Chuyên đề bài tập cấp số cộng và cấp số nhân nâng cao – Nguyễn Đình Sỹ
LINK TẢI
Với 20 dạng bài Dãy số, Cấp số cộng và cấp số nhân chọn lọc Toán lớp 11 tổng hợp các dạng bài tập, 200 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng và cấp số nhân từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
Cách tìm số hạng thứ n của dãy số
Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát: un = f[n]. Khi đó số hạng đứng thứ k của dãy số là: uk = f[k].
Ví dụ 1: Cho dãy số [un] với un = 2n+ 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. u3 là số nguyên tố. B. u5 không chia hết cho 5
C. u7 = 15 D. u8 = 18
Hướng dẫn giải:
Ta xét các phương án:
+ Ta có: u3 = 2 . 3 + 1 = 7 là số nguyên tố
=> A đúng
+ u5 = 2 . 5 + 1 = 11 là số không chia hết cho 5.
=> B đúng
+ u7 = 2 . 7 + 1 = 15 nên C đúng .
+ u8 = 2 . 8 + 1 = 17 nên D sai
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho dãy số [un] với
Hướng dẫn giải:
Ta xét các phương án:
+ Ba số hạng đầu tiên của dãy số là:
+ Tổng hai số hạng đầu tiến là:
+ Số hạng thứ 10 là
+ ta có:
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho dãy số [un ] được xác định bởi u1 = 1 và
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Và
Chọn A.
Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng
* Để chứng minh dãy số [un] là một cấp số cộng, ta xét A = un+1 − un
Nếu A là hằng số thì [un] là một cấp số cộng với công sai d = A.
Nếu A phụ thuộc vào n thì [un] không là cấp số cộng.
* Ngoài ra; để chứng minh dãy số [un] không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra: tồn tại số nguyên dương k sao cho: uk+1 − uk ≠ uk − uk−1
Ví dụ 1: Chứng minh dãy số [un] với un = 17n + 2 là cấp số cộng
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 17[n + 1] + 2 = 17n + 19
=> Hiệu: un+1 – un = [17n + 19] − [17n + 2] = 17
Suy ra: [un] là cấp số cộng với công sai d = 17.
Ví dụ 2: Chứng minh dãy số [un] với un = 10 − 5n là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 10 − 5[n+1]= 5 − 5n.
Xét hiệu: un+1 − un = [5 − 5n] − [10 − 5n] = −5
=> [un] là một cấp số cộng với công sai d = −5.
Ví dụ 3: Cho dãy số [un] với un = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số [un] không phải là cấp số cộng .
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 2n+1 + 3
Xét hiệu: un+1 − un = [2n+1 + 3] − [2n + 1]= 2n+1 − 2n
=> [un+1 − un] không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số [un] không là cấp số cộng.
Điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân
Ba số hạng uk, uk+1, uk+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi
Ba số hạng uk, uk+1, uk+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi
Bài 1: Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2 Tìm n.
Lời giải:
Khi xen vào giữa hai số -3 và 23 n số hạng thì ta được một CSC với công sai d = 2. Nên suy ra CSC trên có n + 2 số hạng và 23 là số hạng thứ n + 2.
Khi đó ta có: 23 = -3 + [n + 1]2 ⇒ n = 12.
Bài 2: Cho các số -4, 1, 6, x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x?
Lời giải:
Vì dãy số -4, 1, 6, x theo thứ tự lập thành một CSC nên ta có: [x+1]/2=6 ⇔ x=11.
Bài 3: Với giá trị x nào dưới đấy thì các số -4, x, -9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
Lời giải:
Vì dãy số -4, x, -9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:
x2=36 ⇔ x = ±6.
Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu 30 bài tập Cấp số cộng và cấp số nhân nâng cao, tài liệu bao gồm 13 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
30 bài tập Cấp số cộng và cấp số nhân nâng cao
1. viết số hạng tổng quát của dãy số tự nhiên , mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 3 còn dư 2 .
2. Dãy số un được xác định bằng công thức quy nạp : u1 = 3; un+1 = 2un . Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó và tích 4 số hạng đầu của dãy số .
3. Tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bằng công thức quy nạp :
a. u1 = 3, un+1 = 2 + \[\frac{1}{2}\]un
b. u1 = a, un+1 = a + bun [Với a,b là hằng số ]
4. Các dãy số sau có đơn điệu không ?
a. un = \[\frac{1}{{{n^2} + 1}}\]
b. \[{u_n} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\]
c. \[{u_n} = {\left[ { - \frac{1}{2}} \right]^n}\]
5. Với giá trị nào của a,b ,dãy số : un = \[\frac{{{a_n} + 2}}{{{b_n} + 1}}\]là một dãy số không giảm ,tăng?giảm?
6. Trong các dãy số sau , dãy số nào bị chặn ? Bị chặn trên hay bị chặn dưới ?
a. un = 2n – 1
b. un = \[\frac{1}{{{n^2}}}\]
c. \[{u_n} = \frac{1}{{n[n + 1]}}\]
d. un = 3. 2n-1
e. \[{u_n} = {\left[ {\frac{{ - 1}}{3}} \right]^n}\]
7. Cho dãy số : un = \[\frac{{n - 1}}{n}\]; vn = \[\frac{{n + 2}}{n}\]. Tính: \[\left[ {{u_n} \pm {v_n}} \right];\left[ {{u_n}.{v_n}} \right];\left[ {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right]\]
II. CẤP SỐ CỘNG .
1. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Tìm ba góc đó ?
2. Chứng minh tam giác ABC có ba góc với : cot \[\frac{A}{2}\] ,cot \[\frac{B}{2}\] ,cot \[\frac{C}{2}\] theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thì ba cạnh theo thứ tự đó cũng tạo thành một cấp số cộng ?
3. Số hạng thứ 2 và số hạng thứ 7 của một cấp số cộng có tổng bằng 92, số hạng thứ tư và số hạng thứ 11 có tổng bằng 71 . Tìm 4 số hạng đó ?
4. Một cấp số cộng có 11 số hạng . Tổng các số hạng đó bằng 176 . Hiệu số hạng cuối và số hạng đầu là 30 . Tìm cấp số đó ?
5. Bốn số hạng lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm 4 số đó ?
6. Năm số lập thành một cấp số cộng . Biết tổng S , tích P của chúng . Tìm năm số đó
7. Bốn số nguyên lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 20, tổng các ngịch đảo của chúng bằng \[\frac{{25}}{{24}}\]. Tìm bốn số đó ?
8. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau : hàng thứ nhất có 1 cây , hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây , v.v...Hỏi có bao nhiêu hàng ? 9. Xác định cấp số cộng sao cho tổng n số hạng đầu bằng n+1 lần một nửa số hạng thứ n
III. CẤP SỐ NHÂN
1. Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất u1 = 2 , công bội q bằng 3, và 5 số hạng . Tìm số hạng cuối cùng và tổng của 5 số hạng đó ?
Bài tập bổ sung và hướng dẫn giải phần : BÀI TẬP TỔNG HỢP
2. Trong một cấp số nhân có 9 số hạng , biết số hạng đầu u1 = 5 và số hạng cuối u9 = 1280 . Tìm công bội q và tổng S các số hạng ?
3. Tìm số hạng của một cấp số nhân :
a. Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3 , số hạng cuối là 243 ?
b. Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1 ?
c. Trong cấp số nhân , cho q =\[\frac{1}{4}\], n=6, và S=2730 . Tìm u1; u6, .
4. Tìm bốn góc của một tứ giác , biết các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối bằng 9 lần góc thứ 2 ?
5. Tổng ba số hạng của một cấp số nhân là 248 , hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 192. Tìm ba số hạng đó ?
6. Chứng minh rằng nếu ba cạnh của một tam giác lập thành một cấp số nhân thì công bội của cấp số đó ắt phải nằm giữa\[\frac{1}{2}\left[ {\sqrt 5 - 1} \right]\] và \[\frac{1}{2}\left[ {\sqrt 5 + 1} \right]\].
