Câu hỏi: Đường trung bình của hình thang
Lời giải:
- Định lí 1:Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai
- Định nghĩa:Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
- Định lí 2:Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Ví dụ:
Hình thangABCD[AB//CD] có E, F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD, BC.
Suy raEFlà đường trung bình của hình thang ABCD.
Do đó:
Cùng Top lời giải tìm hiểu thêm về hình thang nhé:
1. Khái niệm hình thang
Hình thang trong hình học Euclide là một tứ giác lồi có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy của hình thang. Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.
Hình thang ABCD [AB // CD]:
AB và CD gọi là các cạnh đáy [ hoặc đáy]. AB là đáy nhỏ, CD là đáy lớn.
AD và BC gọi là các cạnh bên.
Gọi AH là đường cao kẻ từ A đến CD. Khi đó, AH là đường cao của hình thang.
• Các trường hợp đặc biệt của hình thang:
- Hình thang vuông: là hình thang có một góc vuông.
- Hình thang cân: là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.
2. Tính chất hình thang
- Tính chất về góc: Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 1800[ nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là hai cạnh đáy]
Hình thang ABCD [ AB // CD] có:
3. Diện tích hình thang
Diện tíchcủa hình thang bằng nửa tích của tổng hai cạnh đáy vớichiều cao:
4. Chu vi hình thang
4.1 Công thức tính chu vi hình thang thường
Chu vihình thang bằng tổng độ dài của hai đáy và hai cạnh bên [tất cả các cạnh của nó]:
P = a + b + c + d
Trong đó:
- P là ký hiệu chu vi.
-a, b là hai cạnh đáy hình thang.
-c, d là cạnh bên hình thang.
4.2. Công thức tính chu vi hình thang vuông
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Cạnh bên góc vuông là chiều cao của hình thang. Hình thang vuông có cách tính chu vi tương tự hình thang thường.
P = a + b + c + d
Trong đó:
-P là ký hiệu chu vi.
-a, b là hai cạnh đáy hình thang.
-c, d là cạnh bên hình thang.
4.3 Công thức tính chu vi hình thang cân
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. 2 cạnh bên của hình thang cân bằng nhau, không song song với nhau. Công thức tính chu vi hình thang cân là:
P = [2 x a] + b + c
Trong đó:
-P là ký hiệu chu vi.
-a, b là hai cạnh đáy hình thang.
-c, d là cạnh bên hình thang.
5. Bài tập:
Bài 1: Cho hình thang ABCD [ AB//CD] có AB = 3cm, CD = 5cm, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 3cm. Tính diện tích hình thang ABCD.
Giải:
Hình thang ABCD có AB//CD nên hai đáy là AB và CD.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD chính là chiều cao của hình thang.
Áp dụng công thức tính diện tích hình thang:
Chu vi hình thang:
Chu vi hình thang bằng tổng độ dài hai cạnh đáy và hai cạnh bên của hình thang
P = a + b + c + d
Bài 2:Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, K theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng.
Giải:
Để chứng minh 3 điểm E, F, K thẳng hàng ta có thể chứng minh 2 trong 3 đoạn EK, FK, EF cùng // với AB và CD [theo tiên đề Ơcolit] thông qua tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang.
Xét hình thang ABCD, có:
E là trung điểm của cạnh bên AD [gt]
F là trung điểm của cạnh bên BC [gt]
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD [theo định lí 3]
⇒ EF // AB // CD [theo định lí 4] [1]
Xét△ABD, có:
E là trung điểm của AD [gt]
K là trung điểm của BD [gt]
⇒ EK là đường trung bình của tam giác ABD [theo định lí 1]
⇒ EK // AB [theo định lí 2] [2]
Từ [1], [2]⇒ E, F, K thẳng hàng [Theo tiên đề Ơcơlit].
Bài 3:Cho hình thang ABCD với AB = AD = 3cm, CD = 5cm, BC = 4cm. Tính chu vi hình thang ABCD?
Giải:
Chu vi hình thang ABCD là:
P = AB + BC + CD + AD = 3 + 4 + 5 + 3 = 15[cm]
Bài 4:Một hình thang cân có cạnh bên là 2,5cm, đường trung bình là 3cm. Tính chu vi của
hình thang đó.
Giải:
Tổng hai cạnh đáy của hình thang là : 3 x 2 = 6 [cm]
Chu vi hình thang là : 6 + 2,5 + 2,5 = 11 [cm]
Đáp số : 11 cm
1. Kiến thức cần nhớ
Đường trung bình của tam giác
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Ví dụ:
+ \[\Delta ABC\] có \[D\] là trung điểm của \[AB\] , \[E\] là trung điểm của \[AC\] nên \[DE\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\] \[ \Rightarrow DE{\rm{//}}BC;\,DE = \dfrac{1}{2}BC.\]
+ Nếu \[\left\{ \begin{array}{l}DA = DB\\DE{\rm{//}}BC\end{array} \right. \Rightarrow EC = EA\] .
Đường trung bình của hình thang
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Ví dụ:
+ Hình thang \[ABCD\] [hình vẽ] có \[E\] là trung điểm \[AD\] , \[F\] là trung điểm của \[BC\] nên \[EF\] là đường trung bình của hình thang \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EF{\rm{//}}DC\\EF = \dfrac{{AB + DC}}{2}\end{array} \right.\]
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chứng minh các hệ thức về cạnh và góc. Tính các cạnh và góc.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang.
+ Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+ Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác, hình thang.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.
+ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.