Bài tập về phương pháp chỉ số ngược

Phương pháp tính ngược từ cuối là một trong số các phương pháp dùng để giải một số bài toán có văn ở tiểu học. Đây là phương pháp mà khi giải ta phải đi ngược từ các dữ liệu ở cuối của đề bài toán để tìm ra ddại lượng ban đầu. Cơ sở của phương pháp này chính là việc đi tìm các thành phần chưa biết trong một phép tính (Chẳng hạn: Tìm một số biết rằng nếu lấy số đó trừ đi 5 ta sẽ được kết quả là 10. Ở đây số phải tìm chính là số bị trừ chưa biết trong phép trừ: x – 5 = 10). Những bài toán dạng này rất đa dạng và phong phú, ta có thể áp dụng dạy cho học sinh từ lớp 1 đến lớp 5 ở bậc tiểu học. Việc hướng dẫn học sinh nắm được phương pháp giải các bài toán dạng này là một việc làm hết sức cần thiết đối với mỗi giái viên tiểu học, đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Làm thế nào để giúp học sinh tiểu học hình thành và phát triển được kĩ năng giải các bài toán dạng này? Hi vọng rằng với một chút ít kinh nghiệm dưới đây sẽ góp phần cùng các bạn đồng nghiệp giải quyết được vấn đề trên để nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng. Chúng ta cùng tìm hiểu qua cách giải một số bài toán cụ thể sau đây:

Đối với học sinh lớp 1: Ta có thể đi từ bài toán đơn giản sau đây:

Ví dụ 1: Tìm một số tự nhiên biết rằng nếu lấy số đó trừ đi 10 được bao nhiêu đem cộng với 1 ta sẽ được kết quả là 91.

Nhận xét: Để tìm được số tự nhiên đó, ta cần phải biết số đó sau khi trừ đi 10. Từ kết quả cuối cùng ta có thể tìm được số đó sau khi trừ đi 10.

- Như vậy, để giải quyết bài toán trên, ta cần đi từ kết quả cuối cùng là 91 để tìm được số đó sau khi trừ đi 10 (91 – 1 = 90) và từ đó tìm được số đó (90 + 10 = 100).

- Ta có thể hướng dẫn học sinh giải bài toán như sau:

Cho học sinh đọc kĩ đề bài toán và đặt các câu hỏi gợi ý như sau:

+ Số nào đem cộng với 1 sẽ được kết quả là 91? (Số 90 )

+ Làm thế nào ta tìm được số 90? (Áp dụng cách tìm một số hạng chưa biết của tổng. Lấy tổng là 91 trừ đi số hạng đã biết là1)

+ Số phải tìm sau khi trừ đi 10 sẽ là bao nhiêu? (90)

+ Ghi lời giải thứ nhất của bài toán, gọi học sinh nêu phép tính:

Số phải tìm sau khi trừ đi 10 là: 91 – 1 = 90

+ Hỏi tiếp: Số nào trừ đi 10 sẽ được 90? (Số 100)

+ Làm thế nào để tìm được số 100? (áp dụng cách tìm số bị trừ trong phép trừ. Lấy hiệu số là 90 cộng với số trừ là 10)

+ Vậy số phải tìm sẽ là bao nhiêu? (100)

+ Ghi lời giải thứ hai của bài toán, gọi học sinh nêu phép tính:

Số phải tìm là: 90 + 10 = 100

+ Ghi đáp số của bài toán : Đáp số: 100.

Trên cơ sở cách giải đã nêu, giáo viên hướng dẫn học sinh hình thành cách giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối như sau:

+ Gọi học sinh nêu cách làm gộp của bài toán: Số phải tìm là: 91 – 1 + 10 = 100.

+ Cho học sinh quan sát đề bài và yêu cầu học sinh nêu thứ tự các số đã cho trong đề bài từ cuối lên. (91; 1; 10)

+ Cho học sinh so sánh thứ tự các số vừa tìm được với thứ tự các số trong dãy tính của lời giải bài toán (Giống nhau)

+ Hỏi: Đề bài cho “Số đó trừ đi 10 rồi cộng với 1” thì trong lời giải ta đã thực hiện phép tính như thế nào? (Ngược lại: Lấy kết quả cộng với 1 rồi trừ đi 10)

- Từ đó hình thành cho học sinh cách giải bài toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối như sau:

Bước 1: Xác định thứ tự các số liệu đã cho trong đề bài theo thứ tự từ cuối lên.

