Với giá trị nào của m thì phương trình 2 2 cos 2sin cos sin x x x x m có nghiệm

219Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC NHẤT VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung: 2 2sin cos ; 0a x b x c a b+ = + > (1) Cách 1. ( )( )2 2 2 2 2 21 sin cos cosc a bx x xa b a b a b⇔ = + = − α+ + +Với 2 2 2 2 2 2sin ; cos ; cos 2a b c x ka b a b a b= α = α = β⇒= α ± β + π+ + +Chú ý: (1) có nghiệm 2 2 2c a b⇔ ≤ + Cách 2. Xét cos 0 2 x = là nghiệm của (1) 0b c ⇔ + = Xét 0b c + ≠. Đặt tan 2 xt = thì 22 22 1sin ; cos 1 1t tx xt t−= =+ +. Khi đó ( ) 1 ⇔( ) ( ) ( )2 2 0f t c b t at c b= + − + − = Cách 3. Phân tích thành phương trình tích 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: 33sin 3 3 cos 9 1 sin 3x x x− = + Giải ( )3 33sin 3 3 cos 9 1 4sin 3 3sin 3 4sin 3 3 cos 9 1x x x x x x− = + ⇔ − − = 31 1sin 9 3 cos 9 1 sin 9 cos 92 2 2x x x x⇔ − = ⇔ − =()1sin 9 3 2x π⇔ − =( )29 23 6 18 95 7 29 23 6 54 9kx k xk kx k xπ π π π − = + π = + ⇔ ⇔ ∈ π π π π− = + π = +  » Bài 2. Giải phương trình: cos 7 . cos 5 3 sin 2 1 sin 7 .sin 5x x x x x− = − (1) Giải ( )( )1 cos 7 . cos 5 sin 7 .sin 5 3 sin 2 1x x x x x⇔ + − = ( )cos 7 5 3 sin 2 cos 2 3.sin 2 1x x x x x⇔ − − ⇔ − = 31 1 1cos 2 sin 2 cos cos 2 sin sin 22 2 2 3 3 2x x x xπ π⇔ − = ⇔ − = ()( )1cos 2 2 23 2 3 3 3x x k x k x k kπ π π −π⇔ + = ⇔ + = ± + π ⇔ = π ∨ = + π ∈» PPPHHHƯƯƯƠƠƠNNNGGGTTTRRRÌÌÌNNNHHHLLLƯƯƯỢỢỢNNNGGGGGGIIIÁÁÁCCC220Bài 3. Giải phương trình: ( )2 2 sin cos cos 3 cos 2x x x x+ = + (1) Giải ( )( )1 2 sin 2 2 1 cos 2 3 cos 2x x x⇔ + + = +()2 sin 2 2 1 cos 2 3 2x x⇔ + − = −.Ta có ( ) ( )( )2 22 2222 2 1 5 2 23 2 11 6 2a bc+ = + − = −= − = −. Ta sẽ chứng minh: 2 2 2a b c+ <5 2 2 11 6 2⇔ − < −( )2 24 2 6 32 36⇔ < ⇔ < (đúng). Vậy (1) vô nghiệm. Bài 4. Giải phương trình: ()()()3sin 4sin 5sin 5 03 6 6x x xπ π π− + + + + =Giải ()()()3sin 4cos 5sin 53 2 6 6x x xπ π π π ⇔ − + − + = − +   ()()()3sin 4cos 5sin 53 3 6x x xπ π π ⇔ − + − = ++ π   . Đặt 34 sin ,cos5 5α = α =()()7cos sin sin . cos sin 53 3 6x x xπ π π ⇔ α − + α − = +   ()()7sin sin 53 6x xπ π ⇔ − + α = +   924 4 2 36 6 3k kx xπ α π π α π⇔ = + + ∨ = − + Bài 5. Giải phương trình: 3 34sin cos 3 4cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x+ + = (1) Giải ( )[][]1 3sin sin 3 cos 3 3cos cos 3 sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x x x⇔ − + + + =[]3 sin cos 3 sin 3 cos 3 3 cos 4 3 sin 4 3 cos 4 1x x x x x x x⇔ + + = ⇔ + =()31 1 1sin 4 cos 4 cos sin 4 sin cos 4 sin 42 2 2 3 3 3 2x x x x xπ π π⇔ + = ⇔ + = + =( )24 2 8 2k kx x k−π π π π⇔ = + ∨ = + ∈»Bài 6. Giải phương trình: 3sin cos 1x x + =Giải Ta có 3sin cos 1 3sin 1 cosx x x x+ = ⇔ = −()26sin cos 2sin 2sin 3cos sin 02 2 2 2 2 2x x x x x x⇔ = ⇔ − =. Xét 2 khả năng a. sin 0 22 2x xk x k= ⇔ = π ⇔ = πb. ( )3cos sin 0 tg 3 2 22 2 2 2x x x x k x k k− = ⇔ = ⇔ = α + π ⇔ = α + π ∈» 221 Bài 7. Giải phương trình: sin 5cos 1x x+ = (1) Giải ( )()()()21 5 cos 1 sin 5 cos sin cos sin cos sin2 2 2 2 2 2x x x x x xx x⇔ = − ⇔ − + = − ()()2cos sin 4 cos 6 sin 0 tan 1 tan tan2 2 2 2 2 2 3x x x x x x⇔ − + = ⇔ = ∨ = − = α ( )2 2 22 4 2 2x xk k x k x k kπ π⇔ = + π ∨ = α + π ⇔ = + π ∨ = α + π ∈» Bài 8. Giải phương trình: ( )sin 3 cos sin 3 cos 2 1x x x x+ + + = Giải Ta có: ()31sin 3 cos 2 sin cos 2sin2 2 3x x x x x π+ = + = +   Đặt ()sin 3 cos 2sin 0 23t x x x tπ= + = + ⇒ ≤ ≤, khi đó ( )( )[]221 2 2 2 5 4 0 1 0;2t t t t t t t t t⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − + = ⇔ = ∈ ()()12sin 1 sin3 3 2x xπ π⇔ + = ⇔ + =( )2 26 2x k x k k−π π⇔ = + π ∨ = + π ∈» Bài 9. Giải phương trình: ()()( )1 3 sin 1 3 cos 2 1x x+ + − = Giải Do ()1 3 2 2 3 0b c+ = + + = − ≠ nên cos 02x= không là nghiệm của (1) Đặt 22ttan sin21+txt x= ⇒ và 221cos1txt−=+, khi đó ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22 22 22 11 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 1 2 11 1t tt t tt t−⇔ + + − = ⇔ + + − − = ++ + ()()()23 3 2 1 3 1 3 0t t⇔ − − + + + = ⇔ 1 351tan tan tan tan2 6 2 123 1 3x xt t+π π= ∨ = − ⇔ = ∨ =−52 23 6x k x kπ π⇔ = + π ∨ = + π Bài 10. Giải phương trình: ()( )sin 3 3 2 cos 3 1 1x x+ − = Giải Do ()3 2 1 3 1 0b c+ = − + = − ≠ nên 3cos 02x= không là nghiệm của (1) 222 Đặt 23 2tan sin 321x tt xt= ⇒ =+ và 221cos 31txt−=+, khi đó ( )()()2 