0 và [b] : 3x- 4y+ 1= 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng a và b ; nhận vecto n→[ 2 ; -3] làm VTPT ?
A. 2x - 3y + 6 = 0 B. -2x - 3y + 6 = 0 C. 2x - 3y + 1 = 0 D. 2x + 3y - 1 =0
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[2; -1], B[4; 5] và C[ -3; 2] . Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B
A. 3x - 5y + 1 = 0 B. 3x + 5y - 20 = 0 C. 3x + 5y - 12 = 0 D. 5x - 3y -5 = 0
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[2;-1] ; B[ 4;5] và C[ -3; 2]. Tìm trực tâm tam giác ABC?
A. [
Câu 5: Cho tam giác ABC có A[ 2;-1] ; B[ 4; 5] và C[ -3; 2]. Phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC là:
A. 3x - 7y + 11 = 0. B. 7x + 3y - 11 = 0 C. 3x - 7y - 13 = 0. D. 7x + 3y + 13 = 0.
Câu 6: Cho đường thẳng [d]: 3x- 2y+ 8= 0. Đường thẳng ∆ đi qua M[3; 1] và song song với [d] có phương trình:
A. 3x - 2y - 7 = 0. B. 2x + 3y - 9 = 0. C. 2x - 3y - 3 = 0. D. 3x - 2y + 1 = 0
Câu 7: Cho tam giác ABC có B[2; -3]. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình x- y+ 3= 0. Lập phương trình đường thẳng BC?
A. x + y + 2 = 0 B. x - y - 5 = 0 C. x - y + 6 = 0 D. x - y = 0
Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A có A[3 ; 2]. Gọi M là trung điểm của BC và M[ -2 ; -4]. Lập phương trình đường thẳng BC ?
A. 6x - 5y + 13 = 0 B. 5x - 6y + 6 = 0 C. 5x + 6y + 34 = 0 D. 5x + 6y + 1 = 0
Câu 9: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M[ 2 ; 1] và nhận vecto n→[ -2 ; 1] làm VTPT ?
A. 2x + y - 5 = 0 B. - 2x + y + 3 = 0 C. 2x - y - 4 = 0 D. 2x + y - 1 = 0