Hướng dẫn giải tích phân xác định năm 2024
|
Máy tính tích hợp các hàm bằng cách sử dụng các phương pháp: thay thế, hàm hữu tỉ và phân số, hệ số không xác định, thừa số, tích phân số tuyến tính, Ostrogradsky, tích phân theo bộ phận, thay thế Euler, nhị thức vi phân, tích phân với mô đun, hàm tích phân, lũy thừa, lượng giác, hyperbolic phép biến đổi và nhóm. Để giải các tích phân xác định, người ta áp dụng công thức Newton-Leibniz và tìm giới hạn tại các điểm không liên tục của hàm số Show Tích phân là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán học 12. Nắm chắc lý thuyết, phương pháp tính tích phân cơ bản sẽ giúp các em giải nhanh và chính xác các bài tập liên quan và đạt điểm cao trong các kỳ thi. Vì thế, trong bài viết này, Marathon Education sẽ giúp các em tìm hiểu chi tiết tích phân là gì và những phương pháp tính tích phân cơ bản thường gặp. Định nghĩa tích phânĐể học tốt tích phân, trước tiên các em cần nắm vững lý thuyết tích phân là gì. Xét hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì F(b) – F(a) chính là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), hay còn gọi là tích phân được xác định trên đoạn [a;b]. Cụ thể: \intop^b_a f(x)dx=F(x)|^b_a=F(b)-F(a) Tính chất của tích phânĐể giải các bài toán tích phân, các em cần nắm được những tính chất cơ bản sau của tích phân: Phương pháp tính tích phânKhi giải các bài tập tích phân, các em có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó, 2 phương pháp cơ bản được áp dụng nhiều nhất là đổi biến số và tích phân từng phần. Phương pháp đổi biến sốCho hàm số f(x) được xác định và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]. Các em có thể sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân. Công thức đổi biến số cụ thể: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du Sau đây là các dạng tích phân và cách đổi biến số thường gặp mà các anh chị Marathon đã tổng hợp được. Các em hãy tham khảo và áp dụng để giải bài tập: Phương pháp tích phân từng phầnCác em nên áp dụng phương pháp tích phân từng phần để giải nhanh chóng và chính xác những bài tập mà hàm số đã cho thuộc dạng:
Công thức tích phân từng phần : \intop^b_au(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|^b_a-\intop^b_au'(x)v(x)dx Các dạng bài tập tích phân cơ bảnDạng 1: Hàm logaritVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^1_0e^x(2e^x+1)^3dx Bài giải: Ta có: \begin{aligned} I&=\intop^1_0e^x(2e^x+1)^3dx\ &=\frac{1}{2}\intop^1_0(2e^x+1)^3d(2e^x+1)\ &=\left.\frac{1}{2}.\frac{(2e^x+1)^4}{4}\right|^1_0\ &=\frac{1}{2}\left[\frac{(2e+1)^4}{4}-\frac{81}{4} \right]\ &=\frac{(2e+1)^4}{8}-\frac{81}{8} \end{aligned} Dạng 2: Hàm phân thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^4_3\frac{x+1}{x-2}dx Bài giải: Ta có: \begin{aligned} I&=\intop^4_3\frac{x+1}{x-2}dx\ &=\intop^4_3\left(1+\frac{3}{x-2}\right)dx\ &=[x+3ln(x-2)|^4_3\ &=(4+3ln2)-(3+ln1)\ &=1+3ln2 \end{aligned} Dạng 3: Hàm căn thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^4_0\sqrt{2x+1}dx Bài giải: Ta có: \begin{aligned} I&=\intop^4_0\sqrt{2x+1}dx\ &=\frac{1}{2}\intop^4_0\sqrt{2x+1}d(2x+1)\ &=\left.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}(2x+1)\sqrt{2x+1}\right|^4_0\ &=9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3} \end{aligned} Dạng 4: Hàm đa thứcVí dụ: Các em hãy tính tích phân của hàm số: I=\intop^1_0(3x^2+2x-1)dx Bài giải: Ta có: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du 0 Dạng 5: Hàm lượng giácVí dụ: Tính tích phân của hàm số: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du 1 Bài giải: Ta có: \intop^b_af(u)u'(x)dx=\intop^{u(b)}_{u(a)}f(u)du 2 Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education Qua bài viết này, Team Marathon Education đã giúp các em hiểu thêm định nghĩa tích phân. Bên cạnh đó, các em biết được những phương pháp tính tích phân cũng như những dạng bài tập cơ bản. Hy vọng, những kiến thức này sẽ giúp ích cho các em trong quá trình học và ôn tập cho các kỳ thi quan trọng. Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới! |
