Phương trình ᴄó 2 nghiệm trái dấu là một dạng toán thường hay gặp trong đề thi môn Toán ᴠào lớp 10. Nội dung bài viết ѕẽ giúp ᴄáᴄ bạn hiểu rõ hơn về dạng toán này. Mời ᴄáᴄ bạn tham khảo.
1. Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Cho phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 [1]
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì
2. Các dạng bài tập về phương trình có 2 nghiệm trái dấu
2.1. Dạng 1: Chứng minh phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Bài 1: Không giải phương trình, chứng minh các phương trình sau có hai nghiệm trái dấu
- x2 - 3x - 4 = 0
- -2x2 + x +8 = 0
- x2 - 8 = 0
ĐÁP ÁN
- x2 - 3x - 4 = 0 [ a = 1 ; b = -3 ; c = -4]
Vì a . c = 1 . [-4] = -4 < 0
nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
- -2x2 + x +8 = 0 [ a = -2 ; b = 1 ; c = 8]
Vì a . c = [-2] . 8 = -16 < 0
nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
- x2 - 8 = 0 [ a = 1 ; b = 0 ; c = -8]
Vì a . c = 1 . [-8] = -8 < 0
nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Bài 2: Chứng minh các phương trình sau luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m:
- -x2 - 2x + m2 + 1 = 0 [ m là tham số]
- [m2 + 1]x2 + 2mx - m2 = 0 [ m là tham số]
- 2x2 - [m + 1]x - [ m2 + 4m + 5] = 0 [ m là tham số]
ĐÁP ÁN
- -x2 - 2x + m2 + 1 = 0 [ a = -1; b = -2; c = m2 + 1 ]
Ta có: a . c = [-1] . [m2 + 1] = -[m2 + 1]
Vì m2 0 với mọi m, nên m2 + 1 > 0 với mọi m
- [ m2 + 1 ] < 0 với mọi m
a . c < 0 với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
- [m2 + 1]x2 + 2mx - m2 = 0 [ a = m2 + 1; b = 2m ; c = -m2]
Ta có: a . c = [m2 + 1] . [-m2] = -m2 [m2 + 1]
Vì m2 0 với mọi m, nên m2 + 1 > 0 với mọi m
m2 [m2 +1] > 0 với mọi m
-m2 [m2 +1] < 0 với mọi m
a . c < 0 với mọi m.
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
- 2x2 - [m + 1]x - [ m2 + 4m + 5] = 0 [ a = 2; b = -[m + 1]; c = -[m2 + 4m + 5]]
Ta có: a . c = 2. [ -[m2 + 4m + 5]] = -2 [ m2 + 4m + 5] = -2 [ m2 + 4m + 4 +1] = -2 [ [ m + 2 ]2 + 1]
Vì [ m + 2 ]2 0 với mọi m
[ m + 2 ]2 + 1 >0 với mọi m
-2 [ [ m + 2 ]2 + 1] < 0 với mọi m
Do đó: a . c < 0 với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
2.2. Dạng 2: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Bài 1: Cho phương trình: x2 - 2[m + 1]x - m + 1 = 0 [1] [ m là tham số]
- Giải phương trình khi m = 1
- Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
ĐÁP ÁN
- Khi m = 1 thay vào phương trình [1] ta được:
x2 - 2.[1 + 1]x - 1 + 1 = 0
x2 - 4x = 0 [a = 1; b = -4;b' = -2; c = 0]
Ta có: ' = b'2 - ac = [-2]2 - 1.0 = 4 > 0
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = = 4; x2 = = 0
- x2 - 2[m + 1]x - m + 1 = 0 [ a = 1; b = -2[m + 1]; c = -m + 1]
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì a . c < 0
1. [ -m+1] < 0
-m < -1
m > 1
Vậy m > 1 thì phương trình [1] có hai nghiệm trái dấu.
Bài 2: Tìm m để phương trình x2 + [2m - 1]x + m2 - 5m + 4 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
ĐÁP ÁN
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì a . c < 0
m2 - 5m + 4 < 0
[ m -1][ m - 4] < 0
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1:
[ không có giá trị nào của m thỏa mãn]
Trường hợp 2:
1 < m < 4
Vậy 1 < m < 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
Bài 3: Cho phương trình: [m + 2]x2 - 2[m + 1]x + m - 4 = 0 [ m là tham số]. Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
ĐÁP ÁN
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm thì:
a . c < 0 và x1 + x2 < 0
[ m + 2]. [ m - 4] < 0 [1] và < 0 [2]
- Từ [1] ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1:
m + 2 > 0 và m - 4 < 0
m > -2 và m < 4
-2 < m < 4
mà m nhận giá trị nguyên nên m [*]
Trường hợp 2:
m + 2 < 0 và m - 4 > 0
m < -2 và m > 4
Không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Do đó m m [*] thỏa mãn [1]
- Từ [2] ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1:
m + 1 > 0 và m + 2 < 0
m > -1 và m < -2
Không có giá trị nào thỏa mãn.
Trường hợp 2:
m + 1 < 0 và m + 2 > 0
m < -1 và m > -2
-2 < m < -1
Mà m nhận giá trị nguyên nên không có giá trị nào của m
Do đó, không có giá trị nào của m thỏa mãn [2] [**]
Từ [*], [**] suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Hy vọng bài viết này giúp các bạn học sinh nắm chắc kiến thức về điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và các dạng toán liên quan. Chúc các bạn học tốt nhé!