21 2 3 2 1 1t t t⇔ + − − = +()()21 3 2 3 3 0t t⇔ − + + − = 13 3tan 1 tan 32 23tx xt=⇔ ⇔ = ∨ ==( )2 2 26 3 9 3k kx x kπ π π π⇔ = + ∨ = + ∈» Bài 11. Tìm m để ()2sin cos 1 1x m x m+ = − có nghiệm ,2 2x−π π ∈   Giải Do ()1 0b c m m+ = + − ≠ nên cos 02x= không là nghiệm của (1) Đặt tan2xt = thì ( )22 22 11 2 11 1t tm mt t−⇔ ⋅ + ⋅ = −+ + ()( )()( )2 2 24 1 1 1 4 1 2 0t m t m t f t t t m⇔ + − = − + ⇔ = − + − = Cách 1: Yêu cầu bài toán ( )24 1 2 0f t t t m⇔ = − + − = có nghiệm []1,1t ∈ − Xét ()1 0 6 2 0 3f m m− = ⇔ − = ⇔ = thỏa mãn Xét ()1 0 2 2 0 1f m m= ⇔ − − = ⇔ = − thỏa mãn Xét ()0f t= có 1 nghiệm ()1,1t ∈ − và 1 nghiệm []1,1t ∉ − ()()()()()()1 1 6 2 2 2 0 2 6 2 2 0 1 3f f m m m m m⇔ − = − − − < ⇔ − + < ⇔ − < < Xét ()0f t= có 2 nghiệm 1 2,t t thỏa mãn 1 21 1t t− < ≤ < ( ) ( ){}0; 1. 1 0; 1. 1 0; 1 12Sf f′⇔ ∆ ≥ − > > − < <, hệ này vô nghiệm Kết luận: (1) có nghiệm , 1 32 2x m−π π ∈ ⇔ − ≤ ≤  . Cách 2: ( )24 1 2 0f t t t m= − + − = có nghiệm []1,1t ∈ − ( )21 122 2g t t t m⇔ = − + = có nghiệm []1,1t ∈ − Ta có: ()[]()2 0 1,1g t t t g t′= − < ∀ ∈ − ⇒ nghịch biến trên []1,1− Suy ra tập giá trị ()g t là đoạn ( ) ( )[]1 , 1 1, 3g g − ≡ − . Từ đó (1) có nghiệm ( ),2 2x g t m−π π ∈ ⇔ =   có nghiệm []1,1 1 3t m∈ − ⇔ − ≤ ≤ Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 223 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung 2 2sin sin cos cos 0a x b x x c x d+ + + = với ( )2 2 20 1a b c+ + > Bước 1: Xét cos 0x= có là nghiệm của (1) hay không 0a d⇔ + = Bước 2: Xét 0 cos 0a d x+ ≠ ⇒ = không là nghiệm của (1) Chia 2 vế của (1) cho 2cos 0x≠ ta nhận được phương trình ( )()2 21 tan tan 1 tan 0a x b x c d x⇔ + + + + =. Đặt tant x= ( )( ) ( ) ( )21 0f t a d t bt c d⇔ = + + + + = Bước 3: Giải và biện luận ()0f t= ⇒ Nghiệm 0tgt x= ⇒ nghiệm x. 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. a. Giải phương trình: 2 2sin 2sin cos 3cos 3 0x x x x+ + − = b. Giải phương trình: 2sin 3sin cos 1 0x x x− + = Giải a. 2 2sin 2sin cos 3cos 3 0x x x x+ + − = (1) Nếucos 0x= là nghiệm của (1) thì từ (1) 222cos 0sin 1sin 3 0sin 3xxxx== ⇒ ⇔ − == ⇒ Vô lý. Chia 2 vế của (1) cho 2cos 0x≠ ta nhận được ( )()2 2 21 tan 2 tan 3 3 1 tan 0 2 tan 2 tan 0x x x x x⇔ + + − + = ⇔ − = ( ) ( )tan 02 tan 1 tan 0tan 14x kxx x kx kx= π=⇔ − = ⇔ ⇔ ∈π= + π=» b. 2sin 3sin cos 1 0x x x− + = (2) Nếucos 0x= là nghiệm của (2) thì từ (2) 2cos 0sin 1 0xx=⇒+ =⇒ Vô lý Chia 2 vế của (2) cho 2cos 0x≠ ta nhận được phương trình ( )()2 2 22 tan 3tan 1 tan 0 2 tan 3 tan 1 0x x x x x⇔ − + + = ⇔ − + =( )( ) ( )tan 1 tan44tan 1 2 tan 1 01tan tan2xx kx x kxx kπ= = π= + π⇔ − − = ⇔ ⇔ ∈= = α= α + π» 224 Bài 2. a. Giải phương trình: 2 254 3 sin cos 4cos 2sin2x x x x+ = + b. GPT: ( )()()()2 25 33sin 3 2 sin cos 5sin 02 2 2x x x x xπ π ππ − + + + − + = Giải a. Phương trình ( )2 252sin 4 3 sin cos 4cos 0 12x x x x⇔ − − + = Nếu cos 0x= là nghiệm của (1) thì từ (1) 252sin 02x⇒ + = ⇒ Vô lý Chia 2 vế của (1) cho 2cos 0x≠ ta nhận được phương trình ( )( )2 2 251 2 tan 4 3 tan 4 1 tan 0 9 tan 8 3 tan 3 02x x x x⇔ − − + + = ⇔ − − = ( )3tan 3 tan tan tan3 9 3x x x k x k k−π π⇔ = = ∨ = = α ⇔ = + π ∨ = α + π ∈» b. ( )()()()2 25 33sin 3 2 sin cos 5sin 02 2 2x x x x xπ π ππ − + + + − + = ( )2 23sin 2 sin cos 5 cos 0 2x x x x⇔ − − = Nếu cos 0x= là nghiệm của (1) thì từ (2) cos 0sin 0xx=⇒= ⇒ Vô lý Chia 2 vế của (2) cho 2cos 0x≠ ta nhận được phương trình ( )2tan 1 tan442 3tan 2 tan 5 05tan tan3xx kx xxx k−π= − =−π= + π⇔ − − = ⇔ ⇔= = α= α = π Bài 3. GPT: a.13 sin coscosx xx+ = b. 14sin 6 coscosx xx+ = Giải a. 223 sin cos1 13 sin cos 3 tan 1 1 tancos coscosx xx x x xx xx++ = ⇔ = ⇔ + = + ( ){}2tan 0tan 3 tan 0 tan tan 3 0 ;3tan 3xx x x x x k kx=π⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ π + π= b. 224sin 6 cos1 14sin 6 cos 4 tan 6 1 tancos coscosx xx x x xx xx++ = ⇔ = ⇔ + = + ⇔ ( )( )2tan 1 tan4 4tan 4tan 5 0 tan 1 tan 5 0tan 5 tanx x kx x x xx x k−π −π = − = = + π − − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ = = α = α + π  Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 225 Bài 4. Giải phương trình: 2 237 sin 2 sin 2 3cos 3 15 0x x x+ − − = (1) Giải Nếu cos 0x= là nghiệm của (1) thì từ (1) 23cos 07 sin 3 15xx=⇒= ⇒ Vô lý Chia 2 vế của (1) cho 2cos 0x≠ ta có ( )()2 231 7 tan 4 tan 