- \[{1 \over {\left[ {x - y} \right]\left[ {y - z} \right]}} + {1 \over {\left[ {y - z} \right]\left[ {z - x} \right]}} + {1 \over {\left[ {z - x} \right]\left[ {x - y} \right]}}\]
- \[{4 \over {\left[ {y - x} \right]\left[ {z - x} \right]}} + {3 \over {\left[ {y - x} \right]\left[ {y - z} \right]}} + {3 \over {\left[ {y - z} \right]\left[ {x - z} \right]}}\]
- \[{1 \over {x\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]}} + {1 \over {y\left[ {y - z} \right]\left[ {y - x} \right]}} + {1 \over {z\left[ {z - x} \right]\left[ {z - y} \right]}}\]
Giải:
- \[{1 \over {\left[ {x - y} \right]\left[ {y - z} \right]}} + {1 \over {\left[ {y - z} \right]\left[ {z - x} \right]}} + {1 \over {\left[ {z - x} \right]\left[ {x - y} \right]}}\]
\[\eqalign{ & = {{z - x} \over {\left[ {x - y} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {z - x} \right]}} + {{x - y} \over {\left[ {x - y} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {z - x} \right]}} + {{y - z} \over {\left[ {x - y} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {z - x} \right]}} \cr & = {{z - x + x - y + y - z} \over {\left[ {x - y} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {z - x} \right]}} = 0 \cr} \]
- \[{4 \over {\left[ {y - x} \right]\left[ {z - x} \right]}} + {3 \over {\left[ {y - x} \right]\left[ {y - z} \right]}} + {3 \over {\left[ {y - z} \right]\left[ {x - z} \right]}}\]
\[\eqalign{ & = {{ - 4} \over {\left[ {y - x} \right]\left[ {x - z} \right]}} + {3 \over {\left[ {y - x} \right]\left[ {y - z} \right]}} + {3 \over {\left[ {y - z} \right]\left[ {x - z} \right]}} \cr & = {{ - 4\left[ {y - z} \right]} \over {\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {y - x} \right]}} + {{3\left[ {x - z} \right]} \over {\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {y - x} \right]}} + {{3\left[ {y - x} \right]} \over {\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {y - x} \right]}} \cr & = {{ - 4y + 4z + 3x - 3z + 3y - 3x} \over {\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {y - x} \right]}} = {{z - y} \over {\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {y - x} \right]}} \cr & = {{ - \left[ {y - z} \right]} \over {\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {y - x} \right]}} = {{ - 1} \over {\left[ {x - z} \right]\left[ {y - x} \right]}} = {1 \over {\left[ {x - z} \right]\left[ {x - y} \right]}} \cr} \]
- \[{1 \over {x\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]}} + {1 \over {y\left[ {y - z} \right]\left[ {y - x} \right]}} + {1 \over {z\left[ {z - x} \right]\left[ {z - y} \right]}}\]
\[\eqalign{ & = {1 \over {x\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]}} + {1 \over {y\left[ {x - y} \right]\left[ {y - z} \right]}} + {1 \over {z\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]}} \cr & = {{yz\left[ {y - z} \right]} \over {xyz\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]}} + {{ - xz\left[ {x - z} \right]} \over {xyz\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]}} + {{xy\left[ {x - y} \right]} \over {xyz\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]}} \cr & = {{{y^2}z - y{z^2} - {x^2}z + x{z^2} + {x^2}y - x{y^2}} \over {xyz\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]}} = {{{z^2}\left[ {x - y} \right] + xy\left[ {x - y} \right] - z\left[ {x - y} \right]\left[ {x + y} \right]} \over {xyz\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]}} \cr & = {{\left[ {x - y} \right]\left[ {{z^2} + xy - xz - yz} \right]} \over {xyz\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]}} = {{\left[ {x - y} \right]\left[ {x\left[ {y - z} \right] - z\left[ {y - z} \right]} \right]} \over {xyz\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]}} \cr & = {{\left[ {x - y} \right]\left[ {y - z} \right]\left[ {x - z} \right]} \over {xyz\left[ {x - y} \right]\left[ {x - z} \right]\left[ {y - z} \right]}} = {1 \over {xyz}} \cr} \]
Câu 21 trang 29 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Làm tính cộng các phân thức
- \[{{11x + 13} \over {3x - 3}} + {{15x + 17} \over {4 - 4x}}\]
- \[{{2x + 1} \over {2{x^2} - x}} + {{32{x^2}} \over {1 - 4{x^2}}} + {{1 - 2x} \over {2{x^2} + x}}\]
- \[{1 \over {{x^2} + x + 1}} + {1 \over {{x^2} - x}} + {{2x} \over {1 - {x^3}}}\]
- \[{{{x^4}} \over {1 - x}} + {x^3} + {x^2} + x + 1\]
Giải:
- \[{{11x + 13} \over {3x - 3}} + {{15x + 17} \over {4 - 4x}}\]\[ = {{11x + 13} \over {3\left[ {x - 1} \right]}} + {{ - 15x - 17} \over {4\left[ {x - 1} \right]}}\]
