Cách giải bất phương trình Logarit là chủ đề luôn được các em học sinh THPT quan tâm tìm hiểu. Để giúp các bạn vượt qua mọi bất phương trình Logarit khó nhằn, Vuihoc xin chia sẻ các cách giải bất phương trình Logarit kèm ví dụ cực dễ hiểu và nhanh chóng.
Để tìm được cách giải bất phương trình Logarit nhanh và chính xác nhất trước tiên cần nắm được kiến thức tổng quát về bất phương trình Logarit. Xem tại bảng dưới đây nhé!
Tổng quan về bất phương trình logarit
1. Ôn lại lý thuyết bất phương trình Logarit
1.1. Bất phương trình Logarit cơ bản
Bất phương trình Logarit cơ bản có dạng:
$log_{a}x> b; log_{a}x\geqslant b; log_{a}x< b, log_{a}x\leqslant b [a> 0, a\neq 1, x> 0]$
Các dạng bài tập về bất phương trình Logarit cơ bản thường gặp là:
- Dạng bất phương trình $log_{a}f[x]< log_{a}g[x]$
Để giải bất phương trình $log_{a}f[x]\leqslant log_{a}g[x]$ ta thực hiện các phép đổi sau
$log_{a}f[x]\leqslant log_{a}g[x]$ tương đương với:
$\left\{\begin{matrix}a> 1 & & \\ 0< f[x]< g[x] & & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a> 1 & & \\ 0< f[x]< < g[x] & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}0< < a\neq 1 & & & \\f[x]> 0& & & \\ g[x]> 0]& & & \\ [a-1][f[x]- g[x]]< 0& & & \end{matrix}\right.$
- Dạng bất phương trình $log_{a}f[x]< b$
Cách giải bất phương trình Logarit dạng $log_{a}f[x]< b$ ta thực hiện các phép đổi sau
$log_{a}f[x]< b$ khi và chỉ khi: $log_{a}f[x]< b\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a>1 & & \\ 0 b$ ta thực hiện các phép đổi sau:
$log_{a}f[x]> b$ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix}a> 1 & & \\ f[x]>a ^{b} & & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}0< a< 1& & \\ 0< f[x]< a ^{b} & & \end{matrix}\right.$
2. Các cách giải bất phương trình Logarit cơ bản
2.1. Giải bất phương trình Logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số
- Công thức để biến đổi bất phương trình Logarit cơ bản về cùng cơ số là:
$log_{a}f[x]> log_{a}g[x] [a> 0; f[x]> 0; g[x]> 0]$
$log_{a}f[x]> b \Leftrightarrow f[x] > {a^b}[a > 1;f[x] > 0]$
- Đặc biệt: Đối với các phương trình hoặc bất phương trình Logarit, ta luôn phải nhớ đặt điều kiện để các biểu thức $log_{a}f[x]$ có nghĩa. Cụ thể là f[x]>0.
Ví dụ 1: ${\log _3}[2x + 1] > {\log _3}5$
Điều kiện: $2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - {\textstyle{1 \over 2}}$
Ta có: ${\log _3}[2x + 1] > {\log _3}5 \Leftrightarrow [2x + 1] > 5 \Leftrightarrow 2x > 4 \Leftrightarrow x > 2$
$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 > 0$
$\Leftrightarrow x < - 3$
2.2. Giải bất phương trình Logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ
- Với phương trình hoặc bất phương trình có dạng biểu thức ${\log _a}f[x]$ thì ta có thể đặt ẩn phụ theo dạng $t = {\log _a}f[x]$
- Luôn phải đặt điều kiện để biểu thức ${\log _a}f[x]$ có nghĩa là $f[x]>0.$
- Lưu ý khi giải bất phương trình Logarit ta cần chú ý đặc điểm của bất phương trình đang xét [có chứa dấu căn hay không, có ẩn ở mẫu hay không…] để đưa ra cách giải bất phương trình Logarit và đưa ra điều kiện phù hợp.