7. Tính tổng các cạnh của một hình hộp chữ nhật , biết rằng thể tích của chúng bằng a3 , diện tích toàn phần của nó bằng 2ma2 và các cạnh lập thành một cấp số nhân ?
IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Giả sử x1;x2;…xn \[ \in \mathbb{R}\] và x1.x2 ….xn = 1. Chứng minh x1+ x2 + ….+ xn \[ \ge n\]
2. Chứng minh \[\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^n}\] với \[a \ge 0,b \ge 0,n \in N*\]
3. Xét tính bị chặn và tính đơn điệu của các dãy số sau ?
a. un = \[\frac{{{n^2} + 1}}{n}\]
b. un = [-1]n-1 sin \[\frac{1}{n}\]
4. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,...... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21..., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho ?
5. Cho phương trình : x4 + 3x2 – [24 + m]x – 26 – n = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x1;x2;x3 lập thành một cấp số cộng ?
6. Tìm m để phương trình x4 – [3m + 5]x2 + [m + 1]2 = 0 có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng ?
7. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân . Chứng minh rằng tam giác ABC có hai góc không quá 600 ?
8. Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng \[16\frac{4}{9}\], đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng .
9. Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội q =1/4 số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24 . Tìm cấp số nhân đó ?
10. Xen vào giữa hai số : 4 và 40 bốn số để dược một cấp số cộng ? Tìm bốn số đó ?
11. Tính tổng :
S = \[{\left[ {2 + \frac{1}{2}} \right]^2} + {\left[ {4 + \frac{1}{4}} \right]^2} + ... + {\left[ {{2^n} + \frac{1}{{{2^n}}}} \right]^2}\]
12. Với giá trị nào của a , ta có thể tìm được các giá trị của x để các số :
5x+1 + 51-x, \[\frac{a}{2}\], 25x + 25-x lập thành một cấp số cộng ?
13. Chứng minh rằng dãy số : an = 2.3n lập thành một cấp số nhân và tính tổng của 8 số hạng đầu tiên của nó ?
14. Giả sử a,b,c,d lập thành một cấp số nhân . Hãy tính giá trị biểu thức :
[a – c]2 + [b – c]2 + [b – d]2 – [a – d]2
15. Giả sử các số : 5x-y,2x+3y, và x+2y lập thành một cấp số cộng , còn các số :
[y +1]2, xy + 1, [x -1]2 lập thành cấp số nhân . Tìm x,y ?
16. Cho một cấp số cộng : u1;u2;u3;u4. Chứng minh rằng nếu :
\[\left| {{u_1}{u_4} - {u_2}{u_3}} \right| \le 6\]thì biểu thức A= \[\sqrt {[x - {u_1}][x - {u_2}][x - {u_3}][x - {u_4}] + 9} \]có nghĩa với mọi x ?
17. Chứng minh rằng : Nếu 0 1 ].
Û x1+ x2 + ….+ xk \[ \ge k\] \[\forall {x_1}{x_2}...{x_k} = 1\] [*]
Nếu với mọi xk = 1 thì hiển nhiên : x1+ x2 + ….+ xk + xk+1 \[ \ge k\]+1.
Nếu trong k+1 số có ít nhất một số lớn hơn 1 , thì ắt phải có số nhỏ hơn 1.
Không giảm tính tổng quát , giả sử xk >1 và xk+1 < 1 khi đó ta có:
[1 - xk+1][ xk – 1] > 0 Û xk + xk+1 >1 + xkxk+1 [1]
Do đó: x1+ x2 + ….+ xk + xk+1 > x1+ x2 + ….+ xk +xk-1 + xkxk+1 [2]
Theo giả thiết quy nạp , ta suy ra từ k số ở vế phải :
x1+ x2 + ….+ xk +xk-1 + xkxk+1 \[ \ge k\] [3]
Từ [2] và [3] suy ra x1+ x2 + ….+ xk + xk+1 > k + 1.
