Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Tính chất] Căn bậc hai cùng tổng hợp lại các kiến thức về căn bậc hai và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.
I. CĂN BẬC HAI LÀ GÌ?
Với số dương a, số \[\sqrt a\] được gọi là căn bậc hai số học của số dương a. Số dương a có đúng hai căn bậc hai là \[\sqrt a\] và \[- \sqrt a\].
Ví dụ: Với số dương 10, ta có \[\sqrt {10}\] và \[-\sqrt {10}\] là hai căn bậc hai của số 10.
Chú ý: Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
II. TÍNH CHẤT CĂN BẬC HAI
Với số dương a, ta có:
\[\sqrt a = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\]
Với hai số a, b không âm, so sánh hai căn bậc hai số học a, b ta có:
\[a < b \Leftrightarrow \sqrt a< \sqrt b\].
III. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ CĂN BẬC HAI
Ví dụ: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400
Lời giải tham khảo:
Ta có:
\[\sqrt{121}\] có căn bậc hai số học là 11. Suy ra: 121 có hai căn bậc hai là 11 và −11.
\[\sqrt{144}\] có căn bậc hai số học là 12. Suy ra: 144 có hai căn bậc hai là 12 và −12.
\[\sqrt{169}\] có căn bậc hai số học là 13. Suy ra: 169 có hai căn bậc hai là 13 và −13.
\[\sqrt{225}\] có căn bậc hai số học là 15. Suy ra: 225 có hai căn bậc hai là 15 và −15.
\[\sqrt{256}\] có căn bậc hai số học là 16. Suy ra: 256 có hai căn bậc hai là 16 và −16.
\[\sqrt{324}\] có căn bậc hai số học là 18. Suy ra: 324 có hai căn bậc hai là 18 và −18.
\[\sqrt{361}\] có căn bậc hai số học là 19. Suy ra: 361 có hai căn bậc hai là 19 và −19.
\[\sqrt{400}\] có căn bậc hai số học là 20. Suy ra: 400 có hai căn bậc hai là 20 và −20.
Căn bậc hai là bài học đầu tiên trong chương trình toán đại số 9. Đây là kiến thức nền tảng của của phần đại số lớp 9. Căn bậc 2 chính là phép toán ngược của phép bình phương.
Vậy căn bậc 2 là gì? công thức căn bậc 2 viết như thế nào? Thực hiện các phép tính căn bậc 2 có khó không? chúng ta sẽ cùng tìm lời giải đáp qua bài viết Căn bậc 2 này.
I. Lý thuyết về căn bậc hai
1. Căn bậc 2 số học
* Nhắc lại: Ở lớp 7, ta đã biết:
+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau là
+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
* Ví dụ: Số 25 có hai căn bậc hai là 5 và -5
* Định nghĩa căn bậc 2
Với số dương a,a, số √aa được gọi là căn bậc hai số học của a.a.
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
- Ví dụ:Căn bậc hai số học của số 9 là
> Chú ý: Với a ≥ 0, ta có:
+ Nếu:
+ Nếu
Ta viết:
2. So sánh căn bậc 2 số học
* Định lý: với hai số a; b không âm ta có:
* Ví dụ 1: so sánh 5 và √22
¤ Lời giải:
- Ta có
* Ví dụ 2: so sánh
¤ Lời giải:
- Ta có
và
Nên
* Ví dụ 3: so sánh
¤ Lời giải:
- Ta có:
[*]
Mặt khác
Nên
[**]
Từ [*] và [**] ta có:
II. Bài tập căn bậc 2
* Bài 1 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400
> Lời giải:
+ Ta có: √121 = 11 vì 11 > 0 và 112 = 121 nên
Căn bậc hai số học của 121 là 11. Căn bậc hai của 121 là 11 và – 11.
+ Tương tự:
Căn bậc hai số học của 144 là 12. Căn bậc hai của 144 là 12 và -12.
Căn bậc hai số học của 169 là 13. Căn bậc hai của 169 là 13 và -13.
Căn bậc hai số học của 225 là 15. Căn bậc hai của 225 là 15 và -15.
Căn bậc hai số học của 256 là 16. Căn bậc hai của 256 là 16 và -16.
Căn bậc hai số học của 324 là 18. Căn bậc hai của 324 là 18 và -18.
Căn bậc hai số học của 361 là 19. Căn bậc hai của 361 là 19 và -19
Căn bậc hai số học của 400 là 20. Căn bậc hai của 400 là 20 và -20.
* Bài 2 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: So sánh:
a] 2 và √3 ; b] 6 và √41 ; c] 7 và √47
> Lời giải:
a] 2 = √4
Vì 4 > 3 nên √4 > √3 [định lí]
→ Vậy 2 > √3
b] 6 = √36
Vì 36 < 41 nên √36 < √41
→ Vậy 6 < √41
c] 7 = √49
Vì 49 > 47 nên √49 > √47
→ Vậy 7 > √47
* Bài 3 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương tình sau [làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba]:
a] x2 = 2 ; b] x2 = 3
c] x2 = 3,5 ; d] x2 = 4,12
Hướng dẫn: Nghiệm của phương trình x2 = a [ với a ≥ 0] là các căn bậc hai của a.
> Lời giải:
a] x2 = 2 ⇒ x1 = √2 và x2 = -√2
Dùng máy tính bỏ túi ta tính được:
√2 ≈ 1,414213562
Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba là:
x1 = 1,414; x2 = - 1,414
b] x2 = 3 ⇒ x1 = √3 và x2 = -√3
Dùng máy tính ta được:
√3 ≈ 1,732050907
Vậy x1 = 1,732; x2 = - 1,732
c] x2 = 3,5 ⇒ x1 = √3,5 và x2 = -√3,5
Dùng máy tính ta được:
√3,5 ≈ 1,870828693
Vậy x1 = 1,871; x2 = - 1,871
d] x2 = 4,12 ⇒ x1 = √4,12 và x2 = -√4,12
Dùng máy tính ta được:
√4,12 ≈ 2,029778313
Vậy x1 = 2,030 ; x2 = - 2,030
* Bài 4 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm số x không âm, biết:
a] √x = 15; b] 2√x = 14
c] √x < √2; d] √2x < 4
> Lời giải:
* Lưu ý: Vì x không âm [x ≥ 0] nên các căn thức trong bài đều xác định.
a] √x = 15
Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:
x = 152 ⇔ x = 225
Vậy x = 225
b] 2√x = 14 ⇔ √x = 7
Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:
x = 72 ⇔ x = 49
Vậy x = 49
c] √x < √2
Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2
Vậy 0 ≤ x < 2
d]
Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:
2x < 16 ⇔ x < 8
Vậy 0 ≤ x < 8
* Bài 5 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1: Đố. Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5m và chiều dài 14m.
> Lời giải:
- Diện tích hình chữ nhật: SHCN = 3,5.14 = 49 [m2]
- Gọi a [m] [a > 0] là độ dài của cạnh hình vuông. Suy ra diện tích hình vuông là
SHV = a2 = 49 [m2]
⇒ a = 7 [m]
Vậy cạnh hình vuông có độ dài là 7m.
Như vậy với nội dung bài viết căn bậc 2 này các em cần nhớ được định nghĩa căn bậc 2, đặc biệt là dựa vào định lý để so sánh căn bậc 2 cần các phép biến đổi linh hoạt. Các em hãy làm nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán này.