Phương trình lượng giác chứa tham số m lớp 11
|
Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC > Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi >
Đối với kiến thức lớp 11, cách duy nhất để biện luận phương trình lượng giác chứa tham số chính là đưa về phương trình lượng giác dạng cơ bản để thực hiện.
Ví dụ 1. Tìm tham số m để phương trình \( (m^2-3m+2)cos^2x=m(m-1) \) (1) có nghiệm. GIẢI Từ phương trình trên, ta sẽ phân tích thành nhân tử: \( (m-1)(m-2)cos^2x=m(m-1). \) (2) Từ đây ta có:
Với điều kiện m khác 1 và 2, Dễ suy ra được (2) \( \Rightarrow (m-2)cos^2x=m. \) Từ đây \( \Rightarrow cos^2x=\frac{m}{m-2}\Rightarrow 0\leq \frac{m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow m\leq 0. \) Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \( m\leq 0, m=1. \) Bài 1. Cho phương trình \( 2sin^2x-sinxcosx-cos^2x=m. \) (a) Giải phương trình khi m = – 1. (b) Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 2. Cho phương trình \( sin^6x+cos^6x = asin2x. \) (a) Giải phương trình khi a = 1. (b) Tìm a để phương trình có nghiệm. Bài 3. Chứng minh rằng với mọi m phương trình \( \frac{1}{cosx}-\frac{1}{sinx}=m \) luôn có nghiệm. Bài 4. Tìm m để phương trình msinx – cosx = m + 1 có nghiệm. Bài 5. Tìm m để phương trình cos2x – sinx + m = 0 có nghiệm. Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số I. Phương pháp chungTìm điều kiệnđể phương trình có nghiệm x∈ D Cho phương trình Q(m,x) = 0 (1) phụ thuộc vào tham số m, x∈ D Tìm m để phương trình có nghiệm Cách 1:Phương phápđạo hàm + Bước 1:Đặtẩn phụ t = h(x) trongđó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1) + Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xácđịnh D. Gọi miền giá trị của t là D1 + Bước 3:Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = 0 + Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số f(m,t) trên miền D1 + Bước 5: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà cácđịnh giá trị của m Cách 2:Phương pháp tam thức bậc hai (áp dụng khiđưa Q(m,x) về dạng tam thức bậc hai ) + Bước 1:Đặtẩn phụ t = h(x) trongđó h(x) là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình (1) + Bước 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập xácđịnh D .Gọi miền giá trị của t là D1 + Bước 3:Đưa phương trình (1) về phương trình f(m,t) = at2+ bt + c = 0 + Bước 4: Giải tìmđiều kiệnđể tam thức f(m,t) có nghiệm t∈ U + Bước 5: Kết luận II. Giải và biện luận các phương trình lượng giác cơ bản1. Giải và biện luận phương trình:sinx=m. PHƯƠNG PHÁP:Ta biện luận theo các bước sau: Bước 1: Nếu|m|>1phương trình vô nghiệm. Bước 2: Nếu|m|≤1, xét hai khả năng: +Khả năng 1: Nếumđược biểu diễn quasincủa góc đặc biệt, giả sửα, khi đó phương trình có dạng: +Khả năng 2: Nếumkhông biểu diễn được quasincủa góc đặc biệt, khi đó đặtm=sinα, ta được: Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm. Đặc biệt: Ví dụ 1: Giải phương trình:sin(πsin2x)=1. Ta có: Phương trình(1)có nghiệm khi và chỉ khi: Khi đó(1)có dạng:
Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 2. Giải và biện luận phương trình:cosx=m. PHƯƠNG PHÁP:Ta biện luận theo các bước sau: Bước 1: Nếu|m|>1thì phương trình vô nghiệm. Bước 2: Nếu|m|≤1,xét hai trường hợp: +Khả năng 1: Nếumđược biểu diễn quacoscủa góc đặc biệt, giả sửα, khi đó phương trình có dạng: +Khả năng 2: Nếumkhông biểu diễn được quacoscủa góc đặc biệt, khi đó đặtm=cosα, ta được: Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có hai họ nghiệm. Đặc biệt: Ví dụ 2: Giải phương trình: Phương trình tương đương với: Phương trình(1)có nghiệm khi và chỉ khi: Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 3. Giải và biện luận phương trình:tanx=m. PHƯƠNG PHÁP:Ta biện luận theo các bước sau: Đặt điều kiện: Xét hai khả năng: +Khả năng 1: Nếumđược biểu diễn quatancủa góc đặc biệt, giả sửα, khi đóphương trình có dạng: +Khả năng 2: Nếumkhông biểu diễn được quatancủa góc đặc biệt, khi đó đặtm=tanα, ta được: Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm. 4. Giải và biện luận phương trình:cotx=m. PHƯƠNG PHÁP:Ta biện luận theo các bước sau: Đặt điều kiện: Xét hai khả năng: +Khả năng 1: Nếumđược biểu diễn quacotcủa góc đặc biệt, giả sửα, khi đó phương trình có dạng: +Khả năng 2: Nếumkhông biểu diễn được quacotcủa góc đặc biệt, khi đó đặtm=cotα, ta được: Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm. Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.