Bước 2: Xác định các phép tính ngược với đề bài theo thứ tự từ cuối lên (Ngược với phép cộng là phép trừ, ngược với phép trừ là phép cộng.)

Bước 3: Đặt lời giải cho bài toán, thực hiện phép tính và ghi đáp số của bài toán.

Cho học sinh áp dụng cách giải trên để giải một số bài tập tương tự, có thể là:

Bài 1: Tìm một số tự nhiên biết rằng lấy số đó cộng với 15 rồi trừ đi 20 ta sẽ được kết quả là 25.

- Yêu cầu đặt ra đối với học sinh là:

+ Xác định thứ tự các số liệu đã cho từ cuối lên đó là: 25; 20; 15.

+ Xác định thứ tự các phép tính ngược từ cuối lên tạo thành dãy tính: 25 + 20 – 15.

+ Đặt lời giải cho bài toán, thực hiện phép tính và ghi đáp số của bài toán.

Số phải tìm là: 25 + 20 – 15 = 30.

Đáp số: 30.

Bài 2: Cô giáo có một số kẹo. Cô chia cho các bạn nam 20cái và chia cho các bạn nữ 15cái. Cô giáo còn lại 10cái kẹo. Hỏi lúc đầu cô giáo có bao nhiêu cái kẹo?

- Ở đây, cần chú ý học sinh: Chia cho các bạn tức là số kẹo của cô giáo bị trừ đi.

- Yêu cầu đặt ra đối với học sinh là:

+ Xác định thứ tự các số liệu đã cho từ cuối lên đó là: 10; 15; 20.

+ Xác định thứ tự các phép tính ngược từ cuối lên tạo thành dãy tính: 10 + 15 + 20.

+ Đặt lời giải cho bài toán, thực hiện phép tính và ghi đáp số của bài toán.

Lúc đầu cô giáo có số cái kẹo là: 10 + 15 + 20 = 45 (cái).

Đáp số: 45cái.

Bài 3: Huy có một số vở. Trong học kì 1, Huy đã viết hết 10quyển. Sau đó Huy lại được thưởng 15quyển nên số vở của Huy có tất cả là 20quyển. Tính số vở lúc đầu của Huy.

- Ở đây, cần chú ý học sinh: Viết hết tức là số vở bị trừ đi, được thưởng tức là số vở được cộng thêm.

- Yêu cầu đặt ra đối với học sinh là:

+ Xác định thứ tự các số liệu đã cho từ cuối lên đó là: 20; 15; 10.

+ Xác định thứ tự các phép tính ngược từ cuối lên tạo thành dãy tính: 20 – 15 + 10.

+ Đặt lời giải cho bài toán, thực hiện phép tính và ghi đáp số của bài toán.

Lúc đầu cô giáo có số cái kẹo là: 20 – 15 + 10 = 15 (quyển).

Đáp số: 15quyển.

Đối với học sinh lớp 2, lớp 3: Do các em đã học phép nhân, chia nên ta có thể đi từ một số bài toán mà trong dãy tính của lời giải có 2 phép nhân hoặc 2 phép chia, từ đó đi đến bài toán sau đây:

Ví dụ 2: Tìm một số tự nhiên, biết rằng nêu lấy số đó chia cho 3, được bao nhiêu đem cộng với 5 ta sẽ được kết quả là 15.

Nhận xét: Ta có thể hướng dẫn học sinh cách giải bài toán tương tự như đối với ví dụ 1 (Cần chú ý học sinh: Ngược với phép nhân là phép chia và ngược với phép chia là phép nhân.).

+ Xác định thứ tự các số liệu đã cho từ cuối lên đó là: 15; 5; 3.

+ Xác định thứ tự các phép tính ngược từ cuối lên tạo thành dãy tính: 15 – 5 x 3.

