Bài tập giải tích 1 giới hạn hàm số

Định nghĩa 1.1 Dãy số[xn]được gọi làdãy tăng [dãy giảm]nếu như với mọin∈N luôn có bất đẳng thứcxn< xn+1[xn< xn+1].

Ví dụ 1.1 Dãyxn= [1 +n 1 ]n,[n∈N]là dãy tăng.

Chứng minhìxn= [1 + 1 n]n> 0 nên ta chỉ cần chứng minhxnx+1n > 1 .Ta có xn+ xn =

[1 +n+1 1 ]n+ [1 + 1 n]n =

[nn+2+1]n+ [n+1n ]n =

[n+ nn+1+ n

]n+ .n+ 1n =

[ n 2 + 2n n 2 + 2n+ 1

]n+ .n+ 1n = [ 1 −[n+ 1] 12

]n+ .n+ 1n >

[

1 −n+ 1 1

]

.n+ 1n =n+ 1n .n+ 1n = 1 [Bất đẳng thức Bernuli.] Chứng minh rằng, nếu sốh >− 1 vàh 6 = 0thì luôn có bất đẳng thức[1 +h]n>1 +nhvới mọi số tự nhiênn> 2. Chú ý rằng dấu đẳng thức có được là do dùng bất đẳng thức Bernuli. Như vậyxn< xn+1

Ví dụ 1.1 Dãy sốxn= [1 +n 1 ]n+1,[n∈N]là dãy giảm.

Chứng minhìxn= [1 + 1 n]n+1> 0 nên ta chỉ cần chứng minhxxnn+1 > 1 .Ta có xn xn+1=

[1 +n 1 ]n+ [1 +n+1 1 ]n+2=

[n+1n ]n+ [nn+2+1]n+2=

[n+ nn+ n+

]n+ .n+ 1n =

[n 2 + 2n+ 1 n 2 + 2n

]n+ .n+ 1n = [ 1 +n[n 1 + 2]

]n+ .n+ 1n >

[

1 +n 1

]

.n+ 1n =n+ 1n .n+ 1n = 1. Chú ý rằng dấu bất đẳng thức có được là do dùng bất đẳng thức Bernuli. Như vậyxn> xn+1 2. Tính bị chặn.

Định nghĩa 1.1 Dãy số[xn]⊂ Rđược gọi là bị chặn trên [dưới], nếu như tồn tại số ∃M∈R[m∈R],sao cho với mọi∀n∈Nluôn cóxn 6 M[xn>m].

SốM[m]được gọi là cận trên [cận dưới] của dãy[xn].

Định nghĩa 1.1 Dãy số[xn]⊂Rđược gọi là bị chặn, nếu nó bị chặn trên và chặn dưới có nghĩa là nếu như tồn tại số∃M, m∈Rsao cho với mọi∀n∈Nluôn cóm 6 xn 6 M.

Định nghĩa 1.1 Dãy số[xn]⊂Rđược gọi là không bị chặn trên [dưới], nếu như với mọi số∀M∈R[m∈R],tồn tại số hạng của dãy sốxn 0 sao choxn 0 > M [xn 0 < m].

Ví dụ 1.1 Dãy sốxn= [1 +n 1 ]n+1[n∈N]bị chặn dưới bởi sốm= 0,và bị chặn trên bởi sốM= [1 + 1] 2 = 4.

Chứng minhì dãy này là dãy giảm nên với mọi∀n∈Nluôn cóxn 6 x 1 = 4. Với mọi∀n∈Nta cóxn> 0 

Ví dụ 1.1 Dãy sốxn= [1 + 1 n]n,[n∈N]bị chặn dưới bởi sốm= 0và bị chặn trên bởi sốM= 4.

Chứng minhới mọi∀n∈Nluôn cóxn> 0 ,vàxn= [1 +n 1 ]n 0 tồn tại sốN=N[ε]sao cho với mọi∀n > Nluôn có bất đẳng thức|xn−a|< ε.

1.2 Dãy con

Định nghĩa 1.2 Cho dãy số[xn]⊂Rvàn 1 < n 2 .. .>xn>.. .>z],thì nó có giới hạn hữu hạn. Còn nếu

như dãy số đơn điệu tăng [giảm][xn]⊂Rkhông bị chặn trên [dưới] thì giới hạn của nó là +∞[−∞].