Ví dụ 1: $4{\log _9}x + {\log _x}3 - 3 > 0$
Điều kiện: $0 < x \ne 1$
Bất phương trình $\Leftrightarrow 2{\log _3}x + {\textstyle{1 \over {{{\log }_3}x}}} - 3 > 0$
Đặt $t=log_{3}x$
Bất phương trình $2t + {\textstyle{1 \over t}} - 3 > 0 \Leftrightarrow {\textstyle{{2{t^2} - 3t + 1} \over t}} > 0$
Tương đương với: $t > 1$ hoặc $0 < t < {\textstyle{1 \over 2}}$
$ \Leftrightarrow log _3x > 1$ hoặc $0 < log_{3}x < \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow $ $x>3$ [TMĐK] hoặc $1-1$
Bất phương trình: $x + {\textstyle{1 \over 2}}{\log _2}[x + 1] + {\textstyle{1 \over 2}}{\log _3}[x + 9] > 1$
$\Leftrightarrow g[x] = 2x + {\log _2}[x + 1] + {\log _3}[x + 9] > 2$
$g'[x] = 2 + {\textstyle{1 \over {[x + 1]In2}}} + {\textstyle{1 \over {[x + 9]In3}}} > 0$
$\Leftrightarrow g[x]$ đồng biến trên $[1;+\infty ]$
3. Các cách giải bất phương trình Logarit chứa tham số
3.1. Cách giải bất phương trình Logarit cơ bản bằng phương pháp dùng dấu tam thức bậc hai
Xét hàm số $f[x]=ax^{2}+ bx+ c$ có 2 nghiệm phân biệt là $x_{1} và x_{2}$
- Ta có $\Delta =b^{2}- 4ac$ và định lý Vi-ét $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2}= -\frac{b}{a}& & \\ x_{1}x^{2}=\frac{c}{a}& & \end{matrix}\right.$
- Phương trình f[x]=0 có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta > 0 & & \\ x_{1}+ x_{2}> 0& & \\ x_{1}x^{2}> 0& & \end{matrix}\right.$
- Phương trình f[x] >0 có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac< 0$
- Bất phương trình f[x]>0; $\forall x\in R\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a> 0 & & \\ \Delta < 0 & & \end{matrix}\right.$
- Bất phương trình f[x] 0,\forall m\in R$
$f[t]= t^{2}-2mt-1=0$ có ac \frac{1}{2}\Leftrightarrow m> -\frac{3}{4}$
3.3. Cách giải bất phương trình Logarit cơ bản bằng phương pháp xét hàm số
- Đưa bất phương trình về dạng f[u]>f[v] với f[t] là hàm số đơn điệu và đại diện cho cả 2 vế của bất phương trình.
- Khi đó, $f[u]>f[v]\Leftrightarrow u> v$
Ví dụ:
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình $log_{2}[\frac{3x^{2}+m+1}{2x^{2}-x+1}]-1< x^{2}-5x+1-m$ có tập nghiệm là R
A.3
B.2
C.1
D.0
Lời giải
Điều kiện: $3x^{2}+3x+m+1> 0 $
Ta có:
$log_{2}[\frac{3x^{2}+m+1}{2x^{2}-x+1}]-1< x^{2}-5x+1-m $
$\Leftrightarrow log_{2}[3x^{2}-3x+m+1]+log_{2}[4x^{2}-2x+2]< [4x^{2}-2x+2]-[3x^{2}-3x+m+1]$
$\Leftrightarrow log_{2}[4x^{2}-2x+2]+[4x^{2}-2x+2]> log_{2} [3x^{2}-3x+m+1]$ [1]
Xét hàm số $f[t]=t+log_{2}t $ trên $[0;+\infty ]$, ta có $f'[t]=1+\frac{1}{t.In2}> 0$
Do đó hàm số f[t] đồng biến trên $[0;+\infty ]$
Suy ra [1] $\Leftrightarrow f[4x^{2}-2x+2]> f[3x^{2}-3x+m+1]$
$\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+m+1> 3x^{2}-3x+m+1\Leftrightarrow x^{5}-5x-m+1> 0$
Bất phương trình có tập nghiệm là Rkhi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix}x^{5}-5x-m+1> 0 [1.1]& & \\ 3x^{2}-3x+m+1>0 [1.2]& & \end{matrix}\right.\forall x\in R \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta _{1}< 0& & \\ \Delta _{2}< 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4m+21