Quảng cáo + Phương trình a. sinx+ b=0 hoặc a.cosx+ b=0 ( với a ≠ 0) có nghiệm nếu: - 1 ≤ sinx( hoặc cosx) ≤ 1. +Xét phương trình a.sin2 x + bsinx+ c= 0 hoặc a.cos2 x+ b. cosx+ c= 0 ( với a ≠ 0) : Đặt sinx= t ( hoặc cosx = t) phương trình đã cho trở thành: at2 + bt + c= 0 (*) để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình (*) có nghiệm t0 và -1 ≤ t0 ≤ 1 Ví dụ 1. Cho phương trình 2sinx+ cos900 = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. - 2 ≤ m ≤ 2 B. - 1 ≤ m ≤ 1 C. - 4 ≤ m ≤ 4 D. Đáp án khác Lời giải Ta có: 2sinx+ cos900= m ⇒ 2sinx + 0= m ⇒ sinx= m/2 (*) Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: - 1 ≤ m/2 ≤ 1 ⇒ - 2 ≤ m ≤ 2 Chọn A. Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:  A. 2 B.4 C. 3 D.1 Lơì giải Ta có: ⇒ sinx - 2sinx = m ⇒ - sinx = m ⇒ sinx= - m Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: - 1 ≤ -m ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1 ⇒ m∈{ -1;0;1} Chọn C. Quảng cáo Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2x -2(m-1)sinxcosx-(m-1)cos2x=m có nghiệm? A.0≤m≤1 B.m > 1 C.0 < m < 1 D.m≤0 Lời giải Ta có: sin2 x- 2(m -1) sinx. cosx – ( m – 1) cos2 x= m Ta có: ⇒ 1- cos2x -2 (m- 1) .sin2x- ( m- 1) . ( 1 + cos2x) = 2m ⇒ 1- cos2x -2(m-1)sin2x – m+ 1 – (m-1).cos2x – 2m= 0 ⇒ -2(m -1) sin2x – mcos2x= 3m - 2 Phương trình có nghiệm Ta có: Chọn A. Ví dụ 4. Để phương trình: sin2 x+2(m+1).sinx – 3m(m-2)= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là: A. B. C. D. Lời giải Đặt t = sinx. Điều kiện . Phương trình trở thành: t2 + 2(m+1).t – 3m(m- 2)= 0 (1). Đặt f(t) = t2 + 2(m+1)t – 3m(m- 2). Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [-1;1] khi phương trình (1) có một nghiệm thuộc [-1;1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1;1] Chọn B. Ví dụ 5: Để phương trình A. B. C. D. Lời giải Phương trình (1) trở thành 3t2+ 4at – 4= 0 (2). Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm trong đoạn . Xét phương trình (2), ta có: nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu. Chọn D. Quảng cáo Ví dụ 6: Cho phương trình cos6 x + sin6 x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. 1/4 ≤ m ≤ 1 B. 1/2 ≤ m ≤ 1 C. 1/2 ≤ m ≤ 2 D. Đáp án khác Lời giải Ta có: cos6 x + sin6 x= m ⇒ (cos2 x+ sin2 x) . (cos4 x – cos2x. sin2 x+ sin4 x) =m ⇒ 1.[ (cos2x+ sin2 x)2 – 3.cos2 x. sin2 x= m Với mõi ta a luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 Do đó; để phương trình đã cho co nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm Chọn B. Ví dụ 7. Cho phương trình: 4(sin4 x + cos4 x ) -8(sin6 x + cos6 x) -4sin2 4x = m trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: A. B. C. D. Lời giải Ta có: + Ta tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm. (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thoả t0 thuộc [-1;1] . Chọn D. Ví dụ 8. Cho phương trình cos(x-300) + sin( x+ 600)= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm? A.0 ≤ m ≤ 1 B. -1 ≤ m ≤ 2 C. - 1 ≤ m ≤ 1 D. Đáp án khác Lời giải Ta có: cos(x- 300) - sin(x+ 600) + sinx = m ⇒ cosx . cos300+ sinx. sin300 - sinx. cos600 - cosx. sin600 + sinx= m ⇒ sinx= m (*) Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1 Chọn C. Câu 1:Cho phương trình: cosx. sinx – 2m– 2sinx+ m.cosx= 0.Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm. A.0 ≤ m ≤ 1 B. -1 ≤ m ≤ 2 C. - 2 ≤ m ≤ 1 D. -1 ≤ m ≤ 1