Bài 2. Chứng minh \[\frac{{{a^n} + {b^n}}}{2} \ge {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^n}\] với \[a \ge 0,b \ge 0,n \in N*\]
HƯỚNG DẪN
- Với n=1 . Mệnh đề đúng
- Giả sử mệnh đề đúng với n=k [ Với k>1 ] :
Û \[\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^k}\] [1]
- Ta phải chứng minh : \[\frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^{k + 1}}\]
Thật vậy , ta nhân hai vế của [1] với \[\frac{{a + b}}{2}\], ta có:
Û \[\frac{{{a^k} + {b^k}}}{2} \ge {\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^k}\].\[\frac{{a + b}}{2}\]= \[{\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^{k + 1}}\]
Û \[\frac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4}\]\[ \ge \] \[{\left[ {\frac{{a + b}}{2}} \right]^{k + 1}}\] [2]
Nhưng với a > 0,b > 0 thì : [ak – bk][a – b] ³ 0
Û ak+1 + bk+1 ³ akb + abk
Cho nên : \[\frac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4}\] £ \[\frac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2}\] [3]
So sánh [2] và [3] ta được điều phải chứng minh .
Bài 3.Xét tính bị chặn và tính đơn điệu của các dãy số sau ?
a. un = \[\frac{{{n^2} + 1}}{n}\]
b. un = [- 1]n-1 sin \[\frac{1}{n}\]
HƯỚNG DẪN
a. un = \[\frac{{{n^2} + 1}}{n}\] = n + \[\frac{1}{n}\]. Ta thấy un = \[\frac{{{n^2} + 1}}{n}\] ³ \[\frac{{2\sqrt {{n^2}.1} }}{n}\]= 2. Cho nên đây là một dãy số tăng , bị chặn dưới bởi m=2 . [ Nhưng không bị chặn ].
b. un = [- 1]n-1 sin \[\frac{1}{n}\]
- Xét hiệu : un+1 – un = [- 1]n \[\left[ {\sin \frac{1}{{n + 1}} + \sin \frac{1}{n}} \right]\]. Vì biểu thức trong dấu móc luôn dương với mọi thuộc N* cho nên un+1 – un > 0, khi n chẵn , còn un+1 – un < 0 khi n là lẻ . Vì vậy dãy số đã cho không tăng và cũng không giảm [ Không đơn điệu ].
Mặt khác : - 1 < sin \[\frac{1}{n}\] £ 1 Þ - 1[ -1]n-1 £ un £ 1[-1]n-1 Û [-1]n £ un £ -1n
Có nghĩa là : un Î [1;1] Þ \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{M = 1}\\{m = 1}\end{array}} \right.\]. Dãy số bị chặn .
Bài 4. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,...... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21..., 7n. số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho ?
HƯỚNG DẪN
Theo đầu bài ta có : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_1} = 7}\\{{u_3} - {u_2} = 14}\\{{u_4} - {u_3} = 21}\\{..............}\\{{u_n} - {u_{n - 1}} = 7[n - 1]}\end{array}} \right.\]
Cộng các vế của các phương trình của hệ ta dược :
Û un – u1 = 7 + 14 + 21 + ….+ 7[n -1] = 7 \[\frac{{n[n - 1]}}{2}\]
Û n2 – n – 10100 = 0 ® n = 101.
Do đó : 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số.
Bài 5. Cho phương trình : x4 + 3x2 – [24 + m]x – 26 – n = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x1;x2;x3 lập thành một cấp số cộng ?
HƯỚNG DẪN
Vì 3 nghiệm phân biệt x1;x2;x3 lập thành cấp số cộng , nên ta có thể đặt :
x1 = x0 – d, x2 = x0, x3 = x0 + d [d ¹ 0]. Theo giả thiết ta có :
x3 + 3x2 – [24 + m]x – 26 – n
= [x – x1][x – x2][x – x3]
= [x – x0 + d][x – x0][x – x0 – d]
= x3 – 3x0x2 + [3x02 – d2]x - x03 + x0d2 ["x].
Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ :
Û \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3{x_0} = - 1}\\{3 - {d^2} = - [24 + m]}\\{1 - {d^2} = - 26 - n}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = - 1}\\{3 - {d^2} = - 24 - m}\\{1 - {d^2} = - 26 - n}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = - 1}\\{m = n}\end{array}} \right.} \right.\]
Vậy với m=n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng .
Xem thêm