3 3 15 1 tan 0x x x⇔ + − − + = ()()( )23 37 3 15 tan 4 tan 3 3 15 0 2x x⇔ − + − + =. Ta có 32325 12 15 9 15′∆ = + − Đặt 3 33515 15 253t t t= ⇒ = ⇒ =, ta sẽ chứng minh ∆′<0 . Thật vậy, ta có: ( )()3 25 5129 12 33 3 5t t t t t t′∆ = − + = − −. Do( )333122,4 15 3 2,4 15 35t< < ⇔ = < = < nên suy ra: ()0 2′∆ < ⇒ vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm. Bài 5. Tìm m để: 2cos 4 sin cos 2 0m x x x m− + − = có nghiệm ()0,4xπ∈ Giải Với ()0,4xπ∈ thì cos 0x≠nên chia 2 vế phương trình cho 2cos 0x≠ ta có ( )()24 tan 2 1 tan 0m x m x− + − + =. Đặt ()tan 0,1t x= ∈. Khi đó: ( )()2 2 22 4 2 2 0 2 2 4 2m t t m m t t t− − + − = ⇔ + = + + ⇔ ( )()222 2 12t tg t mt+ += =+. Ta có( )()( )( )( )( )( )22 22 24 2 4 2 10, 0, 12 2t t t tg t tt t− − − − +′= = > ∀ ∈+ + ()g t⇒ tăng /()()0,1g t m⇒ = có nghiệm ()( )( )()()0,1 0 , 1 1, 2t m g g∈ ⇔ ∈ ≡. Bài 6. Cho phương trình: ( ) ( )( )2 2sin 2 2 sin cos 1 cos 1x m x x m x m+ − − + = a. GPT: 2m= − b. Tìm m để phương trình có nghiệm. Giải Nếu cos 0x= là nghiệm của phương trình (1) thì từ (1) suy ra 2cos 0sinxx m==22211sin 1 1cos 0sin 1sin2mmx mx kxxx m= == =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   π= + π===  Nếu 1m≠ thì cos 0x= không là nghiệm của (1), khi đó chia 2 vế của (1) cho 2cos 0x≠ ta có:( )( ) ( )()2 21 tan 2 2 tan 1 1 tanx m x m m x⇔ + − − + = + 226 ( ) ( ) ( )2tan 1 tan 2 1 tan 2 1 0f x m x m x m⇔ = − − − + + = a. Nếu 2m= − thì ( )( )21 3 tan 1 04x x kπ⇔ − − = ⇔ = + π b. (1) có nghiệm 21112 1102 0mmmmmm m==≠⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤≠ ′∆ ≥− − + ≥ Bài 7. Cho phương trình: ( )2 2cos sin cos 2 sin 0 1x x x x m− − − − a. Giải phương trình (1) khi 1m= b. Giải biện luận theo m Giải a. Với 1m= ta có ( )2 21 cos sin cos 2sin 1 0x x x x⇔ − − − = (){}cos 3sin sin 0 sin 0 co tg 3 cotg ;x x x x x x k k⇔ + = ⇔ = ∨ = − = α ⇔ ∈ π α + π b. ( )( )1 cos 211 sin 2 1 cos 2 0 3cos 2 sin 2 2 12 2xx x m x x m+⇔ − − − − = ⇔ − = + 3 2 11cos 2 sin 210 10 10mx x+⇔ − =. Đặt 31cos , sin10 10α = α =, khi đó ta có ( )2 1 2 1cos cos 2 sin sin 2 cos 210 10m mx x x+ +α − α = ⇔ + α = + Nếu 1 10 1 102 112 210mm m   − − − ++> ⇔ < >      ∪ thì (2) vô nghiệm + Nếu 1 10 1 102 11 ,2 210mm − − − ++≤ ⇔ ∈   thì đặt 2 1cos10m += β Khi đó ( ) ( )( )1 2 cos 2 cos2x x k±β − α⇔ ⇔ + α = β ⇔ = + π Bài 8. Giải và biện luận: ( )2 2sin 4sin cos 2cos 0 1m x x x x+ + = Giải • 0m=, ( )( ){}cos 01 2cos 2sin cos 0 ;2cot 2 cotxx x x x k kx=π⇔ + = ⇔ ⇔ ∈ + π α+ π= − = α • 0m≠ thì ( )21 tan 4 tan 2 0m x x⇔ + + = với 4 2m′∆ = − + Nếu 2m> thì (1) vô nghiệm; Nếu 2m= thì tan 14x x k−π= − ⇔ = + π + Nếu 0 2m≠ < thì 2 4 2tan tanmx x km− ± −= = β ⇔ = β + π. Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 227 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 3 VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung 3 2 2 3sin sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x+ + + = với ( )2 2 2 20 1a b c d+ + + > ( )3 2 2 3sin sin cos sin cos cos sin cos 0a x b x x c x x d x m x n x+ + + + + = Bước 1: Xét cos 0x= có là nghiệm của phương trình hay không Bước 2: Xét cos 0x≠ không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của (1) cho 3cos 0x≠ và sử dụng công thức ( )2 22 3sin11 tan ; tan 1 tancos cosxx x xx x= + = + ta nhận được phương trình bậc 3 ẩn tanx. Bước 3: Giải và biện luận phương trình bậc 3 ẩn tgx. 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: ( )3 3 24 sin 3cos 3sin sin cos 0 1x x x x x+ − − = Giải Nếu cos 0x= là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 3 3cos 0 sin 1 sin 14 sin 3sin 0 4 sin 3sin 0x x xx x x x= = ∨ = −  ⇔ ⇒ − = − =   Vô lý Chia 2 vế của (1) cho 3cos 0x≠ ta có ( )()3 2 21 4tan 3 3tan 1 tan tan 0x x x x⇔ + − + − = ()( )()3 2 2 2 2tan tan 3tan 1 tan tan 0 tan 1 tan 3 0x x x x x x x⇔ − − + − = ⇔ − − = ( )tan 1 tan 34 3x x x k x k kπ π⇔ = ∨ = ± ⇔ = + π ∨ = ± + π ∈» Bài 2. Giải phương trình: ( )3sin 2 .sin 2 sin 3 6 cos 1x x x x+ = Giải ( )( )3 31 sin 2sin cos 3sin 4sin 6cosx x x x x x⇔ + − = 3 2 34 sin 3sin 2 sin cos 6 cos 0x x x x x⇔ − − + = (2) Nếucos 0x= là nghiệm của (2) thì từ (2) suy ra 3 3cos 0 sin 1 sin 14 sin 3sin 0 4 sin 3sin 0x x xx x x x= = ∨ = −  ⇔ ⇒ − = − =   Vô lý Chia 2 vế của (2) cho 3cos 0x≠ ta có ( )3 22 tan 2 tan 3tan 6 