Hàm số y = f[x] = [x-1].[x-2].[x-3]...[x-2018]có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 1009
B. 2018
C. 2017
D. 1008
Phương trình f[x]=0 có 2018 nghiệm, dễ thấy f[x] là hàm liên tục trên R nên f[x] có 2017 điểm cực trị, với mỗi điểm cực trị nằm giữa 2 nghiệm của phương trình f[x]=0.
Do giới hạn của hàm số khi x tiến tới +vc hay -vc đều bằng +vc nên số điểm cực tiểu nhiều hơn điểm cực đại là một, nên có 2016:2=1008 điểm cực đại
Các em xem thêm ở video này nhé
//youtu.be/PEJUcaUOmEQ
cho em hỏi là nếu [x-1][x-2]...[x-2019] có 2018 cực trị thì có bao nhiêu cực tiểu ạ
câu này hay quá !
Cho e hỏi sao hàm fx=[x-1][x-2]...[x-100] lại có 44 cực đại là sao ạ???
Số điểm cực đại của hàm số \[y = \left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 3} \right]...\left[ {x - 100} \right]\] bằng:
Phương pháp giải
Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc nghiệm như sau:
–Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔
–Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔
A. m = -1.
B. m = -5.
C. m = 5.
D. m = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có y’ = x2 – 2mx + m2 – 4 ⇒ y’’ = 2x – 2m
Hàm số đạt cực đại tại x = 3 thì
y’ [3] = 0 ⇔ m2 – 6m + 5 = 0 ⇔
Với m = 1, y’’ [3] = 2.3 – 2.1 = 4 > 0 suy ra x = 3 là điểm cực tiểu.
Với m = 5, y’’ [3] = 2.3 – 2.5 = -4 < 0 suy ra x = 3 là điểm cực đại.
A. H = 1.
B. H = -1.
C. H = -2.
D. H = 3.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = 3ax2 + 2x – 5 ⇒ y’’ = 6ax + 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y’ [1] = 0 ⇔ a = 1.
Thay a = 1 ta thấy y’’ [1] = 6 + 2 = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu.
Mặt khác ta có: y [1] = 2 ⇔ 1 + 1 – 5 + b = 2 ⇔ b = 5
Vậy H = 4. 1 – 5 = -1.
A. T = 2
B. T = 3
C. T = 4
D. T = 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có f’ [x] = 3ax2 + 2bx + c.
Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f [0] = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f [1] = 1 nên ta có hệ phương trình
A. m ≥ 0
B. m ≤ 0
C. m > 0
D. m < 0
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Hàm số y = x3 + mx – 1 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay 3x2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Do đó m < 0.
Chú ý: Do hàm bậc ba có đạo hàm là tam thức bậc hai nên có các yêu cầu sau: hàm số có cực trị, hàm số có cực đại và cực tiểu, hàm số có hai cực trị có cách làm giống nhau, tức là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
A.
B. m < 1
C.
D. m ≤ 1
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = mx2 + 2x + 1.
Với m = 0, hàm số trở thành y = x2 + x + 7, đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị.
Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu.
Xét m # 0, để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0
⇔ 1 – m > 0 ⇔ m < 1.
Hợp cả hai trường hợp, khi m < 1 thì hàm số có cực trị.
Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba [bậc cao nhất] có chứa tham số thì nên chia hai trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: y’ = 3mx2 – 6mx – m + 1.
Với m = 0, hàm số trở thành y = x + 2 là hàm đồng biến trên ℝ nên không có cực trị, nhận m = 0.
Xét m ≠ 0, hàm số không có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
⇔ ∆’ = 9m2 – 3m [1 – m] ≤ 0 ⇔ 12m2 – 3m ≤ 0 ⇔ .
Hợp cả hai trường hợp, khi thì hàm số không có cực trị.
A. 18
B. 17
C. 19
D. 16
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y’ = [m – 1] x2 + 2[m2 – 4] x + [m2 – 9].
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu
⇔ [m – 1][m2 – 9] < 0 ⇔
Vậy m ∊ {-20; -19; …; -4; 2}, có 18 giá trị của m.
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: y’= 3mx2 + 2m [m – 1] x – [m + 1].
Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm đối nhau
⇔
A .
B.
C. m < 0
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = mx2 + 2 [m – 1] x + m + 2.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt dương
⇔
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = 3x2 + 2 [1 – 2m] x + 2 – m.
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = [1 – 2m]2 – 3 [2 – m] > 0 ⇔ 4m2 – m – 5 > 0 ⇔
Khi đó, giả sử x1, x2 [với x1 < x2] là hai nghiệm của phương trình y’ = 0.
Bảng biến thiên
Khi đó, yêu càu bài toán trở thành:
x2 < 1 ⇔
⇔
Kết hợp điều kiện có cực trị thì m < -1 và
Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn giản hơn như sau:
Xét x1 < x2 < 1
⇔
⇔
⇔
A. m < 0
B.
C.
D. Không tồn tại
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = 3x2 + 2x + m.
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = 1 – 3m > 0 ⇔ [1].
Khi đó, giả sử x1, x2 [với x1 < x2] là nghiệm của phương trình y’ = 0 thì
Bảng biến thiên
Do
⇔ x1 x2 < 0 ⇔
Từ [1], [2] ta có m < 0.
A. m < 2
B. m < 2 hoặc m > 6
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: y’ = x2 – 2 [m – 2] x + [4m – 8].
Yêu cầu bài toán trở thành
[x1 + 2] [x2+2] < 0 ⇔ [4m – 8] + 4 [m – 2] + 4 < 0 ⇔ .
A. 2
B. -2
C. 4
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = 3x2 – 2 [m + 2] x + m – 1.
Hàm số có hai điểm cực trị khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = m2 + m + 7 > 0 [luôn đúng].
Theo định lí Vi-ét ta có:
Vậy tổng cần tìm bằng 4 + [-2] = 2.
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Đây là khái niệm cơ bản về cực trị của hàm số.
Giả sử hàm số f xác định trên K [K ⊂ ℝ] và x0 ∈ K
a] x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] < f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}
→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b] x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] > f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}
→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Chú ý:
1] Điểm cực đại [cực tiểu] x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.
2] Nói chung, giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] không phải là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên tập K; f[x0] chỉ là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên một khoảng [a;b] chứa x0.
3] Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm [x0; f[x0]] được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’[x0] = 0.
Chú ý:
1] Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.
2] Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
a] Nếu f’[x] đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b] Nếu f’[x] đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng [a;b] chứa điểm x0, f’[x0] = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a] Nếu f’’[x0] < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b] Nếu f’’[x0] > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
c] Nếu f’’[x0] = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.