Đường cạnh là gì

Nội dung Text: CHƯƠNG 3 - HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

1. CHƯƠNG 3: HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU : Sau khi học xong bài này, sinh viên có khả năng: * Xây dựng được hình biểu diễn của điểm. * Tìm được hình chiếu thứ ba của một điểm khi biết hai hình chiếu thẳng góc của điểm đó. * Xây dựng được hình biểu diễn của đường thẳng. * Xây dựng được hình biểu diễn của mặt phẳng. NỘI DUNG [6 tiết] 3.1. Hình chiếu của điểm 3.1.1. Đồ thức của một điểm 3.1.1.1. Đồ thức của một điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu 3.1.1.2. Đồ thức của một điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu 3.1.2. Phương pháp tìm hình chiếu thứ ba 3.2. Hình chiếu của đường thẳng 3.2.1. Đồ thức của một đường thẳng 3.2.2. Các vị trí đặc biệt của đường thẳng 3.2.2.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu 3.2.2.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 3.3. Hình chiếu của mặt phẳng 3.3.1. Đồ thức của mặt phẳng 3.3.2. Các mặt phẳng đặc biệt 3.3.2.1. Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 3.3.2.2. Mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu 39
2. CHƯƠNG 3: HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG Hình học họa hình là môn học nghiên cứu các phương pháp biểu diễn không gian lên mặt phẳng, nói khác đi nó nghiên cứu cách xây dựng các mô hình phẳng của không gian. Một trong các công cụ để xây dựng mô hình nói trên là phép chiếu. Góp phần to lớn vào lý thuyết biểu diễn có : - Leonardo da Vinci, nhà họa sĩ thiên tài Ý và nhà bác học của thời kỳ Phục hưng. - Girard Dezarg, nhà hình học và kiến trúc sư Pháp, người đã đặt những luận cứ khoa học đầu tiên về phép chiếu phối cảnh. - René Décard, nhà toán học Pháp thế kỷ 17 đã đề xướng hệ toạ độ thẳng góc. Gaspard Monje, kỹ sư người Pháp, với công trình “ Hình học họa hình” được công bố vào năm 1798, công trình đó là cơ sở cho phương pháp vẽ chiếu được ứng dụng cho đến nay. *Khái niệm về các phép chiếu: Giả thiết trong không gian, ta lấy một mặt phẳng P và một điểm S ở ngoài mặt phẳng đó. Từ một điểm A bất kì trong không gian dựng đường thẳng SA, đường này cắt mặt phẳng P tại một điểm A'. S A A' Hình 3.1 P Như vậy ta đã thực hiện một phép chiếu và gọi mặt phẳng P là mặt phẳng hình chiếu, đường thẳng SA là tia chiếu và điểm A' là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng P. *1] Phép chiếu xuyên tâm: Là phép chiếu mà các tia chiếu xuất phát từ một điểm [cố định]. Điểm O cố định: tâm chiếu. A', B', C': hình chiếu xuyên tâm của hình ABC trên mặt phẳng hình chiếu P. O B A C B' A' 40 C' P
3. Hình 3.2 Ví dụ : Trong thực tế ta thường thấy những hiện tượng giống như các phép chiếu. Ánh sáng của một ngọn đèn chiếu đồ vật lên mặt đất giống như phép chiếu xuyên tâm với một ngọn đèn là tâm chiếu, mặt đất là mặt phẳng chiếu, bóng đồ vật trên mặt đất là hình chiếu xuyên tâm của đồ vật đó [Hình 3.2 a]. Ứng dụng: Phép chiếu xuyên tâm được dùng khi vẽ hình chiếu phối cảnh. Phép chiếu xuyên tâm được dùng trong vẽ mỹ thuật, trong các bản vẽ xây dựng, kiến trúc. Phép chiếu xuyên tâm cho ta những hình vẽ của vật thể giống như những hình ảnh khi ta nhìn vật thể đó. *2] Phép chiếu song song: Là phép chiếu