Sử dụng đường tròn lượng giác, chúng ta có các khái niệm và kết quả sau:
1.2. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Bạn cần nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt $ 0,\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2},\pi $ như trong bảng sau:
1.3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt [cung liên kết]
Giá trị lượng giác của các cung có liên quan cos đối – sin bù – phụ chéo – khác $ \pi $ tan; hơn nhau ở tuổi 90…; hơn kém chẵn $ \pi $ thì sin-cos…
| STT | Hai cung | Gọi là hai cung | Công thức | Cách nhớ |
| 1 | $\left[ -a \right]$ và $a$ | Đối nhau | $\cos [-a]=\cos a$
$\sin [-a]=-\sin a$ $\tan [-a]=-\tan a$ $\cot [-a]=-\cot a$ |
Cos đối |
| 2 | $\left[ \pi -a \right]$ và$a$ | Bù nhau | $\sin [\pi -a]=\sin a$
$\cos[\pi -a]=-\cos a$ $\tan [\pi -a]=-\tan a$ $\cot [\pi -a]=-\cot a$ |
Sin bù |
| 3 | $\left[ \frac{\pi }{2}-a \right]$ và $a$ | Phụ nhau | $\sin \left[ \frac{\pi }{2}-a \right]=\cos a$
$\cos\left[ \frac{\pi }{2}-a \right]=\sin a$ $\tan \left[ \frac{\pi }{2}-a \right]=\cot a$ $\cot \left[ \frac{\pi }{2}-a \right]=\tan a$ |
Phụ chéo |
| 4 | $\left[ \pi +a \right]$ và $a$ | Sai khác $\pi $ | $\tan [\pi +a]=\tan a$
$\cot [\pi +a]=\cot a$ $\sin [\pi +a]=-\sin a$ $\cos[\pi +a]=-\cos a$ |
Khác $\pi $ tan, cot |
| 5 | $\left[ \frac{\pi }{2}+a \right]$ và $a$ | Hơn $\frac{\pi }{2}$ | $\sin \left[ \frac{\pi }{2}+a \right]=\cos a$
$\cos\left[ \frac{\pi }{2}+a \right]=-\sin a$ $\tan \left[ \frac{\pi }{2}+a \right]=-\cot a$ $\cot \left[ \frac{\pi }{2}+a \right]=-\tan a$ |
2 cung hơn nhau $\frac{\pi }{2}$ thì sin [ cung lớn] = cos [ cung nhỏ] |
Mời thầy cô và các em xem thêm ở bài Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10
1.4. Các công thức lượng giác cơ bản
- $ \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x},\tan x\cot x=1 $
- $ \sin^2x+\cos^2x=1, 1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2 x}, 1+\cot^2x=\dfrac{1}{\sin^2x} $
1.5. Công thức cộng
1.6. Công thức nhân và hạ bậc
1.7. Công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng
2. Các dạng toán và ví dụ điển hình
Ví dụ 1. Biểu diễn các cung có số đo: $ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\dfrac{\pi}{6},\dfrac{13\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3},60^\circ+k120^\circ $ trên đường tròn lượng giác.
Ví dụ 2. Tính $ \tan 300^\circ,\sin[-780^\circ] $
Hướng dẫn.
$ \tan 300^\circ=-\sqrt{3},\sin[-780^\circ]=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. $
Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức
$ A=5\tan540^\circ+2\cos1170^\circ+4\sin990^\circ-3\cos540^\circ. $ $ B= 3\sin\dfrac{25\pi}{6}-3\tan\dfrac{13\pi}{4}+2\cos\dfrac{14\pi}{3}$ $ C=\dfrac{\sin[-234^\circ]-\cos216^\circ}{\sin144^\circ-\cos216^\circ}\cdot\tan36^\circ $
$ D=\sin[x+\pi]-\cos[\dfrac{\pi}{2}-x]+\cot[2\pi-x]+\tan[\dfrac{3\pi}{2}-x] $
Hướng dẫn.
$ A=-1, \quad B=-\dfrac{1}{2}, \quad C=1,\quad D=-2\sin x $
Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức
- $ \sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x $
- $ \sin^6x+\cos^6x=1-3\sin^2x\cos^2x $
- $ \dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x} $
- $ \dfrac{1+\cot x}{1-\cot x}=\dfrac{\tan x+1}{\tan x-1} $
Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:
$ A=[\tan x+\cot x]^2-[\tan x-\cot x]^2 $ $ B=[1-\sin^2x]\cot^2x+1-\cot^2x $ $ C=\tan x+\dfrac{\cos x}{1+\sin x} $
$ D=\dfrac{\cos x\tan x}{\sin^2x}-\cot x\cos x $
Hướng dẫn. $ A=4$, $B=\sin^2x$, $C=\dfrac{1}{\cos x}$, $D=\sin x $
Ví dụ 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào $ x $
$ A=\dfrac{\cot^2x-\cos^2x}{\cot^2x} $ $ B=\dfrac{[1-\tan^2x]^2}{4\tan^2x} $
$ C=2[\sin^6x+\cos^6x]-3[\sin^4x+\cos^4x] $
Hướng dẫn. $ A=1$, $B=-1$, $C=-1$
Ví dụ 7. Cho $ \cos\alpha=-\dfrac{3}{5} $ và $ 180^\circ