\[\eqalign{ & = {{4\left[ {11x + 13} \right]} \over {12\left[ {x - 1} \right]}} + {{3\left[ { - 15x - 17} \right]} \over {12\left[ {x - 1} \right]}} = {{44x + 52 - 45x - 51} \over {12\left[ {x - 1} \right]}} = {{1 - x} \over {12\left[ {x - 1} \right]}} \cr & = {{ - \left[ {x - 1} \right]} \over {12\left[ {x - 1} \right]}} = - {1 \over {12}} \cr} \]
- \[{{2x + 1} \over {2{x^2} - x}} + {{32{x^2}} \over {1 - 4{x^2}}} + {{1 - 2x} \over {2{x^2} + x}}\]\[ = {{2x + 1} \over {x\left[ {2x - 1} \right]}} + {{ - 32{x^2}} \over {\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]}} + {{1 - 2x} \over {x\left[ {2x + 1} \right]}}\]
\[\eqalign{ & = {{\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x + 1} \right]} \over {x\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]}} + {{ - 32{x^2}.x} \over {x\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]}} + {{\left[ {1 - 2x} \right]\left[ {2x - 1} \right]} \over {x\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]}} \cr & = {{4{x^2} + 4x + 1 - 32{x^3} + 2x - 1 - 4{x^2} + 2x} \over {x\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]}} = {{ - 32{x^3} + 8x} \over {x\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]}} \cr & = {{ - 8x\left[ {4{x^2} - 1} \right]} \over {x\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]}} = {{ - 8x\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]} \over {x\left[ {2x + 1} \right]\left[ {2x - 1} \right]}} = - 8 \cr} \]
- \[{1 \over {{x^2} + x + 1}} + {1 \over {{x^2} - x}} + {{2x} \over {1 - {x^3}}}\]\[ = {1 \over {{x^2} + x + 1}} + {1 \over {x\left[ {x - 1} \right]}} + {{ - 2x} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]}}\]
\[\eqalign{ & = {{x\left[ {x - 1} \right]} \over {x\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]}} + {{{x^2} + x + 1} \over {x\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]}} + {{ - 2x.x} \over {x\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]}} \cr & = {{{x^2} - x + {x^2} + x + 1 - 2{x^2}} \over {x\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]}} = {1 \over {x\left[ {{x^3} - 1} \right]}} \cr} \]
- \[{{{x^4}} \over {1 - x}} + {x^3} + {x^2} + x + 1\]\[ = {{{x^4}} \over {1 - x}} + {{\left[ {{x^3} + {x^2} + x + 1} \right]\left[ {1 - x} \right]} \over {1 - x}}\]
\[ = {{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 - {x^4} - {x^3} - {x^2} - x} \over {1 - x}} = {1 \over {1 - x}}\]
Câu 22 trang 29 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hai biểu thức:
A =\[{1 \over x} + {1 \over {x + 5}} + {{x - 5} \over {x\left[ {x + 5} \right]}}\]
B =\[{3 \over {x + 5}}\]
Chứng tỏ rằng A = B
Giải:
A \[ = {1 \over x} + {1 \over {x + 5}} + {{x - 5} \over {x\left[ {x + 5} \right]}} = {{x + 5} \over {x\left[ {x + 5} \right]}} + {x \over {x\left[ {x + 5} \right]}} + {{x - 5} \over {x\left[ {x + 5} \right]}}\]
\[ = {{x + 5 + x + x - 5} \over {x\left[ {x + 5} \right]}} = {{3x} \over {x\left[ {x + 5} \right]}} = {3 \over {x + 5}}\]
Vậy A = B
Câu 23 trang 29 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập1
Con tàu du lịch “Sông Hồng” đưa khách từ Hà Nội đến Việt Trì. Sau đó, nó nghỉ lại tại Việt Trì 2 giờ rồi quay về Hà Nội. Độ dài khúc sông từ Hà Nội đến Việt Trì là 70km. Vận tốc của dòng nước là 5 km/h. Vận tốc thực của con tàu [tức là vận tốc trong nước yên lặng] là x km/h.
- Hãy biểu diễn qua x :
- Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì;
- Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội;
- Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội.
- Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc ngược dòng của con tàu là 20 km/h.
Giải:
- Vận tốc đi từ Hà Nội lên Việt Trì ngược dòng là \[x - 5\] [km/h] nên thời gian đi từ Hà Nội đến Việt Trì là \[{{70} \over {x - 5}}\] [giờ]
Vận tốc từ Việt Trì về Hà Nội là xuôi dòng : \[x + 5\] [km/h]
Thời gian đi từ Việt Trì về Hà Nội là \[{{70} \over {x + 5}}\] [giờ]
Thời gian từ lúc xuất phát đến khi trở về Hà Nội là :
\[\eqalign{ & {{70} \over {x - 5}} + 2 + {{70} \over {x + 5}} = {{70\left[ {x + 5} \right]} \over {\left[ {x - 5} \right]\left[ {x + 5} \right]}} + {{2\left[ {x + 5} \right]\left[ {x - 5} \right]} \over {\left[ {x - 5} \right]\left[ {x + 5} \right]}} + {{70\left[ {x - 5} \right]} \over {\left[ {x - 5} \right]\left[ {x + 5} \right]}} \cr & = {{70x + 350 + 2{x^2} - 50 + 70x - 350} \over {\left[ {x - 5} \right]\left[ {x + 5} \right]}} = {{2{x^2} + 140x - 50} \over {\left[ {x - 5} \right]\left[ {x + 5} \right]}} \cr} \] [giờ]
- Vận tốc lúc ngược dòng \[x - 5 = 20 \Rightarrow x = 25\]
Vận tốc lúc xuôi dòng là 25 + 5 = 30
Thay vào ta có : \[{{70} \over {20}} + {{70} \over {30}} + 2 = {7 \over 2} + {7 \over 3} + 2 = {{21} \over 6} + {{14} \over 6} + 2 = {{35} \over 6} + 2 = 7{5 \over 6}\]