Bài tập chứng minh vuông góc lớp 11
Skip to content
Trang chủ » Hình Học 11 – Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳng Show
Chuyên đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình học 11 . Hệ thống lý thuyết đầy đủ và chi tiết, bao quát tất cả các dạng bài xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT, tóm tắt công thức giải nhanh dễ nhớ, dễ vận dụng – Bài tập luyện tập có hướng dẫn giải, bài tập trắc nghiệm có đáp án
Với Các dạng bài tập Hai đường thằng vuông góc chọn lọc, có lời giải Toán lớp 11 tổng hợp các dạng bài tập, 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hai đường thằng vuông góc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11. Cách xác định góc giữa hai vecto, góc giữa hai đường thẳngĐể tính góc giữa hai đường thẳng d1; d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1, d2 bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng). Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1, u2 của hai đường thẳng d1, d2 Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1, d2 xác định bởi cos(d1, d2) = Lưu ý 2: Để tính u1→, u2→, |u1→|, |u2→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1→, u2→ qua các vec tơ a→, b→, c→ rồi thực hiện các tính toán. Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và DH→ A. 45° B. 90° C. 120° D.60° Hướng dẫn giải: Vì DH→ = AE→ ( ADHE là hình vuông) nên (AB→, DH→) = (AB→, AE→) = ∠BAE = 90° (ABFE là hình vuông). Chọn B Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và EG→? A. 90° B. 60° C. 45° D. 120° Hướng dẫn giải Vì EG→ = AC→ ( tứ giác AEGC là hình chữ nhật) nên: Chọn C. Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa AC và DA’ là: A. 45° B. 90° C. 60° D. 120° Hướng dẫn giải Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương Khi đó, tam giác AB’C đều (AB' = B'C = CA = a√2) do đó ∠B'CA= 60° . Lại có, DA’ song song CB’ nên (AC, DA') = (AC, CB') = ∠ACB'= 60°. Chọn C Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây? Hướng dẫn giải Ta có : AC // A’C’ ( do AA’CC’ là hình bình hành) mà ∠DA'C' nhọn (do tam giác A’DC’ là tam giác nhọn) nên : (AC, A'D) = (A'C', A'D) = ∠DA'C' Chọn B Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chọn khẳng định sai? A. Góc giữa AC và B’D’ bằng 90° B. Góc giữa B’D’ và AA’ bằng 60° C. Góc giữa AD và B’C bằng 45° D. Góc giữa BD và A’C’ bằng 90°. Hướng dẫn giải Ta có (AA', B'D') = (BB', B'D') = ∠BB'C = 90°. Khẳng định B sai. Chọn B. Cách tính tích vô hướng của hai vectơTrong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ . Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→. v→, được xác định bởi công thức: Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→. v→ = 0→ Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB; DM) bằng : Hướng dẫn giải Giả sử cạnh của tứ diện là a. Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2. Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2. Chọn B. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60° . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và CD→ ? A. 60° B. 45° C . 120° D. 90° Hướng dẫn giải Chọn D Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và A. 120° B. 45° C. 60° D. 90° Hướng dẫn giải Chọn D Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° Hướng dẫn giải Xét: Vậy SC và AB vuông góc với nhau Chọn D Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gianĐể chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể làm theo các cách sau: + Gọi u→ và v→ là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng; chứng minh: u→. v→ = 0 ⇒ (u→ ; v→) = 90° + Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc. + Nếu a // a’; b // b’ và a ⊥ b thì a' ⊥ b' Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN. Hướng dẫn giải Gọi P là trung điểm của AB ⇒ PN; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD. Suy ra Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vuông tại P Do đó Chọn B Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Tứ giác không phải hình thang Hướng dẫn giải Ta có Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB và QP // CD Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành Lại có MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD) ⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật Chọn C Ví dụ 3: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình vuông D. Hình thang Hướng dẫn giải Vì M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A Gọi H là trung điểm của AB. Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên Suy ra AB ⊥ (CHC'). Do đó AB ⊥ CC' Ta có Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật Chọn B Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? A. A'C' ⊥ BD B. BB' ⊥ BD C. A'B ⊥ DC' D. BC' ⊥ A'D Hướng dẫn giải Chọn B Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi A đúng vì: Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB→.AC→ = AC→.AD→ = AD→.AB→ thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải: Bước 1: AB→.AC→ = AC→.AD→ ⇔ AC→.(AB→ - AD→) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD ⊥ BC và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB ⊥ CD Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. Đúng B. Sai từ bước 1 C. Sai từ bước 1 D. Sai bước 3 Hướng dẫn giải Chọn A. |