Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 là một trong những chuyên đề quan trọng của toán lớp 9. Đây là chuyên đề không quá phức tạp nhưng lại có nhiều dạng bài tập. Nếu không hiểu rõ lý thuyết, bạn sẽ không thể làm đúng các dạng bài tập. Vậy bạn đã biết công thức giải phương trình bậc 2 và các dạng bài tập liên quan chưa? Hãy cùng Toppy tìm hiểu chi tiết qua bài viết dưới đây.
Công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Phương trình bậc 2 là gì?
Trước khi tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình bậc 2, chúng ta cần hiểu phương trình bậc 2 là gì, có dạng thế nào. Phương trình bậc hai hay còn được gọi là phương trình bậc hai 1 ẩn. Đây là phương trình gồm 1 ẩn số, được tổng quát dưới dạng:
ax2 + bx +c = 0 [a ≠0]
Trong đó: a, b, c là các số thực được cho trước, x là ẩn số phải đi tìm và a phải là một số khác 0. Bởi nếu a = 0 thì phương trình trên sẽ trở về phương trình bậc 1 có một ẩn số.
Với dạng phương trình này sẽ có nhiều dạng bài tập khác nhau. Tuy nhiên, nhìn chung, các dạng bài tập đều quy về việc tìm nghiệm của phương trình cho trước. Tập nghiệm có thể gồm 1 hoặc nhiều nghiệm, miễn sao thỏa mãn phương trình.
Phương trình bậc 2 là một dạng bài tập quan trọng trong toán 9
Công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Sau khi đã tìm hiểu về phương trình bậc 2, chắc hẳn bạn đang thắc mắc công thức nghiệm của phương trình bậc 2 thế nào. Công thức giải phương trình bậc 2 dạng ax2 + bx +c = 0 [a ≠0] có Δ = b2 – 4ac sẽ có 3 trường hợp:
- Δ = 0: khi đó phương trình sẽ có nghiệm kép hay còn gọi là 2 nghiệm.
- Δ > 0 thì có 2 nghiệm khác nhau là x1 và x2, được tính theo công thức [−b+/-√ Δ]/2a.
- Trường hợp Δ < 0 thì phương trình bậc 2 kể trên vô nghiệm, tức là phương trình không có số nào thỏa mãn để 2 vế bằng nhau.
Trong trường hợp 2 số thực a,c trái dấu thì phương trình sẽ luôn có 2 nghiệm phân biệt nhau, tức là Δ > 0.
Dạng của phương trình bậc 2
Định lý Viet trong phương trình bậc 2
Nhắc tới phương trình bậc 2 và công thức giải phương trình bậc 2, chúng ta không thể không nhắc tới định lý Viet. Đây là một định lý quan trọng, liên quan tới nhiều dạng bài tập của phương trình bậc 2.
Như đã giới thiệu ở trên, phương trình bậc 2 có dạng: ax2 + bx +c = 0 [a ≠0] sẽ có tối đa 2 nghiệm, gọi là x1 và x2. Khi đó, x1 và x2 sẽ thỏa mãn đồng thời cả 2 điều kiện, đó là:
- x1 + x2 = -b/a
- x1x2 = c/a
Khi làm bài tập về phương trình bậc 2, bạn có thể áp dụng định lý viet bằng cách biến đổi biểu thức để xuất hiện x1 + x2 và x1x2.
Bạn cũng có thể áp dụng định lý Viet đảo với 2 số x1 và x2 thỏa mãn 2 điều kiện:
Trong đó: cả x1 và x2 đều là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0.
Nhắc tới định lý Viet, chúng ta không thể bỏ qua ứng dụng của định lý này. Với phương trình bậc 2, bạn có thể dễ dàng tính được nghiệm của phương trình mà không cần áp dụng công thức tính nghiệm với một số trường hợp đặc biệt:
- Trường hợp 1: a+b+c=0 thì phương trình có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = c/a.
- Trường hợp 2: a-b+c=0 thì phương trình có 2 nghiệm là x1 = -1 và x2 = -c/a. [Đây là trường hợp ngược lại của trường hợp 1, bạn cần nhìn kỹ dấu để tránh nhầm lẫn].
Phương trình bậc 2 có các dạng bài tập quan trọng
Dạng bài tập ứng dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2
Sau khi tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình bậc 2, bạn cần lưu ý tới các dạng bài tập. Mỗi dạng bài tập sẽ có một phương pháp giải khác nhau. Áp dụng đúng phương pháp sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian và giải bài tập chính xác hơn.
Cụ thể, hiện nay phương trình bậc 2 có các dạng bài tập chủ yếu như:
Dạng 1: phương trình bậc 2 một ẩn không có tham số
Để giải dạng bài tập này, bạn cần áp dụng công thức Δ và Δ’ rồi áp dụng các công thức tính phương trình bậc 2 đã được giới thiệu ở trên. Qua đó tìm được nghiệm của phương trình.
Ví dụ: ta có phương trình: x2-3x+2=0. Áp dụng công thức tính Δ, ta sẽ có Δ = 1. Vậy 2 nghiệm của phương trình sẽ lần lượt là:
Dạng 2: phương trình bậc 2 một ẩn có tham số
Bên cạnh dạng không chứa tham số, phương trình bậc 2 một ẩn có tham số cũng là một dạng bài tập quan trọng. Để giải dạng bài tập này, bạn cũng cần sử dụng công thức tính Δ. Từ đó, dựa vào 3 trường hợp của Δ đã được giải thích ở trên, bạn có thể xác định được phương trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt hay vô nghiệm. Từ đó áp dụng công thức để tính được các giá trị nghiệm cụ thể.