0x x x⇔ − − + = ( )( ){}2tan 2 tan 3 0 tan 2 tan tan 3 ;3x x x x x k kπ⇔ − − = ⇔ = = α ∨ = ± ⇔ ∈ α + π ± + π 228 Bài 3. Giải phương trình: 1 3sin 2 2 tanx x+ = Giải Điều kiện: ( )cos 0 12x x kπ≠ ⇔ ≠ + π 2 21 11 3sin 2 2 tan 1 6sin cos 2 tan 6 tan 2 tancos cosx x x x x x xx x+ = ⇔ + = ⇔ + = ⋅ ()()2 2 3 21 tan 6 tan 2 tan 1 tan 2 tan tan 4 tan 1 0x x x x x x x⇔ + + = + ⇔ − − − = ( )( )21,21,2tan 14tan 1 2 tan 3tan 1 03 17tan tan4xx nx x xxx n= −π= − + π⇔ + − − = ⇔ ⇔±= = α= α + π Bài 4. Giải phương trình: ()32 sin 2 sin4x xπ+ = (1) Giải ( )()()( )3331 2 2 sin 4sin 2 sin 4sin sin cos 4sin4 4x x x x x x xπ  π ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =   Nếu cos 0x= là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 3 3cos 0 sin 1 sin 1sin 4sin sin 4sin 0x x xx x x x= = ∨ = −  ⇔ ⇒ = − =   Vô lý Chia 2 vế của (1) cho 3cos 0x≠ ta có ( )( )()32 2 2 31 tan 1 4tan 1 tan tan 3tan 3tan 1 4 tan 4tanx x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + + + = + ( )( )3 2 23tan 3tan tan 1 0 tan 1 3tan 1 0 tan 14x x x x x x x kπ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = + π Bài 5. Giải phương trình: ()38 cos cos33x xπ+ = Giải ()338 cos cos3 8 cos .cos sin sin cos 33 3 3x x x x xπ π π + = ⇔ − =   ( ) ( )( )3 33 3cos 3 sin 4 cos 3cos 3 sin cos 3cos 4 cos 0 1x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ − − + =Nếu cos 0x= là nghiệm của (1) thì từ (1) suy ra 2 2cos 10 cos sin 1 0 1sin 0xx xx=⇒ = + = ⇒ = ⇒= Vô lý Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 229 Chia 2 vế của (1) cho 3cos 0x≠ ta có ( )( )( )321 3.tan 1 3 1 tan 4 0x x⇔ − − + + = ( )( )23 23 3 tan 3 3 tan 3 3 tan 1 3 1 tan 4 0x x x x⇔ − + − − + + = ()3 2 23 3 tan 12 tan 3 3 tan 0 tan 3 tan 4 tan 3 0x x x x x x⇔ − + = ⇔ − + = {}( )1tan 0 tan tan 3 ; ;6 33x x x x k k k kπ π⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ ∈ π + π + π ∈» Bài 6. Giải phương trình: ()3sin 2 sin4x xπ− = (1) Giải ( )()()331 2 2 sin 4sin 2 sin 4 sin4 4x x x xπ  π ⇔ − = ⇔ − =   ( ) ( )()3 32sin cos 4sin tan 1 4 tan 1 tanx x x x x x⇔ − = ⇔ − = + 3 2 3 3 2tan 3 tan 3 tan 1 4 tan 4 tan 3 tan 3tan tan 1 0x x x x x x x x⇔ − + − = + ⇔ + + + = ( )( )( )2tan 1 3tan 1 0 tan 1 0 tan 14x x x x x k kπ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + π ∈» Bài 7. Giải phương trình: 35sin 4 cos6 sin 2 cos2 cos 2x xx xx− = (1) Giải Điều kiện: ( )cos 2 0 2 22 4 2kx x k xπ π π≠ ⇔ ≠ + π ⇔ ≠ + Với điều kiện (2) ta có ( )31 6sin 2cos 5sin 2 cosx x x x⇔ − = ( )3 3 26 sin 2 cos 5 2sin cos cos 3sin cos 5sin cos 0x x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − − = (3) Nếu cos 0x= là nghiệm của (3) thì từ (3) suy ra 2 2cos 00 sin cos 1 0 1sin 0xx xx=⇒ = + = ⇒ = ⇒= Vô lý Chia 2 vế của (3) cho 3cos 0x≠ ta có ()23 tan 1 tan 1 5 tan 0x x x+ − − = ⇔( )()2tan 1 3.tan 3 tan 1 0x x x− + + = ( )()21 1tan 1 3 tan 0 tan 12 4 4x x x x n π⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = + π   Do 4x nπ= + π mâu thuẫn với (2): 4 2kxπ π≠ + nên phương trình (1) vô nghiệm. 230 Bài 8. ( ) ( ) ( ) ( )3 24 6 sin 3 2 1 sin 2 2 sin cos 4 3 cos 0m x m x m x x m x− + − + − − − = a. Giải phương trình khi 2m= b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 0,4xπ ∈   Giải Nếu cos 0x= là nghiệm của phương trình thì từ phương trình suy ra ( ) ( ) ( ) ( )3 3cos 0 sin 1 sin 14 6 sin 6 3 sin 0 4 6 sin 6 3 sinx x xx m x m x m x= = ∨ = −  ⇔ ⇒ − + − = − + −   Vô lý Chia 2 vế của phương trình cho 3cos 0x≠ ta có phương trình ( ) ( )()( ) ( )()3 2 2 24 6 tan 3 2 1 tan 1 tan 2 2 tan 4 3 1 tan 0m x m x x m x m x⇔ − + − + + − − − + =( ) ( ) ( )3 2tan 2 1 tan 3 2 1 tan 4 3 0x m x m x m⇔ − + + − − − = ( ) ( )[]( )2tan 1 tan 2 tan 4 3 0 1x x m x m⇔ − − + − = a. Nếu 2m= thì ( )( )()21 tan 1 tan 4 tan 5 0x x x⇔ − − + = ( ) ( )( )2tan 1 tan 2 1 tan 14x x x x k kπ ⇔ − − + ⇔ = ⇔ = − π ∈ » b. Đặt [ ]tan 0,1 0,4t x xπ = ∈ ∀ ∈  , khi đó phương trình ( )( )( )[]221 0 1 0,11 1 2 4 3 02 4 3 0t tt t mt mt mt m− = ⇔ = ∈⇔ − − + − = ⇔− + − = Xét phương trình: 22 4 3 0t mt m− + − = với []0,1t ∈ ( ) ( )2233 2 2 22tt m t g t mt−⇔ − = − ⇔ = =−. Ta có ( )()()( )[ ]21 30 0, 12t tg t tt− −′= ≥ ∀ ∈− ()g t⇒ đồng biến trên []0,1 ⇒ Tập giá trị ()g t là ( )( )[ ]30 , 1 ; 22g g =   Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất ()0,4xπ∈ thì phương trình ()2g t m= hoặc vô nghiệm []0,1t ∈ hoặc có đúng 1 nghiệm 1t= ()2g t m⇔ = vô nghiệm [)2 2 10,13 322 4m mtm m≥ ≥  ∈ ⇔ ⇔< <   Bài 1. Phương trình đẳng cấp bậc nhất, bậc hai, bậc ba với sinx, cosx 231 Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 231 Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX 1. Phương pháp chung ()sin cos sin cos 0a x x b x x c+ + + = ()sin cos sin cos 0a x x b x x c− + + = Bước 1. Đặt ()( )()( )221sin cos 2 sin 2; 2 sin cos 14 21sin cos 2 sin 2; 2 sin cos 14 2t x x x x x tt x x x x x tπ = + = + ∈ −⇒= − π = − = − ∈ −⇒= −  Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 ẩn t. Bước 2. Giải phương trình bậc 2 ẩn t. Từ đó suy ra nghiệm x. 2. Các bài tập mẫu minh họa Bài 1. Giải phương trình: ( )( )2 sin cos sin cos 1 1x x x x+ − = Giải Đặt ()21sin cos 2 cos 2, 2 sin cos4 2tt x x x x xπ − = + = − ∈ −⇒= . Ta có ( )21 2 2 1 0 2 1 2; 2t t t ⇔ − + = ⇔ = − ∈ − ()2 2cos cos4 2x−π⇔ − = = α ( )2 24 4x k x k kπ π− = ±α + π ⇔ = ± α + π ∈» Bài 2. Giải phương trình: ( )101 1cos sin 1cos sin 3x xx x+ + + = Giải Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22kx x x xπ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ Với điều kiện (2) thì ( )( ) ( )101 sin cos sin cos sin cos sin cos3x x x x x x x x⇔ + + + = ()()3 sin cos sin cos 1 10sin cosx x x x x x⇔ + + = Đặt ()21sin cos 2 cos 2, 2 sin cos4 2tt x x x x xπ − = + = − ∈ −⇒= . Khi đó ( )2 21 11 3 1 10.2 2t tt − −⇔ + =  ()()2 2 3 23 1 10 1 3 10 3 10 0t t t t t t⇔ + = − ⇔ − + + = ( )( )22 192 3 4 5 0 2; 23t t t t− ⇔ − − − = ⇔ = ∈ −  ()()2 19 2 192 cos cos cos4 3 43 2x x− −π π⇔ − = ⇔ − = = α ( )2 24 4x n x n nπ π⇔ − = ±α + π ⇔ = ± α + π ∈» (thỏa mãn (2)) 232 Bài 3. Giải phương trình: ( )3 331 sin cos sin 2 12x x x+ + = Giải ( )( ) ( )331 1 sin cos 3sin cos sin cos sin 22x x x x x x x⇔ + + − + = Đặt ()21sin cos 2 cos 2, 2 sin cos4 2tt x x x x xπ − = + = − ∈ − ⇒ =  Khi đó ( )( ) ( ) ( )23 2 3 2 21 31 1 3 1 2 3 3 1 3 12 2tt t t t t t t −⇔ + − = − ⇔ + − − = −   ( )()3 2 23 3 5 0 1 2 5 0 1 2; 2t t t t t t t ⇔ + − − = ⇔ + + − = ⇔ = − ∈ −  ()(){}( )12 cos 1 cos 2 ; 24 4 22x x x k k kπ π π−⇔ − = − ⇔ − = ⇔ ∈ π + π − + π ∈» Bài 4. Giải phương trình: ( )2 3sin cos 1 sin cos 13x x x x+ = + Giải Đặt ()21sin cos 2 sin 2, 2 sin cos4 2tt x x x x xπ − = + = + ∈ − ⇒ =  Khi đó (1) ( )222 20; 20; 26. 1 326 1 9ttt ttt t  ∈∈   ⇔ + = ⇔ ⇔ =+ =  ()( )2 sin 1 24 4t x x k kπ π⇔ = ⇔ + = ⇔ = + π ∈» Bài 5. Giải phương trình: ()sin cos 7 sin 2 1 1x x x− + = Giải Đặt ()2sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 14t x x x x tπ = − = − + ∈ − ⇒ = −  Khi đó ( )()2 21 7 1 1 7 6 0t t t t⇔ + − = ⇔ − − = ()()( )231cos cos14 422623 27cos cos4 724x kxtx k ktxx k= −π + π π π+ = − ==π⇔ ⇔ ⇔ = + π ∈−=π+ = = απ= − ± α + π» Bài 6. Giải phương trình: ()( )( )1 2 sin cos 2 sin cos 1 2 1x x x x+ − + = + Giải Đặt ()2sin cos 2 cos 2, 2 2 sin cos 14t x x x x x tπ = − = − + ∈ − ⇒ = − . Khi đó ( )()()()2 21 1 2 1 1 2 1 2 2 0 1 2t t t t t t⇔ + + − = + ⇔ − − + = ⇔ = ∨ = ()(){}( )31cos cos 1 2 ; 2 ; 24 4 2 42x x x k k k kπ π π π−⇔ + = ∨ + = − ⇔ ∈ −π + π + π + π ∈» Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 233 Bài 7. Giải phương trình: ()sin 2 2 sin 14x x xπ+ − = Giải ()( )( )sin 2 2 sin 1 sin 2 sin cos 1 14x x x x x xπ+ − = ⇔ + − = Đặt ()2sin cos 2 sin 2, 2 sin 2 14t x x x x tπ = − = − ∈ − ⇒ = −  Khi đó ( )( )21 1 1 1 0 0; 1t t t t t t⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = = ()(){ }( )tg 1sin cos 0; 2 ; 21sin4 22 sin 1442xx xx k k k kxx=− =π π⇔ ⇔ ⇔ ∈ + π + π π + π ∈ππ− =− =» Bài 8. Giải phương trình: ()sin 3 cos 3 2 sin cos 1x x x x− + + = Giải ( )()()( )3 31 3sin 4sin 4 cos 3cos 2 sin cos 1x x x x x x⇔ − − − + + = ()()()4 sin cos 1 sin cos 5 sin cos 1x x x x x x⇔ − + − + + = Đặt ()sin cos 2 sin 2; 24t x x xπ = + = + ∈ − , khi đó ta có phương trình: ( )( )2214 1 5 1 1 2 2 1 0 12tt t t t t t −− − + = ⇔ − + + = ⇔ =  24x kπ⇔ = + π Bài 9. Giải phương trình: ( )()1 12 2 sin 2 tan cot 0sin cosx x xx x+ + + + + = Giải Đặt ()sin cos 2 sin 2; 2 , 14t x x x tπ = + = + ∈ − ≠ ± . Biến đổi ta nhận được ( ) ( )( )2 2 2 3 222 22 1 0 2 2 1 2 2 0 2 4 2 01tt t t t t t tt+ + + = ⇔ − + + + = ⇔ + + = −  ( ) ( )22 1 0 0 1 sin cos 0 tan 14t t t t x x x x kπ⇔ + = ⇒ = ≠ ± ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + π Bài 10. Tìm m để phương trình: ()sin cos sin 2 0m x x x+ + = có nghiệm. Giải Đặt ()2sin cos 2 cos 2; 2 sin 2 14t x x x x tπ = + = − ∈ − ⇒ = −  Khi đó phương trình 21 0mt t⇔ + − =( )21 0f t t mt⇔ = + − = với 2; 2t ∈ −  Để ý rằng: 214 0m∆ = + > nên ()0f t= có 2 nghiệm phân biệt 1 2,t t 234 Theo định lý Viét, ta có 1 2 1 2. 1 . 1t t t t= − ⇒ =()( )11220 1 22, 20 1 22, 2tttt < ≤ <∈ − ⇒ ⇒ < ≤ <∈ − Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm m∀ ∈ Bài 11. Tìm m để phương trình: ()sin 2 4 cos sinx x x m+ − = có nghiệm Giải Đặt cos sin 2; 2t x x = − ∈ −  và 2sin 2 1x t= −, khi đó phương trình đã cho ( )24 1f t t t m⇔ = − + + = với 2; 2t ∈ − . Ta có ( )4 2 0 2, 2f t t t ′= − > ∀ ∈ −  ()f t⇒ đồng biến trên 2, 2 −  ⇒ Tập giá trị ()f t là ()()2 , 2 4 2 1, 4 2 1f f  − = − − +    Do đó phương trình đã cho có nghiệm ()f t m⇔ = có nghiệm 2, 2t ∈ −  4 2 1 4 2 1m⇔ − − ≤ ≤ + Bài 12. Tìm m để: 3 3sin cosx x m− = có 3 nghiệm phân biệt []0,x∈ π Giải Biến đổi: ( ) ( )33 3sin cos sin cos 3sin cos sin cosx x m x x x x x x m− = ⇔ − + − = Đặt ()[ ]sin cos 2 sin 1, 2 0,4t x x x xπ = − = − ∈ − ∀ ∈ π ; 21sin cos2tx x−=. Khi đó phương trình ( )( )23 3 2 313 2 3 1 2 3 22tt t m t t t m f t t t m −⇔ − = ⇔ + − = ⇔ = − + =   Ta có ( )23 3 0 1f t t t′= − + = ⇔ = ± ⇒Bảng biến thiên Với ()2 1, 1t t= ∨ ∈ − cho ta 1 nghiệm []0,x∈ π và với mỗi )1, 2t∈ cho ta 2 nghiệm []0,x∈ π. Nên để phương trình 3 3sin cosx x m− = có 3 nghiệm phân biệt []0,x∈ π thì ()2f t m= phải có 2 nghiệm 1 2,t t sao cho 1 221 1 2 2 2 2 12t t m m− < < < < ⇔ < < ⇔ < <. –1 1 2 2 0 0 + – –2 2 t f′(t) f(t) Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 235 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI TAN, COT I. CÔNG THỨC SỬ DỤNG ()()()sin sin costan tan ; tan tan ; tan cotcos cos cos cos cos sina b a b a ba b a b a ba b a b a b+ − −+ = − = + = ()cos2cot tan ; tan cot ; cot tan 2cot 2sin cos sin 2a ba b a a a a aa b a+− = + = − = II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Giải phương trình: ( )( )3 tan cot 4 1x x+ = Giải ()1⇔2 3 2 3 34 sin 2sin 2 4 2 6 3x x n x nxπ π= ⇔ = = ⇔ = + π ∨ = + π Bài 2. Giải phương trình: ( )( )2 sin cos tan cot 1x x x x+ = + Giải Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22kx x x xπ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ Đặt ()2sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 14t x x x x tπ = + = − ∈ − ⇒ = −  ( )( )( )2 321 2 sin cos 1 2 2 0sin 2x x t t t tx⇔ + = ⇔ − = ⇔ − − =()1t≠ ± ( ) ( )()22 2 1 0 2 cos 14t t t t xπ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ − =24x nπ⇔ = + π Bài 3. Giải phương trình: ()()3 tan cot 2 2 sin 2x x x+ = + (1) Giải Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22kx x x xπ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( )31 2 sin 2sin 2xx⇔ = +2sin 2 2 sin 2 3 0 sin 2 1x x x⇔ + − = ⇔ =4x nπ⇔ = + π Bài 4. Giải phương trình: ( )2tan 2 cot 8 cos 1x x x+ = Giải ĐK:()sin .cos 2 0 , 2x x ≠, ta có (1)()2 2cos 28cos cos 8cos .cos2 .sincos2 .sinx xx x x x xx x−⇔ = ⇔ = ()()cos 1 8 cos cos 2 sin 0 cos 1 2sin 4 0x x x x x x⇔ − = ⇔ − = {}51cos 0 sin 4 ; ;2 2 2 24 2 24 2k k kx x xπ π π π π π⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + + + 236 Bài 5. Giải phương trình: ( )3tan cot 2 cot 2 1x x x= + Giải Điều kiện: ( )sin cos sin 2 0 sin 2 0 22kx x x x xπ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( )31 tan cot 2cot 2x x x⇔ − = ⇔32 cos 22 cot 22sin cosxxx x−⇔ = ()2cot 2 1 cot 0 cot 2 0x x x⇔ + = ⇔ =22 4 2nx n xπ π π⇔ = + π ⇔ = + Bài 6. Giải phương trình: ()tan cot 2 sin 2 cos 2x x x x+ = + (1) Giải Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22kx x x xπ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( )( )21 2 sin 2 cos 2sin 2x xx⇔ = +()sin 2 sin 2 cos 2 1x x x⇔ + = ()2sin 2 cos 2 1 sin 2 0x x x⇔ − − =()cos 2 sin 2 cos 2 0x x x⇔ − = cos 2 0 tan 2 14 2 8 2n nx x x xπ π π π⇔ = ∨ = ⇔ = + ∨ = + Bài 7. Giải phương trình: ()6 tan 5cot 3 tan 2 1x x x+ = Giải ( )( )()()5cos 3 sin 21 5 tan cot 3 tan 2 tancos .sin 3 cos 2 .cosx x x xx x x xx x x x− −⇔ + = − ⇔ = 2 2 25cos 2 sin 3 .sin 10 cos 2 2 sin 3 sin 10 cos 2 cos 2 cos4x x x x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = − ()2 2 210 cos 2 cos 2 2 cos 2 1 12cos 2 cos 2 1 0x x x x x⇔ = − − ⇔ − − = 1cos 2 cos2 2232 21cos 2 cos42x kxx kx kxx kα= ± + π= = α= ±α + π⇔ ⇔ ⇔β= ±β + π= − = β= ± + π (thỏa mãn (2)) ()n ∈» Bài 8. Giải phương trình: []()2 cot2 cot 3 tg2 cot 3 1x g x x g x− = + Giải Điều kiện: ()sin 2 sin 3 cos 2 0 sin 4 sin 3 0 2x x x x x≠ ⇔ ≠ ( )()()2sin 3 2 cos 3 21sin 2 .sin 3 sin 3 .cos 2x x x xx x x x− −⇔ =()2 2 22.sin cos sin cos 0x x x x ⇔ − − =  3sin 0 sin 0 sin 2 2 sin cos 0 sin 4 0 sin 4 .sin 3 0x x x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = (3) Do (2) và (3) mâu thuẫn nhau nên phương trình (1) vô nghiệm. Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 237 Bài 9. Giải phương trình: ( )22 tan cot 3 1sinx xx+ = + Giải Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22kx x x xπ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( )( )2 2 21 tan tan cot 3 tan 3sin sin sinx x x xx x x⇔ + + = + ⇔ + = + tan 33x x nπ⇔ = ⇔ = + π (thỏa mãn (2)) ()n ∈» Bài 10. Giải phương trình: ( )23 tan 3 cot 2 2 tan 1sin 4x x xx+ = + Giải Điều kiện: ()sin 2 sin 4 cos cos cos 3 0 sin 4 .cos3 0 2x x x x x x x≠ ⇔ ≠ ( )( ) ( )21 2 tan 3 tan tan 3 cot 2sin 4x x x xx⇔ − + + = 2sin 2 cos24sin sin 4 2 cos cos 2 2 cos3cos 3 cos cos 3 sin 2 sin 4x xx x x x xx x x x x x⇔ + = ⇔ + = 4sin sin 4 cos cos 3 2 cos 3 4sin sin 4 cos cos 3 0x x x x x x x x x⇔ + + = ⇔ + − = ( )()sin sin 212sin sin 2 4 cos 2 1 cos 2 cos44 cos 2 1 0x x loaix x x x xx−⇔ + ⇔ ⇔ = =+ = 2 22x k x kα⇔ = ±α + π ⇔ = ± + π (thỏa mãn (2)) ()n ∈» Bài 11. Giải phương trình: ( )12 tan cot 2 2 sin 2 1sin 2x x xx+ = + Giải Điều kiện: sin 2 02kx xπ≠ ⇔ ≠ (2) Sử dụng: sin 2 sin cos 2 cos cos1tan cot 2cos .sin 2 cos sin sin 2x x c x xx xx x x x x++ = = = ()()()1 tan tan cot 2 sin 2 tan cotx x x x x x⇔ + + = + + ()2 2tan 4sin cos sin 4 sin cos sin 1 4 cos 0x x x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ − = ( )( )( )22sin 021cos 2 2 212 3 3cos4xx x n x n nx=π π⇔ → = − ⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈=» 238 Bài 12. Giải phương trình: 23 tan 6 2 tan 2 cot 4sin 8x x xx− = − (1) Giải ĐK:cos 6 .sin 8 0x x≠, ( )( )cos 411 tan 6 2 tan 6 tan 2sin 4 cos 4 sin 4xx x xx x x⇔ + − = − ()tan 6 2 tan 6 tan 2 tan 4x x x x⇔ + − =()()tan 6 tan 4 2 tan 6 tan 2 0x x x x⇔ − + − = ()sin 2 2 sin 410 sin 2 4 0cos 6 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4x xxx x x x x⇔ + = ⇔ + =. Do sin 8 0x≠ nên Phương trình chỉ có nghiệm ( )1cos 4 cos4 4 2kx x kα π= − = α ⇔ = ± + ∈» Bài 13. Giải phương trình: ( )23 tan 2 4 tan 3 tan 3 .tan 2 1x x x x− = Giải Điều kiện: {}( )cos 2 .cos 3 0 ; | 24 2 6 3k kx x x kπ π π π≠ ⇔ ∉ + + ∈ » ()()()1 3 tan 2 3 tan 3 tan 3 1 tan 3 tan 2 3x x x x x⇔ − = + Nếu 1 tan 3 tan 2 0x x+ = thì từ ( )tan 2 tan 3 031 tan 3 tan 2 0x xx x− =⇒+ = 2tan 2 tan 31 tan 3 0x xx=⇔ ⇒+ = Vô lý 1 tan 3 .tan 2 0x x⇒ + ≠ Khi đó ( )( )()( )3 tan 2 tan 31 3 tan 3 3 tan tan 31 tan 2 tan 3x xx x xx x−⇔ ⇔ = ⇔ − =+ ( )33 223 tan tan3 tan 3tan tan 3 tan 1 3 tan1 3 tanx xx x x x xx−⇔ = − ⇔ − = − −− ( )22 2tan 0 tan 02 tan 5tan 3 03tan tan5xx nx xxx n= == π⇔ − = ⇔ ⇔= = α= ±α + π (thỏa mãn (2)) Bài 14. Giải phương trình: ( )2 3 2 3tan tan tan cot cot cot 6 1x x x x x x+ + + + + = Giải Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22kx x x xπ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ( )()()( )3 3 2 21 tan cot tan cot tan cot 6x x x x x x⇔ + + + + + = ( ) ( ) ( )3 2tan cot 3 tan cot tan cot tan cotx x x x x x x x⇔ + − + + +()tan cot 8x x+ + = Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 239 ( ) ( ) ( )3 2tan cot tan cot 2 tan cot 8 0x x x x x x⇔ + + + − + − = Đặt tan cot tan cot 2 tan cot 2x x t t x x x x+ = ⇒ = + ≥ = Khi đó ( )()3 2 22 8 0 2 3 4 0t t t t t t+ − − = ⇔ − + + = ( )()23 722 0 2 tan cot 22 4 sin 2t t t x xx ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ + = =   sin 2 14x x nπ⇔ = ⇔ = + π (thỏa mãn (2)) ()n ∈» Bài 15. Giải phương trình: ()tan 2 tan 3 tan 5 tan 2 . tan 3 .tan 5 1x x x x x x− − = Giải Điều kiện: ()cos 2 .cos 3 .cos 5 0 2x x x ≠ ()()()1 tan 2 5 tan tan 3 1 tan 2 . tan 5 3x x x x x⇔ − = +. Nếu 1 tan 2 . tan 5 0x x+ = thì từ ( )tan 2 tan 5 031 tan 2 tan 5 0x xx x− =⇒+ =2tan 2 tan 51 tan 2 0x xx=⇔ ⇒+ = Vô lý 1 tan 2 tan 5 0x x⇒ + ≠ Khi đó ( )( ) ( ) ( )tan 2 tan 51 3 tan 3 tan 2 5 tan 3 tan 31 tan 2 tan 5x xx x x x xx x−⇔ ⇔ = = − = − = −+ tan 3 03kx xπ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn (2)) ()n ∈» Bài 16. Giải phương trình: ( )2 2 2 2tan 2 . tan 3 .tan 5 tan 2 tan 3 tan 5 1x x x x x x= − + Giải ĐK: ()cos 2 .cos 3 .cos 5 0 2x x x ≠; ( )()( )2 2 2 21 tan 3 tan 2 tan5 1 tan 3 tan 2 , 3x x x x x⇔ − = − Nếu 2 21 tan 3 . tan 2 0x x− = thì từ ( )2 22 2tan 3 tan 2 031 tan 3 . tan 2 0x xx x− =⇒− = 2 2 2 2 22 2 2 2 2tan 3 tan 2 tan 2 1 cos 2 sin 2tan 3 .tan 2 1 tan 3 1 cos 3 sin 3x x x x xx x x x x  = = =  ⇔ ⇔ ⇔  = = =    cos 4 0cos 6 0xx=⇔= ( )222 cos 2 1 0cos 2 4 cos 2 3 0xx x− =⇔− =221cos 223cos 24xx=⇔ ⇒= Vô lý 2 21 tan 3 tan 2 0x x⇒ − ≠ Khi đó ( )( )tan 3 tan 2 tan 3 tan 21 3 tan 5 tan .tan 51 tan 3 .tan 2 1 tan 3 tan 2x x x xx x xx x x x− +⇔ ⇔ = ⋅ =+ − ( )( )( )2tan 5 0 tan 5 0tan 5 05tan 1 cos 2 0x xkx x kx x= = π⇔ ⇔ → = ⇒ = ∈ = ⇒ = » 240 Bài 17. Giải phương trình: 2 2 21 1 1tan . tan 2 tan 2 .tan 4 tan 4 tan 8 tan 8 22 4 4x x x x x x x+ + = − Giải Điều kiện: cos cos 2 cos 4 cos8 0x x x x≠. Ta có cot 2cot 2 tana a a− =⇒21 2tan tan 2 2 tan tan tan 2tan tan 2a a a a aa a− = ⇔ − = Khi đó: ( )( ) ( )1 1 1tan 2 2 tan tan 4 2 tan 2 tan 8 2 tan 4 tan 8 22 4 4x x x x x x x− + − + − = − ( )tan 14x x k kπ⇔ = ⇔ = + π ∈ thỏa mãn điều kiện. Bài 18. Giải phương trình: 2 2 2 2tan 4 tan 2 16 tan 4 64 cot 8 41x x x x+ + = + (1) Giải Điều kiện: sin 8 0x≠. Xét đẳng thức cot 2cot 2 tana a a− =. Đạo hàm 2 vế của đẳng thức này ta có ( ) ( ) ( )2 2 22 2 21 4 11 cot 4 1 cot 2 1 tansin sin 2 cosa a aa a a− + = ⇔ − − + + = + 2 2 24 cot 2 cot tan 2a a a⇔ − = −. Sử dụng đẳng thức này ta có ( )()()()2 2 2 21 tan 2 4 tan 2 2 16 tan 4 2 64 cot 8 1x x x x⇔ − + − + − = − ()()()2 2 2 2 2 2 24cot 2 cot 4 4cot 4 cot 2 16 4cot 8 cot 4 64cot 8 1x x x x x x x⇔ − + − + − = − ( )2cot 1 cot 14 2kx x x kπ π⇔ = ⇔ = ± ⇔ = + ∈ Bài 19. Giải phương trình: 2 2 22 2 2sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos180cos 3 cos 9 cos 27x x x x x xx x x+ + = Giải Điều kiện: cos 27 0x≠. Ta có công thức 22 228sin cos 2tan 3 tancos 3a aa aa− =. Biến đổi phương trình ta có 2 2 22 2 2sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos180cos 3 cos 9 cos 27x x x x x xx x x+ + = ()()()2 2 2 2 2 2tan 3 tan tan 9 tan 3 tan 27 tan 9 0x x x x x x⇔ − + − + − = 2 2tan 27 tanx x⇔ =( )2726 28k kx x k x x kπ π⇒ = ± + π ⇔ = ∨ = ∈ Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 241 Bài 7. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba 245 BÀI 3. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC, GÓC NHÂN ĐÔI I. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC 21 cos 2sin ;2xx−= 21 cos 2cos2xx+= ; 1sin cos sin 22x x x=; 21 cos 2tan ;1 cos 2xxx−=+ 3sin 3 3sinsin4x xx− += ; 3cos 3 3coscos4x xx+= ; 3sin 3 3sintan ;cos 3 3cosx xxx x− +=+ CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1. Giải phương trình: 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − (1) Giải ( )1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos1212 2 2 2x x x x− + − +⇔ − = − cos 6 cos8 cos10 cos12 2 cos 7 cos 2cos11 cosx x x x x x x x⇔ + = + ⇔ = ( )cos 0cos cos11 cos 7 0cos11 cos 7xx x xx x=⇔ − = ⇔=( )2 9k kx x kπ π⇔ = ∨ = ∈» Bài 2. a. Giải phương trình: 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x+ + + = (1) b. Giải phương trình: 2 2 2 23cos cos 2 cos 3 cos 42x x x x+ + + = (2) Giải a. ( )1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 1 cos8122 2 2 2x x x x+ + + +⇔ + + + = ()()cos 2 cos8 cos 4 cos 6 0 2 cos 5 cos 3 2cos 5 cos 0x x x x x x x x⇔ + + + = ⇔ + = ()2 cos5 cos 3 cos 0 4 cos 5 cos 2 cos 0x x x x x x⇔ + = ⇔ = {}( )cos 0 cos 2 0 cos 5 0 ;4 2 10 5k kx x x x kπ π π π⇔ = ∨ = ∨ = ⇔ ∈ + + ∈» b. ( )21 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 32cos 42 2 2 2x x xx+ + +⇔ + + + = ()22cos 2 cos 6 cos 4cos 4 0 2 cos 4 cos 2 cos 4 2cos 4 02x x xx x x x x+ +⇔ + = ⇔ + + = ( )()2cos 4 2 cos 4 2cos 2 1 0 cos 4 4 cos 2 2 cos 2 1 0x x x x x x⇔ + + = ⇔ + − = ( )cos 4 coscos 4 08 421 52cos 2 cos 2 cos4 5 54 21 5cos 2 coscos 25 54kxxxx x x k kx x kxπ ππ= +==− +π π⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + π ∈π π− −= = ± + π=  »