Giải biện luận phương trình bậc nhất

Giải và biện luận phương trình bậc hai là biện luận theo tham số cho trước số nghiệm của một phương trình bậc hai.

Giải và biện luận phương trình bậc hai là dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của các trường, thành phố, tỉnh trên toàn quốc. Dạng bài này thường xuất hiện ở bài số 3 ý số hai cùng với bài giải phương trình hệ số hằng. Dạng toán này thường kết hợp với một ý ví dụ như xét dấu các nghiệm, hoặc tìm tham số \(m\) để các nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.... làm thành một câu chiếm 0,5 điểm của bài thi. 

Đây là dạng toán mức độ tương đối khó, yêu cầu học sinh cần phải có kiến thức vững về định nghĩa phương trình bậc hai, các trường hợp có nghiệm của phương trình bậc hai. Học sinh muốn đạt mức điểm từ 6 đến 7 thì cần thiết phải tốt dạng toán này.

Trong một đề thi tốt nhất ta nên trình bày và giải bài toán này trong tối đa 10 phút.

Phương pháp giải: [edit]

Với phương trình \(ax^2+bx+c=0 \) với \(a\ne 0\)

Tìm điều kiện tham số sao cho:

Dạng 1. Phương trình vô nghiệm điều kiện là: \(\Delta <0\) (hoặc \(\Delta'<0\)).

Dạng 2. Phương trình có nghiệm, điều kiện là: \(\Delta \ge 0\) (hoặc \(\Delta'\ge 0 \)).

Dạng 3. Phương trình có nghiệm kép, điều kiện là: \(\Delta=0\) (hoặc \(\Delta'=0\)).

Dạng 4. Phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là: \(\Delta >0\) (hoặc \(\Delta'>0 \)).

Chú ý:

Trong trường hợp hệ số \(a\) có chứa tham số, chúng ta cần xét hai trường hợp (với \(a=0\) và với \(a\ne 0\) ), khi đó:

1. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt, bao gồm:

1.1. Điều kiện để phương trình là một phương trình bậc hai: \(a\ne 0\).

1.2. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, tương ứng \( \Delta >0\).

Do đó ta có hệ điều kiện là \( \left\{\begin{array}{ll} a\ne 0\\ \Delta >0 \end{array}\right. \)

2. Điều kiện để phương trình có nghiệm kép bao gồm:

2.1. Điều kiện để phương trình là một phương trình bậc hai: \(a\ne 0\).

2.2. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép, tương ứng \(\Delta=0 \).

Do đó ta có hệ điều kiện là: \( \left\{\begin{array}{ll}a\ne 0\\ \Delta =0\end{array}\right.\)

Các lỗi sai thường gặp [edit]

- Khi xét một phương trình dạng \( ax^2+bx+c= 0 \), trong đó hệ số \(a\) có chứa tham số, học sinh thường quên xét điều kiện \(a\ne 0\). 

- Điều kiện để phương trình có nghiệm khác với điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt. Cụ thể: 

Phương trình có nghiệm thì điều kiện là : \( \Delta \ge 0 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt thì điều kiện là \( \Delta>0 \)

Ví dụ minh họa: [edit]

Ví dụ 1:

Cho phương trình bậc hai ẩn \(x\), tham số \(m\):  \(x^2+2mx+4m-3=0\).

Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải:

Do hệ số \(x^2\) là \(1\ne 0\) nên bài toán này thuộc dạng 4. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là: \(\Delta' >0\).

Ta có \(\Delta'=m^2-1(4m-3)=m^2-4m+3\).

Để giải bất phương trình \(\Delta' >0 \) việc đầu tiên ta nên nghĩ đến là phân tích \(\Delta'\) thành nhân tử.

Thật vậy \(\Delta'=m^2-4m+3=(m^2-m)-(3m-3)=m(m-1)-3(m-1)=(m-1)(m-3) \).

Xét bất phương trình \( \Delta' <0 \Leftrightarrow (m-1)(m-3)<0 \)

Ta coi \(m-1,\,m-3\) là hai số thực, tích lớn hơn \(0\) khi và chỉ khi hai số cùng dấu.

 Do đó có các trường hợp:

Trường hợp 1: 

\( \left\{\begin{array}{ll}m-1<0\\m-3<0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}m<1\\m<3\end{array}\right. \Leftrightarrow m<1 \)

\( \left\{\begin{array}{ll}m-1>0\\m-3>0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}m>1\\m>3\end{array}\right. \Leftrightarrow m>3 \)

Do đó điều kiện để để \(\Delta' >0\) hay phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(m<1\) hoặc \(m>3\)

---

Page 2

Phương trình bậc nhất một ẩn là một trong những phương trình cơ bản nhất của Đại số sơ cấp.