+ Đến đây cần hướng dẫn học sinh: Để thực hiện được phép trừ trước, ta cần thêm vào dãy tính trên dấu ngoặc đơn như sau: (15 – 5) x 3.

+ Đặt lời giải cho bài toán, thực hiện phép tính và ghi đáp số của bài toán.

Số phải tìm là: (15 – 5) x 3 = 30.

Đáp số: 30.

Từ bài toán trên, ta cần chú ý học sinh: Đối với những bài toán sau khi xác định được dãy tính mà có phép nhân hoặc phép chia đứng ở sau phép cộng hoặc phép trừ ta cần phải có thêm dấu ngoặc đơn để thực hiện được phép cộng hoặc phép trừ trước, sau đó mới thực hiện phép nhân hoặc phép chia.

Tương tự ví dụ 1, ta có thể cho học sinh áp dụng để giải một số bài toán sau đây:

Bài 1: Huy có một số bi. Huy chơi với Hoàng và ăn được của Hoàng một số bi bằng số bi của Huy. Sau đó Huy lại chơi với Định và bị thua mất 5viên. Cuối cùng Huy có tất cả 7viên. Hỏi lúc đầu Huy có bao nhiêu viên bi?

Bài 2: Huy có một số bi. Huy chơi với Định và thua mất một nửa số bi của Huy. Sau đó Huy lại chơi với Tuấn và ăn được 5viên. Cuối cùng Huy có tất cả 7viên. Hỏi lúc đầu Huy có bao nhiêu viên bi?

- Cần chú ý học sinh: Huy ăn được của Hoàng số bi bằng số bi của Huy tức là số bi của Huy tăng lên gấp đôi hay nhân với 2. Huy bị thua mất một nửa số bi tức là số bi của Huy phái chia cho 2.

Từ ví dụ 2 ta có thể cho học sinh làm tiếp ví dụ 3 sau đây:

Ví dụ 3: Tìm một số tự nhiên biết rằng lấy số đó đem chia cho 3 rồi cộng với 4 sau đó trừ đi 5, cuối cùng nhân với 6 ta sẽ được kết quả là 4008.

Nhận xét: Ta cóp thể hướng dẫn học sinh cách giải tương tự như đối với ví dụ 2 như sau:

+ Xác định thứ tự các số liệu đã cho từ cuối lên đó là: 4008; 6; 5; 4; 3.

+ Xác định thứ tự các phép tính ngược từ cuối lên tạo thành dãy tính: 4008 : 6 + 5 – 4 x 3.

+ Đến đây cần hướng dẫn học sinh cách thêm dấu ngoặc vào dãy tính như sau: (4008 : 6 + 5 – 4) x 3.

+ Đặt lời giải cho bài toán, thực hiện phép tính và ghi đáp số của bài toán.

Số phải tìm là:(4008 : 6 + 5 – 4) x 3 = 2007.

Đáp số: 2007.

- Ở đây cần chú ý học sinh cách đặt thêm dấu ngoặc như sau: Nếu trong dãy tính có phép nhân hoặc phép chia đứng ở ngay sau phép cộng hoặc phép trừ thì ta cần đặt dấu ngoặc ngay trước phép nhân hoặc phép chia đó.

Tương tự ví dụ 1, ta có thể cho học sinh áp dụng để giải một số bài toán sau đây:

Bài 1: Một cửa hàng nhập về một số vải. Ngày đầu tiên bán được một nửa số mét vải. Ngày thứ hai lại bán được thêm 30m, nhưng sau đó cửa hàng lại nhập thêm 65m nữa. Đến ngày thứ ba cửa hàng lại bán được số mét vải bằng số mét vải còn lại. Đến ngày thứ tư cửa hàng lại bán được 35m và còn lại 5m. Hỏi lúc đầu cửa hàng đã nhập về bao nhiêu mét vải?

Bài 2: Một người phải đi một quãng đường. Trong giờ đầu người đó đi được 12km. Trong 2giờ sau đó, người đó đi được một nửa quãng đường còn lại sau giờ đầu. Trong 3giờ tiếp theo người đó đi được 30km. Tính ra người đó còn phải đi 5km nữa mới hết quãng đường. Hỏi quãng đường người đó phải đi dài bao nhiêu ?