Giải chi tiết:
Ta có : \[\sin x + \cos x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin 2x \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 - \sin x\cos x\]
Đặt \[\sin x + \cos x = t\,\,\,\left[ { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right]\] .
Khi đó phương trình trở thành:
\[t = 1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow 2t + {t^2} - 1 - 2 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\left[ {tm} \right]\\t = - 3\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\]
Suy ra \[\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right] = 1 \Leftrightarrow \sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right] = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\]
\[ \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\]\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {x + \dfrac{\pi }{4}} \right] = \sin \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in \mathbb{Z}} \right]\]
Do \[x\] là nghiệm âm lớn nhất nên:
+ TH1: \[k2\pi < 0 \Leftrightarrow k < 0\mathop \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k = - 1 \Rightarrow x = - 2\pi \].
+ TH2: \[\dfrac{\pi }{2} + k2\pi < 0 \Leftrightarrow k