mà nếu tất cả các tia chiếu không đi qua một điểm cố định mà song song với một đường thẳng cố định l [phương chiếu]. A'B'C'D': hình chiếu song song của hình B C ABCD trên mặt phẳng hình chiếu P. l l: phương chiếu D Dễ dàng thấy rằng phép chiếu song song là A trường hợp riêng của phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S ở xa vô tận. Khi đó tâm chiếu C' B' S∞ được xác định bởi phương chiếu l. Ví dụ : Ánh sáng của mặt trời D' A' chiếu đồ vật lên mặt đất giống P như phép chiếu song song. Các tia sáng mặt trời là những tia chiếu song song, mặt Hình 3.3 đất là mặt phẳng chiếu và bóng đồ vật trên mặt đất là hình chiếu song song của đồ vật đó [hình 3.3]. Ứng dụng: Trong vẽ kỹ thuật thường dùng phép chiếu song song vì phép chiếu này cho ta tính trực quan và dễ vẽ so với phép chiếu xuyên tâm.  *3] Phương pháp các hình chiếu vuông góc: Trong phép chiếu song song nếu phương chiếu l vuông góc với mặt phẳng chiếu, ta gọi đó là phép chiếu vuông góc. P1 P3 P2 41 Hình 3.4 : Hình chiếu vật thể trên các mặt phẳng hình chiếu
4. Ứng dụng: Phép chiếu vuông góc thường được sử dụng rộng rãi trong các bản vẽ kỹ thuật nói chung và các bản vẽ cơ khí nói riêng. Để diễn tả một cách chính xác hình dạng và kích thước của vật thể, trên các bản vẽ kỹ thuật, người ta dùng phép chiếu vuông góc. Góc để chiếu vật thể lên các mặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau, sau đó gập các mặt phẳng hình chiếu cho trùng với mặt phẳng bản vẽ, sẽ được các hình chiếu vuông góc của một vật thể. Đó chính là phương pháp các hình chiếu vuông góc. 3.1. HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM 3.1.1. Đồ thức của một điểm 3.1.1.1. Đồ thức của một điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a. Hệ thống chiếu P1 A Phương pháp hai hình chiếu thẳng góc được dùng rộng rãi trong kỹ thuật X nhất là trong các bản vẽ cơ khí và xây dựng. Phương pháp này do nhà toán học P2 người Pháp Gaspard Monje [1746-1818] đề ra nên còn gọi là phương pháp Monje. Trong không gian lấy hai mặt phẳng thẳng góc P1 và P2 cắt nhau theo đường thẳng x. Thông thường lấy P1 là mặt phẳng thẳng đứng và P2 là mặt phẳng nằm ngang. Mặt phẳng P1 được chọn làm mặt phẳng hình vẽ, tức là mặt phẳng trên đó sẽ vẽ hình biểu diễn của không gian. Gọi G là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện hợp bởi P1 , P2 và s1 , s2 , s3 là những hướng chiếu tương ứng vuông góc với P1 , P2 và G [Hình 3.1] Hình 3.1 Để biểu diễn một điểm A bất kỳ ta làm như sau [hình 3.1]: - Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P1, được hình chiếu A1. - Chiếu thẳng góc điểm A lên mặt phẳng P2, được hình chiếu A’2. - Chiếu điểm A’2 lên mặt phẳng P1 theo hướng chiếu vuông góc với mặt phẳng phân giác G, được hình chiếu A2. Cặp điểm A1 , A2 gọi là hình biểu diễn của điểm A. Dễ dàng thấy rằng hai điểm A1 , A2 nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x vì mặt phẳng A A 1A2 là mặt phẳng vuông góc với x. Mỗi điểm A trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A1 , A2 cùng nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x. Ngược lại mỗi cặp điểm A1 , A2 42
