Bài viết này mình sẽ giới thiệu với các bạn những dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn cơ bản nhất. Mình sẽ đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể và áp dụng ngay vào bài tập
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm $M[x_0;y_0]$ thuộc đường tròn. Ta dùng công thức:
– Nếu phương trình đường tròn là: $[x – a]^2+[y – b]^2= R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là:
$[x_0 – a][x- x_0] + [y_0 – b][y- y_0] = 0$ với tâm $I[a;b]$
Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm $I[x_0, y_0]$ cho trước ở ngoài đường tròn.
Viết phương trình của đường thẳng d qua $I[x_0, y_0]$:
$y – y_0= m[x – x_0]\Leftrightarrow mx – y – mx_0+ y_0= 0$ [1]
Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn [C] tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào [1] ta được phương trình tiếp tuyến.
* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.
Dạng 3: Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k.
Phương trình của đường thẳng d có dạng:
$y = kx + m$ [m chưa biết] $\Leftrightarrow kx – y + m = 0$
Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m.
Bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài tập 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn [C] tại điểm $M[3;4]$ biết đường tròn có phương trình là: $[x-1]^2+[y-2]^2=8$
Hướng dẫn:
Đường tròn [C] có tâm là điểm $I[1;2]$ và bán kính $R=\sqrt{8}$
Vậy phương trình tiếp tuyến với [C] tại điểm $M[3;4]$ là:
$[3-1][x-3]+[4-2][y-4]=0$
$\Leftrightarrow 2x+2y-14=0$
Tham khảo thêm bài giảng:
Bài tập 2: Cho đường tròn [C] có phương trình: $x^2+y^2-4x+8y+18=0$
a. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua $A[1;-3]$
b. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua $B[1;1]$
c. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] vuông góc với đường thẳng có phương trình $3x-4y+5=0$
Hướng dẫn:
Các bạn hoàn toàn xác định được tâm $I[2;-4]$ và bán kính $R=\sqrt{2}$
a. Với ý này trước tiên các bạn cần kiếm tra xem điểm $A[1;-3]$ có thuộc đường tròn [C] hay không? Nếu thuộc thì quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm, ngược lại ta thì ta có lời giải khác.
Các bạn thay tọa độ của điểm $A[1;-3]$ vào phương trình đường tròn [C] thấy thỏa mãn. Do đó điểm $A$ sẽ thuộc đường tròn [C].
Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua $A$ có dạng là:
$1.x-3y-2[x+1]+4[y-3]+18=0$
$\Leftrightarrow x-y-4=0$
b. Các bạn thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình đường tròn [C] thì thấy không thỏa mãn. Do đó điểm B không thuộc đường tròn [C]. Khi điểm $B$ không thuộc đường tròn [C] thì ta không sử dụng cách trên được. Vậy ta phải tiến hành ra sao? các bạn theo dõi tiếp.
Trước tiên các bạn gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm $B[1;1]$ với hệ số góc $k$ là $\Delta$: $y=k[x-1]+1\Leftrightarrow kx-y-k+1=0$
Để đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của dường tròn [C] thì khoảng cách từ tâm $I$ tới đường thẳng $\Delta$ phải bằng bán kính $R$.
Ta có: $d_{[I,\Delta]}=R$
$\Leftrightarrow \frac{|2k+4-k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow |k+5|=\sqrt{2[k^2+1]}$
$\Leftrightarrow k^2+10k+25=2k^2+2$
$\Leftrightarrow k^2-10k-23=0$
$\Leftrightarrow k=5-4\sqrt{3}$ hoặc $k=5+4\sqrt{3}$
+. Với $ k=5-4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của [C] là: $y=[5-4\sqrt{3}]x-5+4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=[5-4\sqrt{3}]x-4+4\sqrt{3}$
+. Với $ k=5+4\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của [C] là: $y=[5+4\sqrt{3}]x-5-4\sqrt{3}+1\Leftrightarrow y=[5-4\sqrt{3}]x-4-4\sqrt{3}$
c. Ở ý này liên quan tới đường thẳng vuông góc, tiện đây mình sẽ nói luôn cả về đường thẳng song song liên quan tới hệ số góc.
Cho hai đường thẳng $d_1; d_2$ lần lượt có hệ số góc là: $k_1; k_2$
+. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì hai hệ số góc bằng nhau, tức là: $k_1=k_2$
+. Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng $-1$, tức là: $k_1.k_2=-1$
Quay trở lại và áp dụng vào bài toán này thì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng $3x-4y+5=0$. Đường thẳng này có hệ số góc là $\frac{3}{4}$. Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là $-\frac{4}{3}$
Gọi phương trình tiếp tuyến là $\Delta$ có dạng: $y=-\frac{4}{3}x+m\Leftrightarrow 4x+3y-3m=0$
Vì đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn [C] nên ta có:
$d_{[I,\Delta]}=R$
$\Leftrightarrow \frac{|4.2+3[-4]-3m|}{\sqrt{25}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow |-3m-4|=5\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 9m^2+24m-34=0$
$\Leftrightarrow m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ hoặc $m=\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$
Với $ m=\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{-4+5\sqrt{2}}{3}$
Với $m=\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{4}{3}x+\frac{-4-5\sqrt{2}}{3}$
Trên đây là một số dạng bài tập phương trình tiếp tuyến các bạn có thể gặp. Nếu bạn thấy bài viết hay thì hãy chia sẻ tới bạn bè của mình, commnent trong khung bên dưới để bày tỏ ý kiến của bạn.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Ta xét các phương án:
[I] có:
[II] có:
[III] tương đương : x2+ y2 – 2x - 3y + 0,5= 0.
phương trình này có:
Vậy chỉ [I] và [III] là phương trình đường tròn.
