Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay
* Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay
Muốn chứng minh đương thẳng d [α] ta có thể dùng môt trong hai cách sau.
Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau trong [α] .
Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với [α] .
Cách 3. Chứng minh d vuông góc với [Q] và [Q] // [P].
* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- Để chứng minh d a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
+ Chứng minh d vuông góc với [P] và [P] chứa a.
+ Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
+ Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có SA [ABC] và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. SA BC
B. AH BC
C. AH AC
D. AH SC
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vậy câu C sai.
Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA [ABC]. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB [ABC]
B. AB BD
C. AB [ABD]
D. BC AD
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi E là trung điểm của BC.
Tam giác DCB cân tại D có DE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: DE BC.
Tam giác ABC cân tại A có AE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : AE BC
Khi đó ta có
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA [ABC] và AB BC Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là:
A. 1B. 2C. 3D. 4
Hướng dẫn giải
Có AB BC ΔABC là tam giác vuông tại B
Ta có SA [ABC]
Mặt khác
Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. SO [ABCD]
B. CD [SBD]
C. AB [SAC]
D. CD AC
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao SO AC .
Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao SO BD .
Từ đó suy ra SO [ABCD] .
Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD. Do đó CD không vuông góc với [SBD]
Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA [ABCD]. Gọi AE, AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh phương án D đúng.
Chọn D
Ví dụ 7: Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA [ABC] và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai?
A. CH SAB. CH SBC. CH AKD. AK SB
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do tam giác ABC cân tại C; có CH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên CH AB.
Lại có: CH SA [vì SA vuông góc với mp[ABC]] .
Suy ra CH [SAB]. Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai.
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH [BCD] . Biết H là trực tâm tam giac BCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. CD BDB. AC = BDC. AB = CD.D. AB CD
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án D
Ví dụ 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA= SB= SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp [ABC] . Đối với tam giác ABC ta có điểm H là:
A. Trực tâm.
B. Tâm đường tròn nội tiếp.
C. Trọng tâm.
D. Tâm đường tròn ngoại tiếp.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mp[ABC] . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:
A. H là trực tâm tam giác ABC
B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
C.
D. CH là đường cao của tam giác ABC .
Hướng dẫn giải
+ Ta có OA [OBC] OA BC và OH BC BC [OAH] BC AH. Tương tự, ta có AB CH
Hai đường thẳng AH và CH cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC
suy ra đáp án A, D đúng
+ Gọi I là giao điểm của AH và BC .
Ta có ; OA [OBC] nên OA OI
Xét tam giác vuông OAI có đường cao OH Ta có
suy ra đáp án C đúng.
Chọn đáp án B
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có BSC = 120°, CSA = 60°, ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp [ ABC]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. I là trung điểm AB
B. I là trọng tâm tam giác ABC
C. I là trung điểm AC
D. I là trung điểm BC
Hướng dẫn giải
Gọi SA = SB = SC = a
+ Ta có : tam giác SAC đều nên AC = SA = a
Tam giác SAB vuông cân tại S AB = a2
+ Gọi I là trung điểm của BC thì IA = IB = IC nên I là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Ta có : SA = SB = SC và IA = IB = IC
SI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
SI [ABC]
Vậy nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABC]
Chọn D
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB CD và AC BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp[BCD] . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. H là trực tâm tam giác BCD
B. CD [ABH]
C. AD BC
D. Các khẳng định trên đều sai.
Ta có
Tương tự BD CH
Suy ra H là trực tâm tam giác BCD. Suy ra loại đáp án A, B
Ta có
Chọn đáp án D
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA [ABC]. Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
A. BC [SAH]B. HK [SBC]
C. BC [SAB]D. SH, AK và BC đồng quy
Ta có BC SA, BC SH BC [SAH]
Ta có CK AB, CK SA CK [SAB] hay CK SB
Mặt khác có CH SB nên suy ra SB [CHK] hay SB HK, tương tự SC HK nên HK [SBC]
Gọi M là giao điểm của SH và BC.
Do BC [SAH] BC AM hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK
SH, AK và BC đồng quy
Do dó BC [SAB]. Sai
Chọn đáp án C
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây là sai?.
