Đánh giá ứng dụng của vi phân hàm 1 biến
|
Giáo trình Phép tính vi tích phân hàm một biến (gọi tắt là Calculus) được biên soạn làm giáo trình cho sinh viên năm thứ nhất các ngành khoa học tự nhiên và công nghệ của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Nội dung chính của giáo trình bao gồm những kiến thức liên quan đến hai phép toán cơ bản của Giải tích toán học: phép tính vi phân và phép tính tích phân cho hàm một biến thực. Những kiến thức này đóng vai trò là công cụ toán học phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của sinh viên các ngành khoa học tự nhiên và công nghệ như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ thông tin và một số ngành khác. Giáo trình bao gồm 5 chương, được trình bày tương đối ngắn gọn với mục tiêu truyền tải những đơn vị kiến thức cốt lõi của Giải tích hàm một biến thực cùng những ứng dụng của chúng. Chúng tôi không đặt mục tiêu chứng minh chi tiết tất cả các định lí để tránh đi vào những lập luận toán học dài và phức tạp. Thay vào đó, chúng tôi chú trọng việc trình bày những tình huống hay bài toán dẫn đến khái niệm toán học và những ứng dụng quan trọng của mỗi đơn vị kiến thức. Khái niệm giới hạn (của dãy số và hàm số) trong Chương 1 được định nghĩa chính xác bằng ngôn ngữ giải tích, cho phép ta xây dựng các khái niệm đạo hàm trong Chương 2, tích phân trong Chương 3 và khái niệm tổng của chuỗi số/chuỗi hàm trong Chương 4. Trên thực tế, đạo hàm được sử dụng để xác định tốc độ thay đổi của các quá trình theo thời gian (ví dụ như vận tốc của một chuyển động thẳng, tốc độ tăng dân số, hay tốc độ phân rã của một chất phóng xạ). Từ đó, sử dụng các định luật vật lí nói riêng và các quy tắc cân bằng nói chung, ta có thể chuyển (hay mô hình hoá) các bài toán thực tế thành các phương trình vi phân. Những kiến thức cơ bản về phương trình vi phân sẽ được trình bày trong Chương 5, ở đó người học có thể tìm thấy nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học và Sinh học được viết dưới dạng phương trình/hệ phương trình vi phân. Hệ thống bài tập được đưa vào phần cuối mỗi chương, trong đó chúng tôi lựa chọn một số bài tập ứng dụng phù hợp với kiến thức của sinh viên năm thứ nhất. Khó khăn có thể gặp đối với người học đó là người học cần hiểu được 7Chương 1Giới hạn hàm và hàm liên tụcPhép tính vi tích phân được nghiên cứu trên cơ sở xem xét các quá trình mà ở đó một dãy các đại lượng tiệm cận tới một đại lượng khác. Nói cách khác, ta tìm cách tiếp cận một đại lượng chưa biết bởi một dãy các đại lượng đơn giản hơn đã biết từ trước, từ đó rút ra những thông tin quan trọng của đại lượng chưa biết. Để thấy được điều này, chúng ta sẽ nói về một số bài toán đã được giải quyết theo hướng tiếp cận này.
8 1. Giới hạn hàm và hàm liên tục 1 Dãy số và giới hạn dãy số Khái niệm về dãy số không phải là mới nhưng bây giờ chúng ta sẽ làm quen với một khía cạnh của dãy số dùng để mô tả dáng điệu của dãy này tại "vô tận". Định nghĩa 1 (Định nghĩa dãy số). Dãy số là một quy tắc ứng một số tự nhiên với một số thực. Nếu viết chính xác thì một dãy số là một tập hợp có dạng a 1 , a 2 ,... , an,.. ., hay còn được viết gọn lại {an}n≥ 1 hoặc là {an}. Khái niệm quan trọng nhất gắn liền với một dãy số là giới hạn. Định nghĩa 1 (Định nghĩa giới hạn dãy số). Dãy số {an} được gọi là hội tụ tới l nếu với mọi ε > 0 , tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − l| < ε với mọi n > N. Trong trường hợp này thì l được gọi là giới hạn của {an} và ta viết an → l hay đầy đủ hơn là lim n→∞ an = l. Như vậy, an → l khi và chỉ khi với bất kì một khoảng mở chứa l thì bắt đầu từ một chỉ số n đủ lớn, mọi phần tử an sẽ nằm trong khoảng mở đó. Dưới đây là một số ví dụ về dãy số hội tụ. Ví dụ 1. (a) an = 1 n hội tụ về 0 khi n → ∞. Thật vậy, với ε > 0 cho trước, ta sẽ chọn số tự nhiên N để N > 1ε . Khi đó 0 < an = 1 n < 1N < ε với mọi n > N. Do đó lim n→∞ an = 0. (b) Xét dãy {an} xác định bởi công thức an = 1 2 + 1 22 + · · · + 12 n . Khi đó an = 2(1 − 12 )( 12 + 1 22· · · + 12 n )\= 2( 12−12 n+ )\= 1 −12 n .Vậy an → 1 khi n → ∞ bằng lập luận tương tự như phần (a). 10 1. Giới hạn hàm và hàm liên tục (ii) Cố định ε > 0. Ta tìm được N để |an − l| < ε, ∀n > N. Do đó khi k ≥ N thì nk ≥ k > N và theo bất đẳng thức trên ta sẽ có |ank − l| < ε, ∀k > N. (iii) Giả sử l ̸= l′. Ta có thể coi l < l′. Đặt ε 0 = l′ − l 2 .Theo định nghĩa 1, ta tìm được các số N và N ′ sao cho |an − l| < ε 0 , ∀n > N, |an − l′| < ε 0 , ∀n > N ′. Do đó với m = N + N ′, ta có |am − l| < ε 0 , |am − l′| < ε 0. Điều này dẫn tới 2 ε 0 = |l − l′| ≤ |am − l| + |am − l′| < ε 0 + ε 0 = 2ε 0. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy l = l′ và ta có điều phải chứng minh. Ta thường áp dụng mệnh đề trên để chỉ ra một dãy là không hội tụ. Chẳng hạn an = (−1)n (áp dụng (ii)) hay dãy các số tự nhiên an = n (áp dụng (i)) là không hôi tụ. Ngoài dãy số hội tụ, ta cũng quan tâm tới khái niệm sau: Định nghĩa 1 (Giới hạn bằng vô cùng). Ta nói dãy số {an} có giới hạn bằng +∞ (viết lim n→∞ an = +∞) nếu với mọi số M > 0 , có một chỉ số n 0 để an > M với mọi n > n 0. Tương tự như thế, ta nói dãy số {an} có giới hạn bằng −∞ (viết lim n→∞ an = −∞) nếu với mọi số M > 0 , có một chỉ số n 0 để an < −M với mọi n > n 0.
Chú ý mối liên hệ sau an > 0 , lim n→∞ an = +∞ ⇔ lim n→∞ 1an \= 0.an < 0 , lim n→∞ an = −∞ ⇔ lim n→∞ 1an \= 0.Để tính giới hạn của dãy số, chúng ta sẽ sử dụng các công thức cơ bản sau đây. Định lí 1 (Phép tính trên dãy hội tụ). Giả sử lim n→∞ an = a và lim n→∞ bn = b. Khi đó ta có: (a) lim n→∞ (an + bn) = a + b; (b) lim n→∞ (an − bn) = a − b; (c) lim n→∞ (anbn) = ab. (d) lim n→∞ an bn \=a b , nếu b ̸= 0. Chứng minh. (a) Lấy ε > 0 là một số tuỳ ý. Khi đó bằng cách áp dụng định nghĩa của giới hạn cho ε 2 , ta tìm được N 1 và N 2 sao cho |an − a| < ε 2 , ∀n > N 1 , và |bn − b| < ε 2 , ∀n > N 2. Vậy nếu n > max(N 1 , N 2 ) thì |(an + bn) − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε. Bằng cách quan niệm max(N 1 , N 2 ) chính là N trong Định nghĩa 1, ta có điều phải chứng minh. (b) Ta chứng minh tương tự như (a). Cố định ε > 0. Ta tìm được N 1 và N 2 sao cho |an − a| < ε 2 , ∀n > N 1 ,
Cố định ε > 0. Do dãy bn hội tụ về b ̸= 0 nên tồn tại N đủ lớn sao cho |bn − b| < |b| 2 , ∀n > N. Điều này dẫn đến |bn| ≥ |b| − |bn − b| > |b| 2 , ∀n > N. Cũng do dãy {bn} hội tụ về b nên ta tìm được N ′ sao cho |bn − b| < ε |b| 2 2 , ∀n > N ′. Như vậy với mỗi n ≥ max{N, N ′}, chúng ta có thể đánh giá như sau ∣ ∣ ∣ 1bn −1b ∣∣∣ =∣∣∣bn − b bnb ∣∣∣ =1
bn − b| ≤2|b| 2 |bn − b| ≤ ε. 2|b| 2 .|b| 2 2 \= ε. Ta đã chứng minh xong khẳng định (1). Để kết thúc chứng minh, ta áp dụng (c) như sau lim n→∞ an bn \= lim n→∞ an. 1bn \= lim n→∞ an. lim n→∞ 1bn \= a. 1b \=a b. Ta có điều phải chứng minh. Một phương pháp khác cũng hay được sử dụng để tính giới hạn dãy số là phương pháp kẹp giữa. Mệnh đề 1 (Nguyên lí kẹp giữa). Cho an, bn và cn là các dãy số thoả mãn an ≤ bn ≤ cn. Giả sử lim n→∞ an = lim n→∞ cn = l. Khi đó lim n→∞ bn = l. 14 1. Giới hạn hàm và hàm liên tục Chứng minh. Chứng minh kết quả trên chỉ dựa vào định nghĩa của giới hạn. Cụ thể ta tiến hành như sau, lấy ε > 0 tuỳ ý. Khi đó tồn tại các chỉ số N 1 , N 2 sao cho |an − l| < ε, ∀n > N 1 , và |cn − l| < ε, ∀n > N 2. Khi đó với mọi n > N = max{N 1 , N 2 }, ta có bn − l ≤ cn − l < ε và l − bn ≥ l − an > −ε. Kết hợp lại chúng ta có |bn − l| < ε, ∀n > N. Vậy ta đã chứng minh được lim n→∞ bn = l. Ví dụ 2. Ta sẽ chứng minh lim n→∞ n + 1 n 2 + 1 = 0 .Thật vậy, với n ≥ 1 ta có các đánh giá sau 0 < n + 1n 2 + 1 = n(n + 1) n(n 2 + 1) ≤ 2(n 2 + 1) n(n 2 + 1) \= 2 n. Do 2n → 0 khi n → ∞ nên sử dụng nguyên lí kẹp giữa (Mệnh đề 1), ta có điều phải chứng minh. Nếu một dãy số là đơn điệu thì ta có thể nói rằng dãy số đó đã ‘hầu như’ hội tụ. Điều này được thể hiện qua kết quả sâu sắc sau đây. 16 1. Giới hạn hàm và hàm liên tục Ta bỏ qua chứng minh Định lí 1 vì việc chứng minh liên quan đến cách xây dựng tập số thực. Có thể thấy sự tồn tại của cận trên đúng và cận dưới đúng kéo theo Định lí 1 về sự hội tụ của các dãy đơn điệu và bị chặn. Ta cũng sẽ cần các khái niệm cận trên đúng và cận dưới đúng để xây dựng một cách chặt chẽ khái niệm tích phân của hàm số trong chương sau. Một dạng tương đương của Định lí 1 chính là kết quả dưới đây, được sử dụng để chứng minh các tính chất của hàm liên tục ở chương sau. Định lí 1 (Nguyên lí Bolzano-Weierstrass). Mọi dãy số thực bị chặn {an} đều chứa một dãy con hội tụ. Điều này có nghĩa là có một dãy {ank } sao cho tồn tại giới hạn lim k→∞ ank = a. Chứng minh. Ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại một dãy con đơn điệu tăng hoặc một dãy con đơn điệu giảm của {an}. Ta sẽ nói số hạng am của dãy trên là "đỉnh" nếu am ≥ an với mọi n ≥ m. Như thế sẽ có hai trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Dãy {an} có vô hạn số hạng đỉnh. Khi đó ta có thể viết các số hạng này thành một dãy con an 1 , an 2 , · · · , ank , · · · với n 1 < n 2 < · · · < nk < · · ·. Theo cách xây dựng ở trên ta có một dãy con đơn điệu giảm của {an}. Trường hợp 2: Dãy {an} có hữu hạn số hạng đỉnh hoặc không có số hạng đỉnh nào. Ta lại đánh số tất cả các số hạng đỉnh của dãy ban đầu như sau: am 1 , · · · , amk. Đặt n 1 = mk + 1. Do an 1 không phải số hạng đỉnh cho nên tồn tại n 2 > n 1 để an 2 > an 1. Tương tự như vậy, do an 2 không là số hạng đỉnh cho nên tồn tại n 3 để an 3 > an 2. Cứ tiếp tục như thế ta tìm được một dãy con đơn điệu tăng an 1 , an 2 , · · · , của dãy ban đầu {an}. Theo định lí về sự hội tụ của dãy đơn điệu bị chặn, ta đã tìm được một dãy con hội tụ của dãy đã cho. Tiếp theo, sử dụng định lí về sự hội tụ của dãy đơn điệu, ta có thể chứng minh được kết quả kinh điển sau đây mà nhờ nó ta định nghĩa được cơ số logarit tự nhiên.
Định nghĩa số e. Xét các dãy số {an} và {bn} được xác định bởi công thức an = (1 + 1n )n , bn = (1 + 1n )n+ . Khi đó ta có các khẳng định sau: (i) {an} là dãy đơn điệu tăng, {bn} là dãy đơn điệu giảm; (ii) {an} và {bn} hội tụ về cùng một giới hạn được kí hiệu là e. Chứng minh. (i) Theo công thức nhị thức Newton, ta có: an = (1 + 1n )n \= 1 +n 1 .1n +n(n − 1) 2! .1n 2 + · · · +n(n − 1) · · · 2. 1 n! .1nn = 1 + 1 + 1 2! (1 −1n )+ 13!(1 −1n )(1 −2n )++ · · · + 1n! (1 −1n )(1 −2n )· · ·(1 −n − 1 n ).Tương tự, ta có: an+1 = (1 +1n + 1 )n+ \= 1 +n + 1 1 .1n + 1 + n(n + 1) 2! .1(n + 1) 2 + · · · + (n + 1)n · · · 2. 1 (n + 1)! .1(n + 1)n+ \= 1 + 1 + 1 2! (1 −1n + 1 )+ 13!(1 −1n + 1 )(1 −2n + 1 )++ · · · +1(n + 1)! (1 −1n + 1 )(1 −2n + 1 )· · ·(1 −n n + 1 ).Như vậy, an và an+1 lần lượt là tổng của n + 1 và n + 2 số hạng dương. Hơn nữa, mỗi số hạng xuất hiện trong an là nhỏ hơn hoặc bằng số hạng tương ứng của an+1. Vậy ta có an < an+1.
Chú ý rằng nếu {an} là dãy bị chặn thì lim n→∞ an và lim n→∞ an là các số hữu hạn. Hơn nữa, nếu dãy {an} hội tụ thì lim n→∞ an = lim n→∞ an = lim n→∞ an. Ví dụ 4. Xét dãy số {an} với an = (−1)n. Rõ ràng bn = sup k∈N {an+k} = 1, cn = inf k∈N {an+k} = − 1. Vậy lim n→∞ an = 1, lim n→∞ an = − 1. 1 Giới hạn hàm số Một đối tượng quan trọng của chương này là khái niệm hàm số. Để hiểu về hàm số, ta có thể lấy hai ví dụ cơ bản sau:
Ta có định nghĩa chính xác sau đây: Định nghĩa 1 (Định nghĩa hàm số). Cho A là một tập hợp các số thực. Một hàm số f xác định trên A là một quy tắc cho ứng mỗi x ∈ A với một số f (x). Ta gọi f là hàm số của biến số x. Khái niệm quan trọng gắn liền với hàm số là giới hạn của hàm số. Định nghĩa 1 (Định nghĩa giới hạn hàm số). Cho f là hàm số xác định trên một tập A. (i) Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bằng l khi biến số x tiến tới giá trị a nếu điều sau đây là đúng: Với mọi ε > 0 , ta tìm được δ > 0 sao cho |x − a| < δ, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε. 20 1. Giới hạn hàm và hàm liên tục Trong trường hợp này, ta sẽ viết f (x) → l khi x → a hoặc là lim x→a f (x) = l. (ii) Ta nói hàm số f có giới hạn trái bằng l khi biến số x tiến tới a nếu điều sau đây là đúng: Với mọi ε > 0 , ta tìm được δ > 0 sao cho a − δ < x < a, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε. Trong trường hợp này, ta viết lim x→a− f (x) = l. (iii) Tương tự, ta nói hàm số f có giới hạn phải bằng l khi biến số x tiến tới a nếu điều sau đây là đúng: Với mọi ε > 0 , ta tìm được δ > 0 sao cho a < x < a + δ, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε. Trong trường hợp này, ta viết lim x→a+ f (x) = l. (iv) Ta nói hàm f có giới hạn bằng l khi biến số x tiến tới +∞ nếu điều sau đây là đúng: Với mọi ε > 0 , ta tìm được số M > 0 sao cho x > M, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε. Trong trường hợp này, ta viết lim x→+∞ f (x) = l. (v) Ta nói hàm f có giới hạn bằng l khi biến số x tiến tới −∞ nếu điều sau đây là đúng: Với mọi ε > 0 , ta tìm được số M > 0 sao cho |