5. bất kỳ cùng nằm trên một đường thẳng thẳng góc với x đều là hình biểu diễn của một điểm A xác định trong không gian. Ta dùng các tên gọi như sau : P1 : mặt phẳng hình chiếu đứng P2 : mặt phẳng hình chiếu bằng x : trục hình chiếu A1 : hình chiếu đứng của điểm A A2 : hình chiếu bằng của điểm A Đường thẳng nối A1 , A2 gọi là đường gióng của điểm A. Cặp điểm A1 , A2 gọi là hình biểu diễn hay là đồ thức của điểm A. Vì mặt phẳng P1 được chọn làm mặt phẳng hình vẽ nên ta có hình biểu diễn của điểm A như trên hình 3.2. Hình 3.2 Hai mặt phẳng P 1 và P 2 chia không gian thành 4 góc nhị diện vuông : - Góc 1 ở trước P 1 và trên P 2. - Góc 2 ở sau P 1 và trên P 2. - Góc 3 ở sau P 1 và dưới P 2. - Góc 4 ở trước P 1 và dưới P 2. Mặt phẳng phân giác của góc nhị diện 1 và 3 gọi là mặt phẳng phân giác 1. Mặt phẳng phân giác của góc nhị diện 2 và 4 gọi là mặt phẳng phân giác 2. Hình 3.3 thể hiện hình ảnh của hệ thống chiếu nhìn theo hướng a // x. 43
6. Hình 3.3 Để vẽ hai hình chiếu của điểm A trên cùng một mặt phẳng, người ta giữ P1 cố định, cho P2 quay quanh x một góc 900 để P2 trùng với P1, khi đó A1 và A2 sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với trục x. Vậy một điểm A bất kỳ trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A1 , A2 nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với trục x. Ngược lại một điểm trong không gian hoàn toàn được xác định khi biết hai hình chiếu của nó trên hai mặt phẳng hình chiếu. Thực vậy, vì từ hai điểm A1, A2 [A1A2 vuông góc với trục x], bằng cách thực hiện ngược lại các thao tác trên, sẽ xác định được một điểm A trong không gian. Cặp hình chiếu A1 , A2 nằm trên đường vuông góc với trục x gọi là hình biểu diễn hay đồ thức của điểm A [hình 3.4]. Đồ thức có các tính chất sau: • Đường thẳng A1A2 vuông góc với trục x [A1A2⊥ x] • Từ 2 hình chiếu vuông góc A1, A2 của điểm A trên đồ thức thì vị trí của điểm A hoàn toàn được xác định trong không gian. P1 A1 A1 A AX Ax x A2 P2 Hình 3.4 A2 Kết luận : Một điểm A bất kỳ trong không gian được biểu diễn bằng một cặp điểm A1 , A2 nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu. Ngược lại một cặp điểm A1 , A2 thuộc một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu biểu diễn một điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy các điểm trong không gian và hình biểu diễn thẳng góc của chúng có sự tương đương hình học. Quan sát hình 3.4 ta có : A1 Ax = AA2 , A2 Ax = AA1 AA2 là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P2 , AA1 là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P1 . Vì xem P1 , P2 như các mặt phẳng chuẩn nên người ta gọi A1Ax là độ cao và A2Ax là độ xa của điểm A. b. Độ cao của một điểm : 44
7. Độ cao của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu bằng. Trên hình biểu diễn, đó là khoảng cách từ hình chiếu đứng của điểm tới trục hình chiếu. c. Độ xa của một điểm : Độ xa của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng. Trên hình biểu diễn, đó là khoảng cách từ hình chiếu bằng của điểm tới trục hình chiếu. Quy ước : - Độ cao của một điểm là dương, bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía trên, thuộc hay ở phía dưới mặt phẳng P2 . - Độ xa của một điểm là dương, bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía trước, thuộc hay ở phía sau mặt phẳng P1 . Hình 3.5 d. Hình biểu diễn thẳng góc của một số điểm có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu Trên hình 3.6 là hình biểu diễn thẳng góc của các điểm có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu. - Điểm A ∈ P1 : A1 ≡ A A2 ∈ x [độ xa của A bằng 0]. - Điểm B ∈ P2 : B1 ∈ x [độ cao của B bằng 0] B2 ≡ B - Điểm C ∈ x : [C1 ≡ C2] ∈ x. Độ cao và độ xa của C đều bằng 0. A1 ≡ A E1 ≡ E2 D1 A2 B1 C1 ≡ C2 x 45
8. B ≡ B2 D2 Hình 3.6 Điểm D ∈ mặt phẳng phân giác của các góc tư I [tức là mặt phẳng đi qua - trục x và chia đôi góc tư đó]. Độ cao và độ xa của D bằng nhau về trị tuyệt đối và cùng mang dấu dương nên hai hình chiếu của D đối xứng nhau qua trục x. Điểm E ∈ mặt phẳng phân giác của các góc tư II [tức là mặt phẳng đi qua - trục x và chia đôi góc tư đó]. Độ cao và độ xa của E bằng nhau về vị trí tuyệt đối nhưng khác dấu, hai hình chiếu của E trùng nhau. 3.1.1.2. Đồ thức của một điểm trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu Trong không gian lấy 3 mặt phẳng P1, P2, P3 vuông góc với nhau từng đôi một làm 3 mặt phẳng hình chiếu [hình 3.7]. z P1: là mặt phẳng hình chiếu đứng P2: là mặt phẳng hình chiếu bằng P1 A P3: là mặt phẳng hình chiếu cạnh Ba trục chiếu: ox, oy, oz là giao tuyến của từng cặp mặt phẳng hình chiếu. P3 x O Lấy 1 điểm A tuỳ ý trong không gian, chiếu vuông góc điểm A lên 3 mặt phẳng hình chiếu sẽ có A1 trên P1, A2 trên P2, A3 trên P3 P2 [hình 3.8]. y Hình 3.7 z z P1 A1 A Az Az A1 A3 A3 Ax P3 x O Ay Ax O Ay x y A2 P2 45° y A2 Ay a] b] Hình 3.8 A1: gọi là hình chiếu đứng của điểm A. A2: gọi là hình chiếu bằng của điểm A. A3: gọi là hình chiếu cạnh của điểm A. 46
9. - Để vẽ 3 hình chiếu của điểm A trên cùng một mặt phẳng, người ta giữ P1 cố định, cho P2 và P3 quay một góc 900 quanh hai trục Ox và Oy, để P2 và P3 trùng với P1. - Ba điểm A1, A2, A3 là 3 hình chiếu của một điểm A trên 3 mặt phẳng hình chiếu hay là đồ thức của điểm A trên 3 mặt phẳng hình chiếu. Đồ thức có các tính chất sau: • Đường thẳng A1A2 ⊥ Ox • A1A3 ⊥ Oz • Khoảng cách từ A2 đến trục Ox bằng khoảng cách từ A3 đến trục Oz và bằng khoảng cách từ điểm A đến P1 [A2AX = A3AZ]. Hình 3.8c Điểm A3 gọi là hình chiếu cạnh của điểm A. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 là AA3 và gọi là độ xa cạnh của điểm A. Quy ước : Độ xa cạnh của một điểm là dương, bằng 0 hay âm tùy theo điểm ấy ở phía trái, thuộc hay ở phía phải của mặt phẳng P3 . Nhận xét : - Trục y có hai vị trí : trùng với trục z do gập mặt phẳng P2 trùng với mặt phẳng P1 và trùng với trục x do gập mặt phẳng P3 trùng với mặt phẳng P1 . - Hình chiếu cạnh của một điểm thể hiện đồng thời độ cao và độ xa của điểm đó. - Khi biết hai trong ba hình chiếu thẳng góc của một điểm ta có thể xác định được hình chiếu còn lại của điểm đó. 47
10. 3.1.2. Phương pháp tìm hình chiếu thứ ba 3.1.2.1. Bài toán Cho hai hình chiếu [A1 , A2] của điểm A. Vẽ hình chiếu cạnh của điểm đó [ Hình 3.9a]. Ap dụng tính chất của đồ thức của một điểm A trong hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu thẳng góc, ta tìm hình chiếu thứ ba A3 của điểm như sau : Qua A1 vẽ đường dóng A1 Az ⊥ z. Trên đường dóng này kể từ điểm Az đặt về phía phải của trục z một đoạn Az A3 = Ax A2 . Trên hình 3.9b cũng cho thấy cách xác định hình chiếu cạnh A3 của điểm A bằng cách dùng đường phụ trợ nghiêng góc 45o ở góc thứ tư của hệ trục tọa độ. - Nối A1 với A2 . - Từ A2 kẻ đường Hình 3.9a gặp đường ngang nghiêng 45o dựng tiếp đường gióng thẳng đứng [theo chiều mũi tên trên hình vẽ]. - Từ A 1 gióng đường nằm ngang gặp đường thẳng đứng gióng từ đường nghiêng 45o tại A3. Vậy điểm A3 ta đã tìm được. Ngoài ra ta cũng Ví dụ 1 : Biết hình có thể dùng thước và compa để tìm hình chiếu chiếu đứng và hình chiếu thứ ba của điểm khi đã bằng của điểm A. Hãy vẽ biết được hai hình chiếu Hình 3.9b của điểm đó. hình chiếu cạnh của điểm đó [ Hình 3.10]. 48
11. Hình 3.10a Hình 3.10b Cách vẽ như sau : - Vẽ đường gióng ngang qua A1 . - Vẽ đường gióng ngang qua A2 , xác định giao điểm Ay ∈ yz . - Quay cung tròn tâm O, bán kính OAy với chiều ngược chiều kim đồng hồ để xác định điểm Ay ∈ yx [hoặc vẽ đường nghiêng 45o so với trục yz]. - Vẽ qua điểm Ay ∈ yx đường gióng đứng và tìm giao điểm A3 của nó với đưòng gióng ngang qua A1. Ta sẽ gọi bài toán trên là bài T [[1,2] → 3 ] [hình 3.10a]. Ví dụ 2 : Biết hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của điểm A. Hãy vẽ hình chiếu cạnh của điểm đó [ Hình 3.10b]. Cách vẽ như sau : - Vẽ đường gióng đứng qua A1 . - Vẽ đường gióng đứng qua A3 , xác định giao điểm Ay ∈ yx . - Quay cung tròn tâm O, bán kính OAy theo chiều kim đồng hồ để xác định điểm Ay ∈ yz [hoặc vẽ đường nghiêng 45o so với trục yx]. - Vẽ qua điểm Ay ∈ yz đường gióng ngang và tìm giao điểm A2 của nó với đưòng gióng đứng qua A1. Ta sẽ gọi bài toán trên là bài T [[1,3] → 2 ] [hình 3.10b]. 3.1.2.2. Tọa độ của điểm Một điểm A trong không gian bao giờ cũng được xác định bằng ba tọa độ A[x,y,z], như vậy A1[x,z], A2[x,y], A3[y,z]. Ví dụ 3 : Cho A[5,3,7]. Hãy vẽ ba hình chiếu của điểm A [hình 3.11] Vậy A1[5,7], A2[5,3], A3[3,7]. Cách vẽ : Kẻ hai đường trục vuông góc nhau, lấy tỷ lệ xích trên các trục tọa độ. Từ trục Ox lấy điểm 5 gióng lên và từ trục Oz lấy điểm 7 gióng sang ta có điểm A1. Tương tự như vậy ta tìm được điểm A2 và A3. 49
12. Hình 3.11 Ví dụ 4 : Cho A[6,-2,8]. Tìm ba hình chiếu của điểm A [hình 3.12]. Điểm A1 [6,8], A2 [6,-2], A3 [-2,8]. Cách vẽ : Kẻ hai đường trục vuông góc nhau, lấy tỷ lệ xích trên các trục tọa độ. . Hình 3.12 50
13. Từ trục Ox lấy điểm 6 gióng lên và từ trục Oz lấy điểm 8 gióng sang ta có điểm A1. Tương tự như vậy ta tìm được điểm A2 và A3 3.1. HÌNH CHIẾU CỦA ĐƯỜNG THẲNG 3.2.1. Đồ thức của một đường thẳng Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm, do đó muốn biểu diễn một đường thẳng chỉ cần biểu diễn hai điểm bất kỳ của đường thẳng đó [hình 3.13]. 3.2.1.1. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng bất kỳ trên hai mặt phẳng hình chiếu Đường thẳng bất kỳ là đường thẳng không song song và cũng không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu nào. AB là đường thẳng bất kỳ trong không gian. Dùng phép chiếu vuông góc chiếu điểm A,B lần lượt lên P1,P2 và biểu diễn đồ thức của một đường thẳng bất kỳ [ Hình 3.13]. Hình 3.13 3.2.1.2. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng bất kỳ trên ba mặt phẳng hình chiếu AB là đường thẳng bất kỳ trong không gian. Dùng phép chiếu vuông góc chiếu điểm A,B lần lượt lên P1,P2,P3 và biểu diễn đồ thức của một đường thẳng bất kỳ [Hình 3.14]. Trên đồ thức: - Đường thẳng A1 B1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng AB. - Đường thẳng A2B2 gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng AB. - Đường thẳng A3B3 gọi là hình chiếu cạnh của đường thẳng AB 51