A. SO [ABCD]
B. SO AC
C. SO BD
D. Cả A, B, C đều sai
Ta có O là trung điểm của AC và SA = SC SO AC
Tương tự SO BD
Vậy
Chọn D
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA [ABCD]. Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. SA BDB. SC BDC. SO BDD. AD SC
Ta có SA [ABCD] SA BD
Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD AC mà SA BD nên BD [SAC] hay BD SC, BD SO
Chọn đáp án D
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA [ABCD]. Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. [IJK] // [SAC]
B. BD [IJK]
C. Góc giữa SC và BD có số đo 60°
D. BD [SAC]
Chọn C.
+ Tam giác ABC có IJ Là đường trung bình của tam giác nên IJ // AC
Tam giác SAB có IK là đường trung bình của tam giác nên IK // SA
[IJK] // [SAC]. Vậy A đúng
+ Do BD AC và BD SA nên BD [SAC]
nên D đúng.
+ Do BD [SAC] và [IJK] // [SAC] nên BD [IJK] nên B đúng.
Vậy C sai
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và SH [ABCD]. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. AC SH
B. AC KH
C. AC [SHK]
D. Cả A, B, C đều sai
+ Ta cos SH [ABCD] SH AC
+ Tam giác ABD có H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác HK // BD
Lại có
AC [SHK]
Chọn D
Câu 7: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên [ABC]. Khẳng định nào sau đây sai?
Xét tam giác AOI vuông tại O có OH đường cao:
Từ [1] và [2] H là trực tâm tam giác ABC Đáp án C đúng.
Chọn đáp án D.
Câu 8: Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách đều bốn điểm A, B ; C ; D.
A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
B. O là trọng tâm tam giác ACD
C. O là trung điểm cạnh BD
D. O là trung điểm cạnh AD
Chọn D
Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH [BCD]. Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây không sai?
A. AB = CDB. AC = BDC. AB CDD. CD BB
Chọn C
Do AH [BCD] AH CD .
Mặt khác, H là trực tâm tam giác BCD nên BH CD
Suy ra CD [ABH] nên CD AB.
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a2. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Khẳng định nào sau đây là sai?.
A. SH [ABCD]
B. SH HC
C. A, B đều đúng
D. A, B là sai
Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên SH AB
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. [ ABD]B. [ ADC]C. [ ACD]D. [ ABCD]
Ta có
Vậy chọn đáp án A
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA = SC. Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. SA [ABCD]B. BD [SAC]
C. AC [SBD]D. AB [SAC]
Ta có: SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân
Mặt khác: O là trung điểm của AC [tính chất hình thoi]
Khi đó ta có: AC SO
Vậy chọn đáp án C
Câu 13: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA [ABCD]. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. AK HKB. HK AMC. BD // KH D. AH SB .
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có BSC = 120°, CSA = 60°, ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp[ABC]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. I là trung điểm AB
B. I là trọng tâm tam giác ABC
C. I là trung điểm AC
D. I là trung điểm BC
Gọi SA = SB = SC = a
Ta có: tam giác SAC cân có 1 góc bằng 60° nên tam giác SAC đều AC = SA = a
+ tam giác SAB vuông cân tại S
AB = a2
AC2 + AB2 = BC2 nên tam giác ABC vuông tại A
+ Gọi I là trung điểm của AC thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d là trục của tam giác ABC thì d đi qua I và d [ABC]
Mặt khác : SA = SB = SC nên S d . Vậy SI [ABC] nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABC]
Chọn C
Câu 15: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng [ ABC] . Xét các mệnh đề sau :
I. Vì OC OA, OC OB nên OC [OAB]
II. Do AB [ABC] nên AB OC [1]
III. Có OH [ABC] và AB [ABC] nên AB OH[2]
IV. Từ [1] và [2] AB [OCH]
Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng ?
A. I, II, III, IV
B. I, II, III
C. II, III, IV
D. I, IV
Ta có:
Chọn đáp án A
Câu 16: Cho hình hộp ABCD.ABCD Có đáy là hình thoi BAD = 60° và AA = AB = AD. Gọi O = AC BD. Hình chiếu của A trên [ABCD] là :
A. trung điểm của AO
B. trọng tâm tam giác ABD
C. giao của hai đoạn AC và BD
D. trọng tâm tam giác BCD.
Vì AA = AB = AD nên hình chiếu của A trên [ ABCD] trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD [1].
Mà tứ giá ABCD là hình thoi và BAD = 60° nên tam giác BAD là tam giác đều [2]
Từ [1] và [ 2] suy ra H là trọng tâm tam giác ABD
Chọn đáp án B
Giới thiệu kênh Youtube Tôi