Đề bài - bài 16 trang 56 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Trong số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kínhRcho trước, hãy xác định hình chóp có thể tích lớn nhất. Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều.

Lời giải chi tiết

Dễ thấy \(R = {{S{A^2}} \over {2SH}}\), từ đó nếu kí hiệu cạnh đáy và chiều cao của hình chóp lần lượt làavàhthì

\(\eqalign{ & R = {{{a^2} + 3{h^2}} \over {6h}}\;\;\;\;\;\;\;(1) \cr & {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h\;\;\;(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\eqalign{ {V_{S.ABC}} &= {{\sqrt 3 } \over {12}}h\left( {6Rh - 3{h^2}} \right) \cr & = {{\sqrt 3 } \over {12}}h.3h\left( {2R - h} \right) \cr & = {{\sqrt 3 } \over 4}h.h\left( {2R - h} \right). \cr} \)

Mặt khách < 2R nên \({V_{S.ABC}}\) lớn nhất khi và chỉ khi\(h.h.(2R-h)\)lớn nhất.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(h = {{4R} \over 3}\). Khi đó

\({a^2} = 3h(2R - h) = 4R(2R - {{4R} \over 3}) = {{8{R^2}} \over 3},\) tức là \(a = {{2R\sqrt 6 } \over 3}.\)

Dễ thấy trong trường hợp này,SABClà tứ diện đều có cạnh bằng \({{2R\sqrt 6 } \over 3}.\)

\( \bullet \) Mở rộng bài toán cho hình chóp n- giác đều cạnha.

Ta cũng có \(R = {{S{A^2}} \over {2SH}}\), trong đóSAlà một cạnh bên và SH là đường cao của hình chóp, từ đó \(R = {{{a^2} + 4{h^2}{{\sin }^2}{\pi \over n}} \over {8h{{\sin }^2}{\pi \over n}}},\) suy ra \({a^2} = 4h(2R - h){\sin ^2}{\pi \over n}\)

GọiSlà diện tích đáy của hình chóp n-giác đều cạnh a thì \(S = {{n{a^2}} \over 4}\cot {\pi \over n}.\)

Khi ấy, thể tíchVcủa khối chóp bằng

\(\eqalign{ V &= {{n{a^2}} \over {12}}\cot {\pi \over n}.h \cr & = {n \over {12}}\cot {\pi \over n}.h.4hsi{n^2}{\pi \over n}.(2R - h) \cr & = {n \over 3}\cot {\pi \over n}si{n^2}{\pi \over n}.h.h(2R - h) \cr & = {n \over 6}\cot {\pi \over n}si{n^2}{\pi \over n}.h.h(4R - 2h). \cr} \)

VậyVlớn nhất khi và chỉ khi \(h = {{4R} \over 3}\) và từ đó

\({a^2} = {\sin ^2}{\pi \over n}.{{16R} \over 3}(2R - {{4R} \over 3}) = {\sin ^2}{\pi \over n}.{{32{R^2}} \over 9},\)

Tức là \(a = {{4R\sqrt 2 } \over 3}.\sin {\pi \over n}.\)

Như thế, trong số các hình chóp n-giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kínhRcho trước thì hình chóp n-giác đều có chiều cao \(h = {{4R} \over 3}\) và cạnh đáy \(a = {{4R\sqrt 2 } \over 3}\sin {\pi \over n}\) có thể tích lớn nhất.