Bằng chứng là ngay từ những năm Trung học cơ sở thì chúng ta đã được thầy (cô) giáo của mình giảng dạy về phương trình này rồi.

Và hôm này chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại cách giải, cũng như cách biện luận phương trình bậc nhất một ẩn và tìm hiểu thêm cách giải bằng máy tính CASIO nhé.

#1. Phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng $ax+b=0$ (với a, b là những số thực cho trước, a khác 0)

Ví dụ: $2x+3=0, -5x+7=0, -11x-13=0$ là những phương trình bậc nhất một ẩn.

#2. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp #1. Dựa vào kiến thức Toán học

Ví dụ 1. Giải phương trình $2x+3=0$

Lời giải:

$a=2, b=3$

$2x+3=0 \Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\frac{-3}{2}$

Ví dụ 2. Giải phương trình $7-5x=0$

Lời giải:

$a=-5, b=7$

$7-5x=0 \Leftrightarrow x=\frac{-7}{-5} \Leftrightarrow x=\frac{7}{5}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\frac{7}{5}$

Ví dụ 3. Giải phương trình $x+\frac{11}{13}=0$

Lời giải:

$a=1, b=\frac{11}{13}$

$x+\frac{11}{13}=0 \Leftrightarrow x=\frac{-\frac{11}{13}}{1} \Leftrightarrow x=-\frac{11}{13}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $-\frac{11}{13}$

Ví dụ 4. Giải phương trình $17+\frac{x}{23}=0$

Lời giải:

$a=\frac{1}{23}, b=17$

$17+\frac{x}{23}=0 \Leftrightarrow x=\frac{-17}{\frac{1}{23}} \Leftrightarrow x=-391$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $-391$

Bước 1: Chọn phương thức tính toán Calculate

NOTE: Chúng ta cần đảm bảo rằng phương thức thức tính toán Calculate đang được chọn vì tính năng Solve (tính năng dò tìm nghiệm của phương trình) chỉ hoạt động được trong phương thức tính toán này

Bước 2: Nhập phương trình …

Bước 2.1: Ẩn x được nhập vào bằng cách nhấn phím x, hoặc nhấn phím ALPHA rồi nhấn phím (

Bước 2.2: Dấu = của phương trình được nhập vào bằng cách nhấn phím ALPHA => rồi nhấn phím CALC

Bước 3: Tiến hành dò tìm nghiệm, nhấn phím SHIFT => rồi nhấn phím CALC => nhấn phím =

Ví dụ 5. Giải phương trình $2x+3=0$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $-1.5$ hay $-\frac{3}{2}$

Chú ý:
Ngay sau khi nhấn phím SHIFT rồi nhấn phím CALC (phím SOLVE) máy tính sẽ yêu cầu chúng ta nhập giá trị x ban đầu.
Vì phương trình đang dò tìm nghiệm là phương trình bậc nhất nên giá trị x ban đầu này không quan trọng, bạn cứ nhấn tiếp phím =

Ví dụ 6. Giải phương trình $x+\frac{11}{13}=0$

Chú ý: Ở phương trình này nghiệm hiển thị dưới dạng thập phân, để hiển thị dưới dạng phân số bạn hãy nhấn phím AC => nhấn phím Ans => nhấn phím =

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $-\frac{11}{13}$

#3. Cách biện luận phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình $(m-1)x+(m-2)=0$

Lời giải:

Trường hợp 1: $m-1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$

Lúc bấy giờ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là $x=\frac{-(m-2)}{m-1}=\frac{-m+2}{m-1}$

Trường hợp 2: $m-1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$, phương trình đã cho trở thành $(1-1)x+(1-2)=0 \Leftrightarrow 0x-1=0$

Phương trình đã cho vô nghiệm:

#4. Lời kết

Việc giải phương trình bậc nhất một ẩn không có gì khó khăn cả, thậm chí có thể giải được dễ dàng và chính xác nhờ vào sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi CASIO.

Tương tự như vậy, việc biện luận cũng thế, nhiều bạn cho là khó nhưng thực sự nó cũng đơn giản như việc giải mà thôi. Chỉ có một lưu ý là khi hệ số đứng trước a là tham số thì cần xét hai trường hợp là bằng không và khác không. Vậy thôi !

Ngoài ra, nếu bạn là sinh viên sư phạm, hoặc là giáo viên thì bạn có thể sử dụng thêm công cụ Slider của phần mềm GeoGebra để tạo mô hình minh họa trực quan tập nghiệm của phương trình để học sinh tiện theo dõi hơn, cũng như sẽ dễ hiểu hơn.

Hi vọng là bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !