§3. HÀM SỐ BẬC HAI
- KIẾN THỨC CĂN BẢN Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức: y = ax2 + bx + c trong đó X là biến số; a, b, c là các hằng số và a* 0. Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c là một parabol có đỉnh I I và V 2a 4aJ nhận đường thẳng X = làm trục đối xứng. a > 0 X —co b 2a +00 y +00 -A / +00 4a
- Bảng biến thiên: X —00 b 2a +00 y -A 4a —00 —X a < 0 Căn cứ vào bảng biến thiên, khi a > 0 ta nói hàm số y = âx2 + bx + c đạt giá Định lí Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c Nghịch biến trên khoảng Đồng biến trên khoảng ^7p~’+cc Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c Đồng biến trên khoảng Nghịch biến trên khoảng
- PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Xác định toạ độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành [nếu có] cùa mỗi parabol: a] y = X2 - 3x + 2; t>] y = -2x2 + 4x - 3;
- y = X2 - 2x; d] y = -X2 + 4. ốjiải Ta có: a = 1, b = -3, c = 2. Hoành độ đỉnh Xo = - = ậ => y0 = - Ậ 2a 2 4 Vậy đỉnh I| |;y |. X = 0 => y = 2: [P] cắt trục tung tại điểm A[0; 2]. 3x + 2 = 0 [P] cắt trục hoành tại B[l; 0] và C[2; 0]. a = -2, b = 4, c = -3 b , Xo = -^7= 1 => y0 = -1 2a Đỉnh 1[1; -1], giao điểm với trục tung A[0; -3]. [P] không cắt trục hoành. Đỉnh 1[1; -1], cắt trục tung tại 0[0; 0], cắt trục hoành tại 0[0; 0] và B[2; 0]. Đỉnh 1[0; 4], cắt trục tung tại A[0; 4], cắt trục hoành tại B[2; 0] và C[-2; 0].
- y = 4x2 - 4x + 1; f] y = -X2 + X - 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- y = 3x2 - 4x + 1; d] y = -X2 + 4x - 4; y = -3x2 + 2x - 1; e] y = 2x2 + X + 1; 6ịiải
- Hoành độ đỉnh Xo = - = - => yo = 2a 3 Trục đối xứng: X = 4 3 2
- Đinhlg;-!} Giao điểm với Oy là A[0; 1]. Bảng biến thiên và đồ thị:
- Đỉnh I[ ; 0] 2 Trục đô'i xứng: X = — 2 Giao điểm với Oy là A[0; 1]. Bảng biến thiên và đồ thị 1 -00 — 2 +x +00- +00
- Đỉnh 1[2; 0] Trục đôi xứng: X = 2 Giao điểm với Oy là A[0; -4]. Bảng biến thiên và đồ thị Trục đối xứng: X = - — 4 Giao điểm với Oy là A[0; 1]. X —00 -1 1 I 1 +00 y +00 7 +00 8
- Đỉnhl Trục đối xứng: x = 2 Giao điểm với Oy là A[0; -1]. Bảng biến thiên và đồ thị 1 ■00 — 2 +00 Xác định parabol y = ax2 + bx + 2 biết rằng parabol đó: Đi qua hai điểm M[1; 5] và N[-2; 8]; , .... . 3 Đi qua điếm A[3; -4] và có trục đối xứng là X = ; Có đỉnh là l[2; -2]; Đi qua điểm B[-1; 6] và tung ơộ của đỉnh là —ị . 4 tfiai
- Parabol y = ax2 + bx + 2 đi qua hai điểm M[l; 5], N[-2; 8] [4a - 2b + 2 = 8 Vậy parabol là: y = 2x2 + X + 2. a + b = 3 4a - 2b = 6 9a + 3b + 2 = -4
- Ta tìm a, b thỏa: 2a 9a + 3b = -6 b = 3a 1 a = - — 3 b = -1 Vậy parabol: y = “ X2 - X + 2. 3 Từ giả thiết, ta có: -^ = 2; = -2, hay b = -4a và 8a - b2 = -8a. 2a 4a Suy ra: a = 1; b = -4. Vậy y = X2 - 4x + 2. Từ giả thiết, ta có: 6 = a - b + 2; = - Ị hay a - b = 4 và 8a - b2 = -a. 4a 4 Suy ra: a = 1; b = -3 hoặc a = 16; b = 12. Vậy: y = X2 - 3x + 2 hoặc y = 16x2 + 12x + 2. Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c đi qua điểm A[8; 0] và có đỉnh là 1[6; -12]. Theo đề bài ta có: 64a + 8b + c = 0 _b 2a A . 4a = 6 = -12 64a + 8b + c = 0 b = -12a 12a + b = 0 ■ c = 32a • 4ac - b2 = -48a 128a2 - 144a2 = -48a 1 a = 3 b = -36 c = 96 => y = 3x2 - 36x + 96.
- BÀI TẬP LÀM THÊM Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số
- y = x2 + X + 1; y = -X2 + 2x - 1; y = -2x2 + X - 2; y = 3x2 - 2x - 1. y - 4x2 - 4x + 1; Cho hàm số y = X2 - 2x - 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đổ thị [P] của hàm số. Tìm giao điểm của đồ thị [P] với đường thẳng y = -X + 1. Tìm giao điểm của đồ thị [P] với đường thẳng y = 2x - 5. Vẽ đường thẳng này trên cùng hệ trục tọa độ của đồ thị [P]. Xác định các hệ số a, b và c để cho hàm số y = ax2 + bx + c đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi X = ^và nhận giá trị bằng 1 khi X = 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đó. Hàm số bậc hai lớp 10 xuất hiện trong rất nhiều các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao, được đưa vào cấu trúc đề của hầu hết các kỳ thi giữa kỳ, cuối kỳ đến thi THPT Quốc gia. Trong bài viết này, VUIHOC sẽ tổng hợp giúp các em học sinh toàn bộ lý thuyết hàm số bậc hai lớp 10, đi kèm là hướng dẫn chi tiết giải 4 dạng bài tập hàm số bậc hai điển hình.
1. Hàm số bậc hai lớp 10
1.1. Định nghĩa
Hàm số bậc hai lớp 10 được định nghĩa là dạng hàm số có công thức tổng quát là $y=ax^2+bx+c$, trong đó a,b,c là hằng số cho trước, $a\neq 0$.
Tập xác định của hàm số bậc hai lớp 10 là: $D=\mathbb{R}$
Biệt thức Delta: $\Delta =b^2-4ac$
1.2. Chiều biến thiên và bảng biến thiên
Cho hàm số bậc hai $y=ax^2+bx+c$ với $a>0$, chiều biến thiên của hàm só bậc hai lớp 10 khi đó là:
- Đồng biến trên khoảng $[\frac{-b}{2a};+\infty ]$
- Nghịch biến trên khoảng $[-\infty ;\frac{-b}{2a}]$
- Giá trị cực tiểu của hàm số bậc hai lớp 10 đạt tại $[\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a}]$. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{-\Delta }{4a}$ tại $x=\frac{-b}{2a}$
Cho hàm số $y=ax^2+bx+c$ với $a0$, phần lõm của parabol quay lên trên; Nếu $a0$ thì tịnh tiến song song với trục hoành $\left | \frac{b}{2a} \right |$ đơn vị về phía bên trái, về bên phải nếu $\frac{b}{2a}0$ thì tịnh tiến song song với trục tung $\left | \frac{-\Delta }{4a} \right |$ đơn vị lên trên, xuống dưới nếu $\frac{-\Delta }{4a}0$ nên phần lõm của đồ thị hướng lên trên.
Đồ thị của hàm số bậc hai lớp 10 $y=x^2–4x–3$ có dạng như sau:
- $y=x^2+2x+1$
Ta có: a=1; b=2; c=1; =$2^2-4.1+1=0$
Toạ độ đỉnh: I[-1;0]
Trục đối xứng: $x=-1$
Giao điểm của parabol với trục tung là A[0;1]
Giao điểm của parabol với trục hoành chính là đỉnh I.
Điểm đối xứng với A[0;1] qua trục đối xứng $x=-1$ là B[-2;0]
Lấy điểm C[1;4] thuộc đồ thị hàm số đề bài, điểm đối xứng C qua trục x=-1 là điểm D[-3;4]
Vì $a>0$ nên phần lõi của đồ thị hướng lên phía trên.
Đồ thị hàm số $y=x^2+2x+1$ có dạng sau đây:
3.3. Dạng 3: Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số
Đây là dạng toán hàm số bậc hai lớp 10 nâng cao, thường khá ít gặp trong chương trình phổ thông. Đối với học sinh đặt mục tiêu đạt điểm 8+ môn Toán, các em cần nắm vững dạng toán tìm min max của hàm số bậc hai này.
Phương pháp giải:
Dựa theo đồ thị hoặc theo bảng biến thiên của hàm số $y=ax^2+bx+c [a\neq 0]$, học sinh sẽ xác định được các điểm max và điểm min của hàm số trong khoảng giá trị [a;b] tại $x=a$, $x=b$ hoặc $x=-\frac{b}{2a}$.
3.4. Dạng 4: Tìm tọa độ giao điểm hàm số bậc hai lớp 10
Để giải được bài toán dạng tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị $f[x]$ và $g[x]$. Các em học sinh cần giải phương trình hoành độ giao điểm $f[x]=g[x]$. [1]
- Để tìm tung độ của giao điểm, các em thay x vào hàm số $y=f[x]$ hoặc $y=g[x]$ để tính giá trị y.
- Trường hợp [1] có n nghiệm thì 2 đồ thị $f[x]$ và $g[x]$ sẽ có n điểm chung.
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị bậc hai và đường thẳng sau:
[P]:$y=x^2–2x–1$ và $d:y=x–1$
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hàm số [P] và đường thẳng [d], ta có:
Ví dụ 2 [Luyện tập 4 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1]: Cầu cảng Sydney là một trong những hình ảnh biểu tượng của thành phố Sydney và nước Australia.
ộ cao y [m] của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney có thể biểu thị theo độ dài x [m] tính từ chân cầu bên trái dọc theo đường nối với chân cầu bên phải như sau [Hình 10]:
$y=–0,00188[x – 251,5]2+118$.
Độ cao y [m] của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét [làm tròn kết quả đến hàng phần mười]?
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Ta có: $y= –0,00188[x – 251,5]2+118$
Vì [x – 251,5]2 ≥ 0 với mọi x
⇒$–0,00188[x–251,5]^2 ≤ 0$ với mọi x
⇒ $–0,00188[x–251,5]^2+118 ≤ 118$ với mọi x
Hay y ≤ 118 với mọi x
Do đó giá trị lớn nhất của y là 118 khi $x–251,5=0$ hay $x=251,5$.
Vậy độ cao lớn nhất cần tìm là 118m.
Cách 2: Ta có: $y=–0,00188[x – 251,5]2+118$
Hay $y=–0,00188x^2+ 0,94564x–0,91423$, đây chính là hàm số bậc hai.
Ta có: $a=–0,00188