Giải thích các bước giải:
a. Vì BE, CF là đường cao của $\Delta ABC\to BE\perp AC, CF\perp AB$
$\to \widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$
Tứ giác $AEHF$ có:
$\Rightarrow\widehat{AEH}+\widehat{AEF}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối đỉnh
$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính [AH]
Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$
Đỉnh F, E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc $90^o$ nên $\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính [BC]
b. Từ câu a $\to\widehat{FEB}=\widehat{FCB}$ [góc nội tiếp cùng chắn cung BF của [BC]]
$\widehat{FCB}=\widehat{NCB}=\widehat{NMB}$ [góc nội tiếp cùng chắn cung NB của [O]]
Từ hai điều trên suy ra $\widehat{FEB}=\widehat{NMB}$ mà chúng ở vị trí đồng vị
$\to MN//EF$
c. Kẻ $At$ là tiếp tuyến của [O]
$\to \widehat{tAB}=\widehat{ACB}$ [góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB]
$\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$ [vì $BCEF$ nội tiếp, hai góc cùng bù với $\widehat{EFB}$]
Từ hai điều trên suy ra $\widehat{tAB}=\widehat{AFE}$ mà chúng ở vị trí so le trong
$\to At//EF$
Do $At\perp AO$ [do cách dựng $At$ là tiếp tuyến của [O]]
$\to EF\perp AO$.
Câu hỏi: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của tam giác ABC. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.1] Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.2] Chứng minh \[\angle ABC = \angle ANM.\]3] Chứng minh OA vuông góc với MN.4] Cho biết \[AH = R\sqrt 2 \]. Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn tâm \[O.\] Gọi \[I\] là trung điểm của \[AB,\] đường thẳng qua \[I\] vuông góc với \[AO\] và cắt cạnh \[AC\] tại\[J.\] Chứng minh bốn điểm \[B,\,\,C,\,\,J,\,\,I\] cùng thuộc một đường tròn.
Đã gửi 21-02-2016 - 07:26
gọi L là trung diểm BF và là trung diểm AC thì ta có CL=CM suy ra L dx M qua IC, tương tự, gọi J,G là trung diểm của FC,AB thì J dx G qua IB,
mà GM= và // LJ nên GJ cắt LM taị trung diểm mỗi dường, tức là LM,GJ,IB,IC dồng quy tại I, suy ra IL // EF
mà I là trung diểm của KE,L là trung diểm BF nên IL//EF//KB suy ra $ \widehat{BKI}=180^o-\widehat{KEF}=180^o-\widehat{ICF}$ suy ra tứ giác BKIC nội tiếp, cmtt tứ giác BIHC nt, suy ra dpcm