Các dạng toán tìm cực trị của hàm số
|
+) Nếu x = α là nghiệm bội bậc chẳn ((x - α)2,(x - α)4,...) thì hàm số y = f(x) không đổi dấu khi đi qua α. +) Nếu x = α là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ ((x - α),(x - α)3,...) thì hàm số y = f(x) đổi dấu khi đi qua α.
Đề tìm cực trị của hàm số y = f(u(x)) ta làm như sau: - Bước 1: Tính [f(u(x))]' - Bước 2: Giải phương trình [f(u(x))]' = 0 dựa vào đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f(x) - Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số - Bước 4: Kết luận về các điểm cực trị 2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x2 - 3).
Lời giải Chọn B Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'(x) như sau Hỏi hàm số g(x) = f(x2 - 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
Lời giải Chọn A Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực tiểu. Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + 2x là:
Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta có: Trên (-∞;-1) thì f'(x) > -2 ⇔ f'(x) + 2 > 0. Trên (-1;x0) thì f'(x) > -2 ⇔ f'(x) + 2 > 0. Trên (x0;+∞) thì f'(x) < -2 ⇔ f'(x) + 2 < 0. Bảng biến thiên của hàm g(x) Vậy hàm số g(x) = f(x) + 2x có 1 cực trị. 3. Bài tập vận dụng (có đáp án)Bài 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) trên R và đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ. Tìm số điểm cực trụ hàm số g(x) = f(x2 - 2x - 1).
Lời giải: Chọn D Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị. Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số g(x) = f(-x2 + 3x) có bao nhiêu điểm cực đại?
Lời giải: Chọn C Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị. Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(3 - x).
Lời giải: Chọn B Vậy hàm số g(x) = f(3 - x) có 3 điểm cực trị. Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f(x) + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?
Lời giải: Chọn B Ta có g'(x) = f'(x) + 3; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = -3. Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = -3. Dựa vào đồ thị ta suy ra Ta thấy x = -1, x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và x = 2 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số g(x) = f(x) + 3x có 3 điểm cực trị Bài 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = 2f(x) - x2 + 2x + 2017.
Lời giải: Chọn B Ta có g'(x) = 2f'(x)-2x + 2 = 2[f'(x)-(x-1)]. Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y = x-1 cắt đồ thị hàm số y = f'(x) tại 3 điểm: (-1;-2), (1;0), (3;2). Dựa vào đồ thị ta có đều là các nghiệm đơn Vậy hàm số y = g(x) có 3 điểm cực trị. Bài 6: Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f'(x). Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
Lời giải: Chọn C đều là các nghiệm đơn Bảng xét dấu Từ đó suy ra hàm số có 3 điểm cực trị. Bài 7: Cho hàm số f(x), bảng biến thiên của hàm số f'(x) như sau: Số điểm cực trị của hàm số y = f(4x2 - 4x) là
Lời giải: Chọn B Vậy phương trình y' = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị. Bài 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số đạt cực đại tại:
Lời giải: Chọn C Ta có g'(x) = f'(x) - x2 + 2x - 1; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = (x - 1)2. Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và parapol (P): y = (x-1)2. Dựa vào đồ thị ta suy ra Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = 1. Bài 9: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = 2f(x)+x2 đạt cực tiểu tại điểm
Lời giải: Chọn B Ta có g'(x) = 2f'(x) + 2x; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = -x. Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = -x. Dựa vào đồ thị ta suy ra Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 0. Bài 10: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = f[f(x)] có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải: Chọn C Dựa vào đồ thị suy ra: ● Phương trình (1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a(a > 2). ● Phương trình (2) có một nghiệm x = b(b > a). Vậy phương trình g'(x) = 0 có nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g(x) = f[f(x)] có 4 điểm cực trị. |
