Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H là trung điểm của GB, K là trung điểm của GC.
- Chứng minh rằng tứ giác DEHK là hình bình hành.
- Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật ?
- Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình gì ?
Giải:
- Ta có: GD = \[{1 \over 2}\]GB [tính chất đường trung tuyến của tam giác]
GH = \[{1 \over 2}\]GB [gt]
Suy ra: GD = GH
GE = \[{1 \over 2}\]GC [tính chất đường trung tuyến của tam giác]
GK = \[{1 \over 2}\]GC [gt]
Suy ra: GE = GK
Tứ giác DEHK là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường]
- Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật khi DH = EK
mà DH = \[{1 \over 2}\]BD; EK = \[{1 \over 2}\]CE
nên DH = EK ⇒ BD = CE ⇒ ∆ ABC cân tại A
Vậy ∆ ABC cân tại A thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật.
- Nếu BD ⊥ CE ⇒ DH ⊥ EK
Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vuông góc nên nó là hình thoi.
Câu 162 trang 100 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
- Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì ? Vì sao ?
- Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật.
- Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông ?
Giải:
- Xét tứ giác AEFD:
AB // CD [gt] hay AE // FD
AE = \[{1 \over 2}\]AB [gt]
FD = \[{1 \over 2}\]CD [gt]
Suy ra: AE = FD
Tứ giác AEFD là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
AD = AE = \[{1 \over 2}\]AB
Vậy tứ giác AEFD là hình thoi.
Xét tứ giác AECF : AE // CF [gt]
AE = \[{1 \over 2}\]AB [gt]
CF = \[{1 \over 2}\]CD [gt]
Suy ra: AE = CF
Tứ giác AECF là hình bình hành [vì có một cặp canh đối song song và bằng nhau]
- Tứ giác AECF là hình thoi
⇒ AF ⊥ ED ⇒ \[\widehat {EMF} = {90^0}\]
AF // CE [vì tứ giác AECF là hình bình hành]
Suy ra: CE ⊥ ED \[ \Rightarrow \widehat {MEN} = {90^0}\]
Xét tứ giác EBFD ta có: EB = FD [vì cùng bằng AE]
EB // FD [vì AB // CD]
Xét tứ giác EBFD là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau] ⇒ DE // BF
Suy ra: BF ⊥ AF = 1v
Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật.
- Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hình thoi ⇒ ME = MF
ME = \[ \Rightarrow \widehat {MEN} = {90^0}\]DE [tính chất hình thoi]
MF = \[ \Rightarrow \widehat {MEN} = {90^0}\]AF [tính chất hình thoi]
Suy ra: DE = AF
⇒ Tứ giác AEFD là hình vuông [vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau]
⇒ \[\widehat A = {90^0}\] ⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật
Ngược lại: ABCD là hình chữ nhật ⇒\[\widehat A = {90^0}\]
Hình thoi AEFD có \[\widehat A = {90^0}\] nên AEFD là hình vuông
⇒ AF = DE ⇒ ME = MF [tính chất hình vuông]
Hình chữ nhật EMFN là hình vuông [vì có hai cạnh kề bằng nhau]
Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật có AB = 2 AD.
Câu 163 trang 100 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
- Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ?
- Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm.
- Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình bình hành.
Giải:
- Xét tứ giác DEBF: AB // CD [gt] hay DF // EB
EB = \[{1 \over 2}\]AB [gt]
DF = \[{1 \over 2}\]CD [gt]
Suy ra: EB = DF
Tứ giác DEBF là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
- Gọi O là giao điểm của AC và BD
OB = OD [tính chất hình bình hành]
Tứ giác DEBF là hình bình hành
nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD
Vậy AC, BD và EF cắt nhau tại O trung điểm của mỗi đoạn
- Xét ∆ EOM và ∆ FON:
\[\widehat {MEO} = \widehat {NFO}\] [so le trong]
OE = OF [tính chất hình bình hành]
\[\widehat {MOE} = \widehat {NOF}\] [đối đỉnh]
Do đó : ∆ EOM = ∆ FON [g.c.g] ⇒ OM = ON
Vậy tứ giác EMFN là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ]
Câu 164 trang 101 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD.
- Tính khoảng cách từ I đến AB
- Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?
Giải:
- Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB
⇒ CE // DF // IH
IC = ID [gt]
nên IH là đường trung bình của hình thang DCEF
\[ \Rightarrow IH = {{DF + CE} \over 2}\] [1]
C là tâm hình vuông AMNP
⇒ ∆ CAM là tam giác vuông cân tại C
CE ⊥ AM ⇒ CE là đường trung tuyến [tính chất tam giác cân]
⇒ CE = \[{1 \over 2}\]AM
D là tâm hình vuông BMLK ⇒ ∆ DBM vuông cân tại D
DF ⊥ BM
⇒ DF là đường trung tuyến [tính chất tam giác cân] ⇒ DF = \[{1 \over 2}\]BM
Vậy CE + DF = \[{1 \over 2}\]AM + \[{1 \over 2}\]BM = \[{1 \over 2}\] [AM + BM] = \[{1 \over 2}\]AB = \[{a \over 2}\] ⇒ IH = \[{{{a \over 2}} \over 2} = {a \over 4}\]
- Gọi Q là giao điểm của BL và AN
Ta có: AN ⊥ MP [tính chất hình vuông]
BL ⊥ MK [tính chất hình vuông]
MP ⊥ MK [tính chất hai góc kề bù]
Suy ra: BL ⊥ AN ⇒ ∆ QAB vuông cân tại Q cố định.
M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng \[{a \over 4}\] nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng \[{a \over 4}\]
Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ
Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ
Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng \[{a \over 4}\] .