Chọn D.
...Xem thêm
Trong bài viết dưới đây, điện máy Sharp Việt Nam sẽ hướng dẫn các bạn cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và các dạng bài tập phương trình tiếp tuyến đường tròn chi tiết từ A – Z để các bạn cùng tham khảo
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm M0 [x0; y0] nằm trên đường tròn [C], tâm I [a; b]. Gọi Δ là tiếp tiếp của [C] tại M0.
Ta có:
M0 thuộc Δ và vectơ IM0 = [x0 – a; y0 – b] là vectơ pháp tuyến của Δ.
Do đó phương trình của Δ là:
[x0 – a][x – x0] + [y0 – b] [y – y0] = 0 [1]
Vậy phương trình [1] là phương trình tiếp tuyến của đường tròn [x – a]2 + [b – y]2 = R2 tại điểm M0 [x0; y0] nằm trên đường tròn.
Tham khảo thêm:
Các dạng bài tập về phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M [x0, y0] thuộc đường tròn.
Ta dùng công thức tách đôi tọa độ
Nếu phương trình đường tròn là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là:
xx0 + yy0 – a[x + x0] – b[y + y0] + c = 0
Nếu phương trình đường tròn là: [x -a]2 + [y – b]2 = R2 thì phương trình tiếp tuyến là:
[x – a][x0 – a] + [y – b][ y0 – b] = R2
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn [C] tại điểm M[3;4] biết đường tròn có phương trình là:
[x − 1]2 + [y − 2]2 = 8
Lời giải
Đường tròn [C] có tâm là điểm I[1;2] và bán kính R = √8
Vậy phương trình tiếp tuyến với [C] tại điểm M[3;4] là: [3−1][x−3]+[4−2][y−4]=0
⇔ 2x+2y−14=0
Ví dụ 2: Cho đường tròn [ C]: [x-1]2 + [y + 2]2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của [C] tại điểm A[3; -4] .
Lời giải
Đường tròn [ C] có tâm I[ 1; -2] .
Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A[3; -4] nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA.
⇒ phương trình [d] là: 2[ x – 3] – 2[ y + 4] = 0
⇔ [d] : 2x – 2y – 14 = 0 hay x – y – 7 = 0
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [C]: x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 tại điểm M0[−1;5]
Lời giải
Dễ thấy phương trình đường tròn [C] được biểu diễn thành:
x2 + y2 – 2.[−1].x – 2.2.y = 0
⇒ phương trình tiếp tuyến là:
x.[−1] + y.5 – [−1].[x–1] – 2.[y + 5] – 4 = 0
⇔−x + 5y + x–1 – 2y – 10 – 4 = 0
⇔ y = 5
Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm I [x0, y0] cho trước ở ngoài đường tròn
Viết phương trình của đường thẳng d qua I [x0, y0]:
y – y0 = m[x – x0] ⇔ mx – y – mx0 + y0 = 0 [1]
Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn [C] tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m và thay m vào [1] ta được phương trình tiếp tuyến.
Lưu ý: Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến
Ví dụ 1: Cho đường tròn [x – 3]2 + [y + 1]2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của [ C] song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là gì?
Lời giải
Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên
phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .
Đường tròn [ C] có tâm I[ 3; -1] và bán kính R = √5
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn [ C] khi :
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn [ C]: x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm B[ 4; 6] .
Lời giải
Đường tròn [C] có tâm I[ 2; 2] và bán kính R = √ 22 + 22 – 4 = 2
⇒ Phương trình ∆: a[x – 4] + b[y – 6] = 0 hay ax + by – 4a – 6b = 0 [*]
+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn [ C] nên d[I; ∆] = R
+ Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào [*] ta được ∆: x – 4 = 0.
+ Nếu 4a = – 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào [ *] ta được: 3x – 4y + 12 = 0
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x – 4 = 0 và 3x – 4y + 12 = 0 .
Dạng 3: Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k
Phương pháp: Phương trình của đường thẳng d có dạng:
y = kx + m [m chưa biết]⇔ kx – y + m = 0
Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m
Ví dụ 1: Cho đường tròn [C]: [x – 2]2 + [y – 1]2 = 20. Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn [C] có hệ số góc bằng 2
Lời giải
Ví dụ 2: Cho đường tròn [ C] có tâm I[1; 3], bán kính R= √52. Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d:
Lời giải
+ Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M[3 + 2t; 1 – 4t].
+ Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R
⇔ IM2 = R2 ⇔ [ 2 + 2t]2 + [ 2 + 4t]2 = 52
⇔ 4t2 + 8t + 4 + 16t2 + 16t + 4 = 52
⇔ 20t2 + 24t – 44 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -11/5 [ loại] .
+ Với t = 1 thì tọa độ M[5; -3] .
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M [5; -3]:
⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2[ x – 5] – 3[y + 3] = 0 hay 2x – 3y – 19 = 0
Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn để áp dụng vào làm bài tập
Đánh giá bài viết
XEM THÊM
Cách tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng, không gian từ A – Z
Bảng chữ cái tiếng Hàn Quốc, cách phát ẩm chính xác 100%