14. P1 z B3 B1 B1 B3 B A3 A1 P3 A1 0 x B2 B2 A A3 A2 A2 y P2 Hình 3.14 . 3.2.2. Các vị trí đặc biệt của đường thẳng 3.2.2.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu 3.3.1.1. Đường mặt Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 [ Hình 3.15]. - Dấu hiệu đặc trưng của đường mặt là hình chiếu bằng của nó song song với trục x [A2B2 // x]. - Hình chiếu đứng của đường mặt là một đường thẳng nghiêng với trục x góc đúng bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng hình chiếu bằng P2. - Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường mặt thì A1B1 = AB. Hình 3.15 3.3.1.2. Đường bằng Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 [ Hình 3.16]. - Dấu hiệu đặc trưng của đường bằng là hình chiếu đứng của nó song song với trục x [A1B1 // x]. - Hình chiếu bằng của đường bằng là một đường thẳng nghiêng với trục x góc đúng bằng góc nghiêng của nó với mặt phẳng hình chiếu đứng P1. - Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng thì A2B2 = AB. Hình 3.16 52
15. 3.3.1.3. Đường cạnh Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 [hình 3.17]. - Hình chiếu đứng A1B1 và hình chiếu bằng A2 B2 của đường cạnh cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với trục x . - Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường cạnh thì A3B3 = AB. Hình 3.17 3.3.2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 3.3.2.1. Đường thẳng chiếu đứng: Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 [hình 3.18]. - Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm [A1 ≡ B1]. - Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng vuông góc với trục x. - Đường thẳng chiếu đứng cũng là đường bằng nên nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng này thì A2B2 = AB. - Đường thẳng chiếu đứng vừa // P2 ; vừa // P3 nên A2B2 = AB = A3B3 . Hình 3.18 53
16. 3.3.3.2. Đường thẳng chiếu bằng: Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 [hình 3.19]. - Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng suy biến thành một điểm [A2 ≡ B2]. - Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng vuông góc với trục x. - Đường thẳng chiếu bằng cũng là đường mặt nên nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng này thì A1B1 = AB. - Đường thẳng chiếu bằng vừa // P1 ; vừa // P3 nên A1B1 = AB = A3B3 . Hình 3.19 3.3.3.2. Đường thẳng chiếu cạnh: Đường thẳng chiếu cạnh là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 [Hình 3.20]. - Hình chiếu cạnh của đường thẳng chiếu cạnh suy biến thành 1 điểm [A3 ≡ B3 ] . - Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu cạnh song song với trục x. - Nếu một đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng chiếu cạnh thì A1B1 = A2B2 = AB. Hình 3.20 54
17. Đồ thức của các đường thẳng đặc biệt được tóm tắt ở bảng 3-1 và 3-2 như sau : Bảng 3-1 : Hình chiếu của đường thẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu Vị Hình chiếu Tính chất trí Hình không gian của đường thẳng AB // A1B1 = AB B1 B1 B3 [P1] A2B2 // Ox A1 A1 B3 B A3B3 // Oz A3 x A O A3 B2 A2 B2 A2 AB // A1B1 // Ox A3 B3 A1 B1 [P2] A2B2 = AB A1 B1 A3B3 // Oy A3 A x O B B3 O A2 A2 B2 B2 AB // A1B1 // Oz A3 A1 [P3] A2B2 // Oy A3B3 = AB B1 A1 B3 A A3 B1 x O O B3 A2 A2 B B2 B2 55