Ví dụ 1.3 Chứng minh rằng dãy số[xn] = [1 + 1 n]n[n∈N]có giới hạn hữu hạn. Giới hạn này được kí hiệu làe.

Chứng minhư ta đã biết dãy[xn]trên là dãy tăng và bị chặn trên. Vì vậy theo định lý Weierstrass tồn tại giới hạn hữu hạn

nlim→∞[1 + 1 n]n=e. Chú ý.Sốelà số siêu việt [không phải là số đại số]. Nó không là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên có bậcn> 1 .Sốe≈ 2 , 718281828459045 ,số này còn được gọi là số Neper hay số Ơle.

1 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số

1.4 Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số

Bài 1.4 Tìm giới hạnI= limn→∞

[ n 2 n+ 1−

n 3 n 2 + 1

].

Giải. I= limn→∞n

2 [n 2 + 1]−n 3 [n+ 1] [n+ 1][n 2 + 1] = limn→∞

n 2 −n 3 [n+ 1][n 2 + 1]= limn→∞

n 1 − 1 [1 +n 1 ][1 +n 12 ]=− 1.

Bài 1.4 Tìm giới hạnI= limn→∞ [n+ 1]

4 −[n−1] 4 [n 2 + 1] 2 −[n 2 −1] 2. Giải. I= limn→∞[n+ 1−n+ 1][n+ 1 +n−1][[n+ 1]

2 + [n−1] 2 ] [n 2 + 1−n 2 + 1][n 2 + 1 +n 2 −1] = limn→∞

2 n[n 2 + 1] n 2 =∞.

Bài 1.4 Tìm giới hạnI= limn→∞n[√n 2 − 11 −n].

Giải. I= limn→∞

√n 2 −1 +n n[n 2 − 1 −n 2 ]= limn→∞

√

1 −n 12 + 1 − 1 =− 2.

Bài 1.4 Tìm giới hạnI= limn→∞

√n 2 + 1−n √n+ 1−√n.

Bài 1.4 I= limn→∞√nn

Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta có n= [1 + [√nn−1]]n= 1 +n[√nn−1] +n[n 2 + 1][√nn−1] 2 +.. .+ [√nn−1]n.

Với mọi∀n > 1 ta cón >n[n 2 +1][√nn−1] 2 .Do đó với mọi∀n > 1 , 0 1 ta cóa > n[√na−1].Do đó 0 < √na− 1 < anặt khácnlim→∞an = 0nên

nlim→∞√na−1 = 0hayI= 1.

Bài 1.4 I= limn→∞qn, |q|< 1.

Giải. Nếuq= 0thìI= 0. Nếuq 6 = 0thì ta có| 1 q|> 1 ,do đó| 1 q|= 1 +h, h > 0 .Từ đó theo bất đẳng thức Bernouli ta có 1 |q|n = [1 +h]

n>1 +nh > nh⇒ 0 1.

Giải. Theo công thức nhị thức Newton ta có an= [1 + [a−1]]n= 1 +n[a−1] +n[n 2 + 1][a−1] 2 +.. .+ [a−1]n.

Vớia > 1 ta cóan > n[n 2 +1][a−1] 2. Do đó 0 < ann < [n+ 1][ 2 a−1] 2 .Mặt khác

nlim→∞[n+ 1][ 2 a−1] 2 = 0nênI= 0.

Bài 1.4 I= limn→+∞[−1]

n nα , α > 0 Giải. Vớiα > 0 ta có − 1 nα 6

[−1]n nα 6

1

nα Mặt khácnlim→∞−nα 1 = limn→∞n 1 α = 0nênI= 0.

1.4 Sử dụng giới hạn cơ bảnn→lim+∞qn= 0, |q|< 1 để tìm giới hạn của dãy của dãy

Bài 1.4 Tìm giới hạn của dãyan=1 + 7

n+ 3 − 7 n Giải. Chia tử số và mẫu số cho 7 nta có

an= 71 n+ 7 2 73 n− 1

Do đónlim→∞an= limn→∞ 71 n+ 7 2 73 n− 1 =− 49 vìnlim→∞

1

7 n= 0.

Bài 1.4 Tìm giới hạnnlim→∞ 2

n+2+ 3n+ 2 n+ 3n Giải. Chia tử số và mẫu số cho 3 nta có

an=

1. 2 nn+ 3 3 23 nn+ 1

Do đónlim→∞an= limn→∞

1. 2 nn+ 3 3 23 nn+ 1 = 27vìnlim→∞

2 n 3 n= 0.