Ta có: cosx.sinx – 2m -2sinx + m. cosx = 0 ⇒ (cosx. sinx -2sinx) + ( m. cosx – 2m) = 0 ⇒ sinx( cosx- 2) + m( cosx- 2) = 0 ⇒ ( sinx + m) . (cosx- 2) = 0 Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình sinx= - m có nghiệm ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1 Chọn D. Câu 2:Cho phương trình cos2x+ 4cosx+ m= 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. -7 ≤ m ≤ 1 B. -5 ≤ m ≤ 2 C. – 6 ≤ m ≤ 2 D. - 4 ≤ m ≤ 2
Ta có: cos2x + 4cosx + m=0 ⇒ 2cos2 x – 1+ 4cosx+ m= 0 ⇒ 2cos2 x+ 4cosx + 2 + m-3= 0 ⇒ 2(cosx+ 1)2 + m- 1= 0 ⇒ 2(cosx+1)2 = 1- m ⇒ (cosx+ 1)2 = (1-m)/2 (*) Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cosx+1 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ (cosx+1)2 ≤ 4 Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm ⇒ 0 ≤ (1-m)/2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ 1-m ≤ 8 ⇒ - 7 ≤ m ≤ 1 Chọn A. Câu 3:Cho phương trình cos( x+ y) – cos( x-y) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm. A. -3 ≤ m ≤ 1 B. -2 ≤ m ≤ 2 C. – 3 ≤ m ≤ 1 D. - 4 ≤ m ≤ 2
Ta có: cos(x+ y) – cos (x- y) = m ⇔ cosx . cosy – sinx. siny – ( cosx. cosy + sinx. sin y)= m ⇔ -2sinx. sin y = m (*) Với mọi x; y ta có; - 1 ≤ sin〖x ≤ 1 và-1 ≤ siny ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ sin〖x.siny ≤ 1 ⇔ - 2 ≤ -2.sinx.siny ≤ 2 Do đó; để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( *)có nghiệm ⇔ - 2 ≤ m ≤ 2 Chọn B. Câu 4:Cho phương trình sin6 x- cos6 x + cos2x= m. Biết rằng khi m thuộc đoạn [a; b] phương trình đã cho có nghiệm. Tính a+ b A. – 2 B. -1 C. 0 D. 1
Ta có:sin6 x- cos6 x + cos2x= m ⇒ (sin2 x- cossin2 x) . ( sinsin4 x+ sin2 x. cos2 x+ cossin4x)+ cos2x = m ⇒ - cos2x. [ (sinsin2 x+ cossin2 x)sin2 – sinsin2 x.cossin2 x] + cos2x= m Chon C. Câu 5:Cho phương trình: A. B. C. D.
Điều kiện: cos2x #0 Ta có: sin6 x+ cos6 x= (sin2 x+ cos2x). (sin4 x- sin2x.cos2x + cos4 x) = 1. [ (sin2 x+ cos2 x)2 – 3sin2 x.cos2 x] = 1- 3/4 sin2 2x Khi đó phưởng trình đã cho trở thành: Chọn C Câu 6:Cho phương trình cos( 900- x)+ sin( 1800- x) + sinx= 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm A. 3 B. 4 C. 2 D .5
Ta có: cos( 900- x) + sin( 1800 – x) + sinx= 3m ⇒ sinx + sin x + sinx = 3m ⇒ 3sinx= 3m ⇒ sin x= m (*) Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên tử (*) suy ra phương trình đã cho có nghiệm ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1 ⇒ Có ba giá nguyên của m là – 1; 0; 1 để phương trình đã cho có nghiệm. Chọn A. Câu 7:Cho phương trình: sin2 x+ (m-1) sinx – m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm. A.m > 2 B. m < 1 C. 1 < m < 10 D.Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Ta có; sin2 x+ (m-1)sinx – m= 0 ⇒ sin2 x – sinx + m.sinx- m= 0 ⇒ sinx(sinx -1) + m.(sinx -1) = 0 ⇒ (sinx – 1).(sinx+ m)= 0 Vì phương trình sinx= 1 có nghiệm là x= π/2+k2π ⇒ Phương trình đã cho luôn nhận x= π/2+k2π làm nghiệm ⇒ Với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm Chọn D. Câu 8:Cho phương trình sin2x+ 2sin2 x+ 4cos2 x=m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm? A. -3√2 ≤ m ≤ 3√2 B. 3- √2 ≤ m ≤ √2+3 C. 2- √2 ≤ m ≤ √2+2 D. -2√2 ≤ m ≤ 2√2
Ta có: sin2x+ 2sin2 x+ 4cos2 x= m ⇒ sin2x + 2( sin2 x+ cos2 x) + 2cos2 x = m ⇒ sin2x+ 2.1+ cos2x+ 1 = m ⇒ sin2x + cos2x + 3 = m ⇒ sin2x+ cos2x = m – 3 ⇒ √2 sin( 2x+ π/4)=m-3 Với mọi x ta luôn có - 1 ≤ sin( 2x+ π/4) ≤ 1 ⇒ - √2 ≤ √2 sin(2x+ π/4) ≤ √2 ⇒ - √2 ≤ m-3 ≤ √2 ⇒ 3- √2 ≤ m ≤ √2+3 Chọn B. Câu 9:Để phương trình A. -1 ≤ m < -1/4 B. -2 ≤ m ≤ -1 C.0 ≤ m ≤ 2 D.(- 1)/4 ≤ m ≤ 0
Chọn A. Câu 10:Để phương trình: A.- 1 ≤ a ≤ 0 . B. - 2 ≤ a ≤ 2. C. - 1/2 ≤ m ≤ 1/4. D. - 2 ≤ m ≤ 0
Chọn B. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