18. Bảng 3-2 : Hình chiếu của đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng hình chiếu Vị trí của Hình không gian Hình chiếu Tính chất đường thẳng AB ⊥ [P1] A1 ≡ B1 A3 B3 A1= B1 A2B2 ⊥ Ox A1= B1 A2B2 = A3B3 = A A3 AB. B x B3 A3B3 ⊥ Oz O A2 O A2 B2 B2 AB ⊥ [P2] A2 ≡ B2 A3 A1 A1B1 ⊥ Ox A1 A1B1 = A3B3 = A A3 B1 B3 AB. x A3B3 // Oz B1 O O B B3 A2 = B2 A2 = B2 AB ⊥ [P3] A3 ≡ B3 B1 A3 = B3 A1 A1B1//A2B2 //Ox B1 A1 A1B1 = A2B2 = A3 = B3 A B AB. x O O B2 A2 B2 A2 *SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG *1. Sự liên thuộc của điểm và đường thẳng bất kỳ Phép chiếu bảo tồn sự liên thuộc của điểm và đường thẳng nên ta có định lý sau : Định lý : Điều kiện ắt có và đủ để điểm A thuộc đường thẳng bất kỳ a là các hình chiếu của A thuộc các hình chiếu cùng tên của a [hình 3.21]. A1 ∈ a1 , A2 ∈ a2 56
19. *2. Sự liên thuộc của điểm và đường thẳng cạnh Dễ dàng thấy rằng định lý trên cũng đúng cho trường hợp đường thẳng là đường thẳng chiếu đứng hay chiếu bằng. Riêng đối với đường cạnh, vấn đề có phức tạp hơn. Thực vậy, nếu AB là một đường cạnh và C là một điểm của AB thì C1 ∈ A1B1 , C2 ∈ A2B2 . Nhưng ngược lại không đúng. Phép chiếu thẳng góc bảo tồn tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng nên ta có định lý sau : Hình 3.21 Định lý : Điều kiện ắt có và đủ để một điểm I thuộc đường cạnh AB là tỷ số đơn của 3 điểm hình chiếu đứng của A, B, I bằng tỷ số đơn của 3 điểm hình chiếu bằng của chúng. Trên hình 3.22 biểu diễn sự liên thuộc của điểm I và đường cạnh AB, ở đó ta thấy rằng : I1 ∈ A1B1 , I2 ∈ A2B2 , I3 ∈ A3B3 Ngoài ra : [A1B1I1] = [A2B2I2] = [A3B3I3] Hình 3.22 *VẾT CỦA ĐƯỜNG THẲNG *1. Khái niệm Bài toán 1 : Cho mặt phẳng chiếu bằng ABC và một đường thẳng d. Xác định giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ABC [Hình 3.23]. Giải : Gọi I là giao điểm của d và ABC. Vì ABC là mặt phẳng chiếu bằng nên mọi điểm thuộc ABC đều có hình chiếu bằngthuộc đường thẳng A2B2C2. Do đó : I2 ∈ A2B2C2 Đồng thời vì I2 ∈ d2 nên I2 = d2 ∩ A2B2C2 Từ I2 suy ra I1 ∈ d1 . 57
20. Điểm I [I1 , I2 ] là giao điểm phải tìm. Nếu ABC là mặt phẳng chiếu đứng, cách lập luận hoàn toàn tương tự. Trên hình 3.24 vẽ giao điểm K của đường thẳng a với mặt phẳng chiếu đứng BCD. Hình 3.23 Định nghĩa : Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu. *2. Xác định vết của đường thẳng Bài toán 2 : Cho đường thẳng AB. Vẽ giao điểm của đường thẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu [Hình 3.25]. Giải : Mặt phẳng hình chiếu đứng P1 cũng là một mặt phẳng chiếu bằng. a] Hình chiếu bằng của nó chính là trục x. Gọi U là giao điểm của AB với P1 . Ta có U2 = A2 B2 ∩ x. Từ U2 suy ra U1 ∈ A1 B1. Điểm U[U1, U2] còn gọi là vết đứng của đường thẳng AB. Mặt phẳng hình chiếu bằng P2 cũng là một mặt phẳng chiếu đứng. b] Hình chiếu đứng của nó chính là trục x. Gọi R là giao điểm của AB với P2 . Ta có R1 = A1 B1 ∩ x. Từ R1 suy ra R2 ∈ A2 B2. Điểm R[R1, R2] còn gọi là vết bằng của đường thẳng AB. Hình 3.24 Hình 3.25 58