Cách bấm máy tính hàm số gián đoạn

Định nghĩa:
Hàm số $f[x]$ liên tục tại $x_0$ khi $$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] = f[{x_0}]$$ Phân loại điểm gián đoạn :
Gián đoạn loại 1: $$\left\{ \matrix{ \matrix{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x]}&{hữu}&{hạn} }\\ \matrix{ {\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x]}&{hữu}&{hạn} }\\ \left[ \matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] \ne f[{x_0}]\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] \ne f[{x_0}] } \right. } \right.$$ _Có 2 loại:
+Gián đoạn loại 1 có bước nhảy :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] $
[Bước nhảy bằng $|\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] - \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] |$]
+Gián đoạn loại 1 có thể bỏ qua được:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x]$
[Bước nhảy bằng 0]
Gián đoạn loại 2: nếu không phải gián đoạn loại 1.
Các bước làm bài :
Bước 1 :Nêu tập xác định [TXĐ].
_Xác định xem cần xét tính liên tục tại những điểm nào
Nếu đề bài yêu cầu tại một điểm cụ thể thì xét tại điểm đó.
Nếu đề bài không nói cụ thể tại điểm nào thì xét trên toàn bộ tập xác định và những điểm đặc biệt theo điều kiện xác định.
Bước 2 :Tính giới hạn trái và giới hạn phải tại các điểm cần xét.
Bước 3 :Kết luận

Ví dụ 1 :
Xét tính liên tục của hàm số:$$f[x] = \left\{ {\matrix{ {\frac{{1 - \cos x}}{{\ln [1 + {x^2}]}}}&{nếu}&{x \ne 0}\\ 0&{nếu}&{x = 0} }} \right.$$ [Bài 2-Đề 1-Giải tích I cuối kì BKHN-K59]
Bài làm:
TXĐ: $D = R $
[Đề bài không nói cụ thể tại điểm nào, ta xét trên toàn bộ tập xác định]
Tại $x = {x_0} \in R\backslash \{ 0\} $: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] = f[{x_0}] = \frac{{1 - \cos {x_0}}}{{\ln [1 + x_0^2]}}$$ Suy ra $f[x]$ liên tục tại $x = {x_0} \in R\backslash \{ 0\} $
Tại $x=0$ : $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{\ln [1 + {x^2}]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\frac{{{x^2}}}{2}}}{{{x^2}}} = \frac{1}{2}\\ f[0] = 0 }$$ $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f[x] \ne f[0]$
Suy ra $f[x]$ gián đoạn loại 1 có thể bỏ qua được tại $x=0$.
Ví dụ 2 :
Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số sau: $$f[x] = {3^{\frac{{|x - 3|}}{{x - 3}}}} + \frac{{\sin x}}{{|x|}}$$ [Bài 6-Đề 6-Giải tích I cuối kì BKHN-K60]
Bài làm:
TXĐ: $D = R\backslash \{ 0;3\} $
[Đề bài không nói cụ thể tại điểm nào, ta xét trên toàn bộ tập xác định và tại 0, 3]
Tại $x = {x_0} \in R\backslash \{ 0;3\} $: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] = f[{x_0}] = {3^{\frac{{|{x_0} - 3|}}{{{x_0} - 3}}}} + \frac{{\sin {x_0}}}{{|{x_0}|}}$$ Suy ra $f[x]$ liên tục tại $x = {x_0} \in R\backslash \{ 0;3\} $
Tại $x=0$ : $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {3^{\frac{{|x - 3|}}{{x - 3}}}} + \frac{{\sin x}}{{|x|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {3^{\frac{{3 - x}}{{x - 3}}}} + \frac{{\sin x}}{x} = \frac{4}{3}\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {3^{\frac{{|x - 3|}}{{x - 3}}}} + \frac{{\sin x}}{{|x|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {3^{\frac{{3 - x}}{{x - 3}}}} + \frac{{\sin x}}{{ - x}} = \frac{{ - 2}}{3}\\ \Rightarrow |\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f[x] - \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f[x]| = 2 }$$ Suy ra $f[x]$ gián đoạn loại 1 có bước nhảy bằng $2$ tại $x=0$.

Tại $x=3$ : $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {3^{\frac{{|x - 3|}}{{x - 3}}}} + \frac{{\sin x}}{{|x|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {3^{\frac{{x - 3}}{{x - 3}}}} + \frac{{\sin x}}{x} = 3 + \frac{{\sin 3}}{3}\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {3^{\frac{{|x - 3|}}{{x - 3}}}} + \frac{{\sin x}}{{|x|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {3^{\frac{{3 - x}}{{x - 3}}}} + \frac{{\sin x}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{{\sin 3}}{3}\\ \Rightarrow |\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f[x] - \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f[x]| = \frac{8}{3} }$$ Suy ra $f[x]$ gián đoạn loại 1 có bước nhảy bằng $\frac{8}{3}$ tại $x=3$.

Ví dụ 3 :
Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số sau: $$f[x] = \frac{{{{[6x + 5\pi ]}^2}}}{{1 - 2\cos 2x}}$$
Bài làm:
TXĐ: $D= R\backslash \left\{ {\frac{{ \pm \pi }}{6} + k\pi } \right\}$
[Đề bài không nói cụ thể tại điểm nào, ta xét trên toàn bộ tập xác định và tại ${\frac{{ \pm \pi }}{6} + k\pi }$]
Tại $x = {x_0} \in R\backslash \left\{ {\frac{{ \pm \pi }}{6} + k\pi } \right\}$: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f[x] = f[{x_0}] = \frac{{{{[6{x_0} + 5\pi ]}^2}}}{{1 - 2\cos 2{x_0}}}$$ Suy ra $f[x]$ liên tục tại $x = {x_0} \in R\backslash \left\{ {\frac{{ \pm \pi }}{6} + k\pi } \right\}$
Tại $x = \frac{\pi }{6} + k\pi $ : $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{[\frac{\pi }{6} + k\pi ]}^ + }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{[\frac{\pi }{6} + k\pi ]}^ + }} \frac{{{{[6x + 5\pi ]}^2}}}{{1 - 2\cos 2x}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{[\frac{\pi }{6} + k\pi ]}^ - }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{[\frac{\pi }{6} + k\pi ]}^ - }} \frac{{{{[6x + 5\pi ]}^2}}}{{1 - 2\cos 2x}} = - \infty }$$ Suy ra $f[x]$ gián đoạn loại 2 tại $x=\frac{\pi }{6} + k\pi $.

Tại $x = \frac{-\pi }{6} + k\pi $ : $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{[\frac{-\pi }{6} + k\pi ]}^ + }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{[\frac{-\pi }{6} + k\pi ]}^ + }} \frac{{{{[6x + 5\pi ]}^2}}}{{1 - 2\cos 2x}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{[\frac{-\pi }{6} + k\pi ]}^ - }} f[x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{[\frac{-\pi }{6} + k\pi ]}^ - }} \frac{{{{[6x + 5\pi ]}^2}}}{{1 - 2\cos 2x}} = + \infty }$$ Suy ra $f[x]$ gián đoạn loại 2 tại $x=\frac{-\pi }{6} + k\pi $.

Liên kết hay đáng ghe thăm:
HocTapHay.com:Tổng hợp kiến thức, bải giảng các môn học Trung học cơ sở, Trung học phổ thông,... khá đầy đủ và chi tiết.