Khoảng cách giữa hai đường thẳng Delta và Delta phẩy
Show
Hình 1. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau Đường thẳng $d_1$ có vector chỉ phương là ${\vec u_1}$, đi qua điểm $M_1$; Đường thẳng $d_2$ có vector chỉ phương là ${\vec u_2}$, đi qua điểm $M_2$. Khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$, ký hiệu $d\left( {{d_1},{d_2}} \right)$, được tính theo công thức $$d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}.$$ Cách khác: Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$. Suy ra ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right].$ Bước 2. $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {{d_2},\left( P \right)} \right) = d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right).$ Ví dụ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 5 - 2t\\
z = 14 - 3t
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 - 4\lambda \\
y = 3 + \lambda \\
z = - 1 + 5\lambda
\end{array} \right..$ Giải. Ta có ${\vec u_1} = \left( {1; - 2; - 3} \right),\;\;{\vec u_1} = \left( { - 4;1;5} \right) \Rightarrow \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { - 7;7; - 7} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {7^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} = 7\sqrt 3 .$
Ta cũng có ${M_1}\left( {0;5;14} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {9;3; - 1} \right) \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {9; - 2; - 15} \right).$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = - 7 \cdot 9 + 7 \cdot \left( { - 2} \right) - 7 \cdot \left( { - 15} \right) = 28.$
Như vậy $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{28}}{{7\sqrt 3 }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$ Cách khác. Ta có ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { - 7;7; - 7} \right) = - 7\left( {1; - 1;1} \right)$ và $M\left( {0;5;14} \right) \in {d_1} \subset \left( P \right).$ Suy ra $$\left( P \right):1 \cdot \left( {x - 0} \right) - 1 \cdot \left( {y - 5} \right) + 1 \cdot \left( {z - 14} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + z - 9 = 0.$$ Như vây $$d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {9 - 3 - 1 - 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$$
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là: Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (x - 3y + 4 = 0 ) và (2x + 3y - 1 = 0 ) đến đường thẳng Delta :3x + y + 4 = 0 bằng:Câu 12295 Nhận biết Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \(x - 3y + 4 = 0\) và \(2x + 3y - 1 = 0\) đến đường thẳng $\Delta :3x + y + 4 = 0$ bằng: Đáp án đúng: c Phương pháp giải - Tìm giao điểm của hai đường thẳng bằng cách giải hệ phương trình ẩn \(x,y\) - Tính khoảng cách theo công thức \(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\dfrac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\) Khoảng cách và góc --- Xem chi tiết ...Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${\Delta 1}:7x + y - 3 = 0$ và ${\Delta 2}:7x + y + 12 = 0$ bằng:A. B. C. D.
39
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
40
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
45
00:18:23 Bài 7: Ứng dụng tích có hướng tính diện tích
46
00:22:03 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
48
00:32:07 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
51
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
57
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
58
00:15:13 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
61
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
66
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao |