Công thức cung và góc lượng giác

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Xác định các yếu tố liên quan đến cung và góc lượng giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Xác định các yếu tố liên quan đến cung và góc lượng giác: Xác định các yếu tố liên quan đến cung và góc lượng giác. Phương pháp. Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salo chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau: Nếu một góc (cung) lượng giác có số đo a (hay acad) thì mọi góc (cung) lượng giác cùng tia đầu (điểm đầu), tia cuối (điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng a + k, mỗi góc (cung) ứng với mỗi giá trị của k. Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc sau ra radian, b) Đổi số đo của các góc sau ra độ. Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính 36m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là. Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có 1 = Ra. Ví dụ 3: Cho hình vuông AAAA, nội tiếp đường tròn tâm O (các định được sắp xếp theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo của các cung lượng giác AA, AA. Theo hệ thức salơ.

Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác (Ou, Qu) với 0 < a < 2m, biết một góc lượng giác cùng tia dầu, tia cuối với góc đó có số đo là, a) Mọi góc lượng giác (Ou, O) có số đo là ? c) Mọi góc lượng giác số đo là 30 + k2T, k + Z. Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou, Ou) có số đo. Trong các số những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho? Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2 là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho. Ví dụ 6: Chứng minh rằng hai góc hình học bằng nhau khi và chỉ khi hoặc 3 – 4 = k2 hoặc 3 + a = km.

1. Đơn vị đo góc và cung tròn

a) Độ là số đo của góc bằng \({1 \over {180}}\) góc bẹt

Số đo của một cung tròn bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đo.

Như vậy số đo của cung bằng \({1 \over {180}}\) nửa đường tròn là một độ.

Kí hiệu \(1^0\) đọc là một độ 

\(1^0= 60'\);    \(1' = 60''\)

b) Radian

Cung có độ dài bằng bán kính đường tròn chứa cung ấy có số đo là \(1\) radian, kí hiệu \(1rad \) hay đơn giản là bỏ chữ \(rad\) và kí hiệu là \(1\).

c) Quan hệ giữa độ và radian

\({180^0} = \pi rad \)\(\Rightarrow {1^0} = {\pi  \over {180}}rad,1rad = {\left( {{{180} \over \pi }} \right)^0}\)

d) Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính \(R\) có số đo \(α\) \( rad\) thì độ dài \(l = Rα\).

2. Góc và cung lượng giác

- Đường tròn định hướng là đường tròn có chiều di động đã được quy ước: chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm là cùng chiều đồng hồ.

Chú ý: Ta chỉ xét các khái niệm góc lượng giác, cung lượng giác trên đường tròn định hướng.

- Góc lượng giác: Khi tia \(Om\) quay chỉ theo chiều dương hoặc chỉ theo chiều âm từ tia \(Ou\) đến tia \(Ov\) thì nó quét một góc lượng giác với tia đầu \(Ou\) và tia cuối \(Ov\), kí hiệu \(\left( {Ou,Ov} \right)\).

- Cung lượng giác: Khi tia \(Om\) quét nên một góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\) thì điểm \(M\) chạy trên đường tròn luôn theo một chiều dương hoặc âm từ \(U\) đến \(V\). Ta nói điểm \(M\) vạch nên một cung lượng giác điểm đầu \(U\) và điểm cuối \(V\) tương ứng với góc lượng giác \(\left( {Ou,Ov} \right)\).

- Số đo góc và cung lượng giác

- Nếu một góc lượng giác có số đo \({a^0}\) (hay \(\alpha \left( {rad} \right)\)) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng \({a^0} + k{360^0}\) (hay \(\alpha  + k2\pi \left( {rad} \right)\)), \(k \in Z\).

Chú ý: Không viết \({a^0} + k2\pi \) hay \(\alpha  + k{360^0}\) (vì không cùng đơn vị đo).

- Nếu một cung lượng giác có số đo \({a^0}\) (hay \(\alpha \left( {rad} \right)\)) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng \({a^0} + k{360^0}\) (hay \(\alpha  + k2\pi \left( {rad} \right)\)), \(k \in Z\).

3. Hệ thức Salơ

Ba tia chung gốc \(OA, OB, OC\) bất kì thì:

\(sđ(OA, OB) + sđ(OB, OC) \)\(= sđ(OA, OC) + k.360^0\) \((k2π)\)

4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

a) Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có tâm là gốc \(O\) của hệ toạ độ trực chuẩn có bán kính bằng 1. Điểm gốc của cung lượng giác là điểm \(A (1; 0)\)

b) Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo bằng \(α\) bằng cách chọn điểm gốc là điểm \(A(1;0)\) là điểm ngọn \(M\) sao cho sđ cung \(AM\) bằng \(α\).  

Loigiaihay.com

§1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Đường tròn định hướng và cung lượng giác Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiểu ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương. Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB . Góc lượng giác Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CDI. Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ c tới D tạo nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc o từ vị trí oc tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là oc, tia cuối là OD. Kí 3. Đường tròn lượng giác y Trong mặt phẳng toạ độ Oxy B(0; 1) đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng tâm 0 / bán kính R = 1. / \\ A'(-1; 0) Ị ỊA(1;0)~ \ ° / x B'(0;-1) Độ và rađian Đơn vị rađian Trên đường tròn tuỳ ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad. Quan hệ giữa độ và radian -0 n <180? 1° = -?-rad và 1 rad = —— 180 V 71 ) Với 71 ~ 3,14 thi 1° « 0,01745 rad và 1 rad = 57°17'45”. Bảng chuyển đổi thông dụng Độ 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° Radian 71 7Ĩ 71 71 2ĩt 371 571 71 6 4 3 2 3 4 6 d) Độ dài của một cung tròn Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là 71 rad và có độ dài là 7iR. Vậy Cung có số đo là a rad của đường tròn bán kính R có độ dài I = Ra. Sô đo của một cung lượng giác Số đo của một cung lượng giác AM' (A * M) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu sô' đo của cung AM là sđ AM . sđ AM = a + k2n, k Ẽ z = a° + k.360°, k e z Số đo của một góc lượng giác Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là sô' đo của cung lượng giác AC tương ứng. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có sô' đo a trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđAM - a. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trưởng hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không? Khi nào trưởng hợp này xảy ra? íTj’đ’ Lời: Các điểm cuối trùng nhau khi các số đo hơn kém nhau một bội của 2ti. c) -25°; d) -125°45'. Đổi số đo của các góc sau đây ra radian a) 18°; b) 57°30’; tsỊiải Ta có: 1° « 0,01745 18° « 18.0,01745 « 0,3142 rad 57°30' « 57,5.0,01745 « 1,0036 rad -25° « -25.0,01745 « -0,4363 rad -125°45' « -125,75.0,01745 « -2,1948 rad. 3. Đổi các sô’ đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây c) -2; a)Ẫ; b) 16 d)í Ốịiải a) 180u 18 18 = 10° ->0 b)^ = ^-=33°45' 16 16 c) -2 = -2 180° 114°35'30" 3 3 180 42°58'19" 4. Một đường tròn có bán kính 20cm. Tim độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo: a) b) 1,5; c) 37°. ốjiàl Áp dụng công thức 1 = R.a a) 1 = 20.-ị* 4,19cm; 15 b) 1 = 20.1,5 = 30cm c) a = 37° = 37.0,01745 « 0,65 rad => 1 = 20.0,65 = 12,91 cm. 5. Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo b) 135°; a) Cung - 571 ốýiái là AM (M là trung điểm 4 của A'B). Cung 135° cũng là cung AM ở trên. A Cung là ẤN (với AN = |ẤB') 3 3 Cung -225° cũng là cung AN ở trên. 1071 6. Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có sô’ đo tương ứng là (trong đỏ k là một số nguyên tuỳ ỷ). a) kỉt; b) k|; 7. Ố^iải Cung AM có sô' đo là kĩi (k e Z) thì điểm M trùng với A (nếu k chẵn) hoặc trùng với A' (nếu k lẻ). Cung AM có số đo (k e Z) thì điểm M trùng với A nếu k = 4n, n e Z; M trùng với B nếu k = 4n + 1; M trùng với A' nếu k = 4n + 2; M trùng với B' nếu k = 4n + 3, n e z. Cung AM có sô' đo (k e Z) thì 3 điểm M trùng với A nếu k = 6n (n e Z); M trùng với M] nếu k = 6n + 1; M trùng với Mọ nếu k = 6n + 2; M trùng với A' nếu k = 6n + 3; M trùng với M3 nếu k = 6n + 4; M trùng với M., nếu k = 6n + 5. Trên đường tròn Lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ AM = a (0