Bài 1.4 Tìm giới hạnnlim→∞ 5. 2

n− 3. 5 n+ 100. 2 n+ 2. 5 n Giải. Chia tử số và mẫu số cho 5 nta có

an=

1. 2 nn− 3. 5 1005 n. 2 n+ 2

Do đónlim→∞an= limn→∞

1. 2 nn− 3. 5 1005 n. 2 n+ 2=− 15

2 vìnlim→∞

2 n 5 n= 0.

Bài 1.4 Chứng minh rằng dãyan=5 + 1 1 + 521 + 1+.. .+ 5 n 1 + 1hội tụ.

Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì an+1=an+ 5 n+1 1 + 1

nênan+1> an. Dãyanbị chặn trên. Thật vậy an=5 + 1 1 + 521 + 1+.. .+ 5 n 1 + 1< 15 + 512 +.. .+ 51 n=

15 − 5 n 1 + 1 − 15 =

14[

1 − 51 n

]< 14.

Như vậy, dãyanđã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.

Bài 1.4 Chứng minh rằng dãyan=3 + 1 1 + 321 + 2+.. .+ 3 n 1 +nhội tụ.

Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu tăng. Thật vậy, vì an+1=an+ 3 n+1+ 1 n+ 1

nênan+1> an. Dãyanbị chặn trên. Thật vậy an=3 + 1 1 + 321 + 2+.. .+ 3 n 1 +n< 13 + 312 +.. .+ 31 n=

13 − 3 n 1 + 1 − 13 =

12[

1 − 31 n

]< 12.

Như vậy, dãyanđã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ.

Bài 1.4 Chứng minh rằng dãyan= 2

n n! hội tụ và tìm giới hạn của nó. Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì an+ an =

[ 2 nn+1]!+ 2 nn! =

2

n+ 1< 1 ,∀n > 1.

nênan+1< an. Dãyanbị chặn dưới bởi 0 vìan> 0 .Như vậy, dãyanđã cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ. Giả sửnlim→∞an =a cóan+1= n+ 1 2 anấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n→∞ta được

nlim→∞an+1= limn→∞n+ 1 2 .nlim→∞an.

Do đóa= 0⇒a= 0ậynlim→∞ 2

n n!= 0.

Bài 1.4 Cho dãya 1 =√ 2 , an+1=√ 2 anứng minh rằng dãy[an]hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu tăng vìa 1 < a 2 < a 3 0.

Chứng minh rằng dãy[xn]hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Giải. Dãyanlà dãy đơn điệu tăng vìx 1 < x 2 < x 3 0 sao cho với mọi∀x∈X thỏa mãn bất đẳng thứcx > N[x N]luôn có bất đẳng thức|f[x]−A|< ε.

2 Giới hạn của hàm số từ một phía

Cho hàm sốf[x]xác định trên tập hợpX⊂Rvàa∈Rlà điểm giới hạn của tập hợpX này.

Định nghĩa 2.4 Số+∞[−∞,∞]được gọi là giới hạn của hàm sốf[x]khix→anếu như với mọi∀M > 0 tồn tại sốδ=δ[M]> 0 sao cho với mọi ∀x∈X\athỏa mãn bất đẳng thức|x−a|< δluôn có bất đẳng thứcf[x]> M[f[x] M].

2 Giới hạn vô cùng của hàm số tại điểm vô cùng

Cho hàm sốf[x]xác định trên tập hợpX⊂Rvà+∞[−∞,∞]là điểm giới hạn của tập hợpX.

Định nghĩa 2.5 Số+∞[−∞,∞]được gọi là giới hạn của hàm sốf[x]khix→+∞[x→ −∞, x→∞]nếu như với mọi∀M > 0 tồn tại số∃N=N[M]> 0 sao cho với mọi∀x∈X thỏa mãn bất đẳng thứcx > N[x N]luôn có bất đẳng thứcf[x]> M[f[x]< −M,|f[x]|> M].

2 Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Cho hàm sốα=α[x]xác định trên tập hợpX⊂Rvà sốa∈Rlà điểm giới hạn của tập hợpX.

Định nghĩa 2.6 Hàm sốα=α[x]được gọi là hàm vô cùng bé khix→a,nếu như giới hạn của nó bằng0 : limx→aα[x] = 0.