Trên đây là công thức nghiệm của phương trình bậc 2 và cách giải một số dạng bài tập của phương trình bậc 2. Hãy ghi nhớ các công thức, dạng bài tập để có thể áp dụng khi gặp dạng bài tập này nhé.
Xem thêm:
Chúng tôi sẽ hướng dẫn các bạn giải phương trình bậc 2 như phương trình bậc 2 số phức, phương trình bậc 2 1 ẩn, phương trình bậc 2 2 ẩn, cách tính deltavới các phương pháp khác nhau như công thức nghiệm của phương trình bậc 2, sử dụng định lý Viet, tính nhẩm,..chi tiết trong bài viết dưới đây.
Phương trình bậc 2 là gì?
Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng ax2+ bx + c = 0 [a≠0] [1]. Trong đó:
Cách giải phương trình bậc 2 nhanh chóng
Giải phương trình bậc 2 là đi tìm các giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình [1] thì thỏa mãn ax2+ bx+c=0.
Bước 1: Tính Δ=b2-4ac
Bước 2: So sánh Δ với 0
Trong trường hợp b = 2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’ = b’2 – ac, tương tự như trên:
2. Định lý Viet
Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau:
Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn ax2 + bx + c [a≠0] thì:
3. Định lý Viet đảo
Nếu x1 + x2 = S và x1 .x2 = P thì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P=0 [Điều kiện S2 – 4P>0]
4. Trường hợp đặc biệt
Nếu phương trình bậc hai có:
Tham khảo thêm: Cách tìm ma trận nghịch đảo 2×2, 3×3, 4×4
Các dạngbài tập về phương trình bậc 2
1. Dạng 1: Phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.
Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở phần công thức nghiệp.
Ví dụ 1: 2x2 – 7x + 3 = 0 [3]
Tính Δ = [-7]2 – 4.2.3 = 49 – 24= 25 > 0 => [3] có 2 nghiệm phân biệt:
Ví dụ 2: Phương trình 2x2 + 6x + 5 = 0
Ta có: a = 2; b = 6; c = 5
Biệt thức Δ = b2−4ac = 62−4.2.5 = 36 − 40 = −4
Δ = – 4 < 0 => phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Phương trình x2 − 4x + 4 =0
Ta có: a = 1; b = – 4; c = 4
Biệt thức Δ = b2 − 4ac = [−4]2− 4.1.4 = 16 − 16 =0
Vì Δ = 0 => phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = −b/2a = −[−4]/2.1 = 4/2 = 2
2. Dạng 2: Phương trình khuyết hạng tử
Khuyết hạng tử bậc nhất: ax2+c=0 [1].
x2 = – c/a
Khuyết hạng tử tự do: ax2+bx=0 [2]. thì
Ví dụ: x2 + 9 = 0
x2= – 9
x1 = 3 hoặc x2 = -3
3. Dạng 3: Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2
Dạng 1: A = 1, B = Tổng, C = Tích
Nếu phương trình có dạng x2 – [u+v]x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.
Nếu phương trình có dạng x2 + [u+v]x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và –v.
Tóm lại:
x2 – [u+v]x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v [1]
x2 + [u+v]x + uv = 0 => x1 = -u,x2 = -v
Ví dụ: 3x2 – 4x + 1 = 0
Giải:
Nhận thấy vì a + b + c = 3 + [-4] + 1 = 0 => phương trình có nghiệm là: x1 = 1 và x2 = c/a = 1/3.
Dạng 2: A + B + C = 0 và A – B + C = 0
x2 – [u+v]x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v [1]
Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Nếu u ≠ 0 và v = 1/u thì phương trình [1] có dạng:
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x= u, x = 1/u. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán.
Ví dụ phương trình:
2x2 – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2, x = 1/2
3x2 – 10x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 3, x = 1/3
4. Dạng 4: Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài
Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:
Ví dụ: Cho phương trình 3x2 -2[m + 1]x + 3m – 5 = 0. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Giải:
Ta có: 3x2 -2[m + 1]x + 3m – 5 = 0 [*]
Theo yêu cầu đề bài: để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia có nghĩa là phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ’ > 0
[m + 1]2 -3.[3m – 5] > 0
m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0
m2 -7m + 16 > 0
[m – 7/2]2 + 15/4 > 0
Ta thấy, Δ’ > 0 với mọi m ∈ R nên phương trình [*] luôn có hai nghiệm phân biệt.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, khi đó theo định lý Vi-ét ta có:
Theo đề bài phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia, nên không tính tổng quát khi giả sử x2 = 3.x1 thay vào [1]
m2 + 2m + 1 = 4[3m – 5]
m2 -10m + 21 = 0
m = 3 hoặc m = 7
+ TH1: Với m = 3, phương trình [*] trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm là x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+ TH2: Với m = 7, phương trình [*] trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm là x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.
Kết luận: m = 3 thì phương trình có 2 nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì phương trình có 2 nghiệm là 4/3 và 4.
5. Dạng 5: Phân tích thành nhân tử
Phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, lúc nào bạn cũng có thể viết nó về dạng sau:
ax2 + bx + c = a[x-x1][x-x2] = 0.
Trở lại với phương trình [2], sau khi tìm ra 2 nghiệm x1,x2 bạn có thể viết nó về dạng: 4[x-3/2][x+1]=0.
Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp bạn giải phương trình bậc 2 với các dạng bài tập khác nhau đơn giản. Chúc các bạn thành công!
Đánh giá bài viết
XEM THÊM
Bảng đơn vị đo độ dài và cách đổi đơn vị đo độ dài chính xác 100%
Lăng trụ tam giác đều: diện tích, thể tích lăng trụ tam giác đều chuẩn 100%