Nên xem trước: Lý thuyết phương trình mặt phẳng trong không gian
4 dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian mà chúng ta hay sử dụng tới là:
Dạng 1: Biết điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến
Mặt phẳng $[P]$ đi qua điểm $M[x_0;y_0;z_0]$ và có véctơ pháp tuyến $\vec{n}=[A;B;C]$. Khi đó phương trình mặt phẳng $[P]$ là: $A[x-x_0] + B[y-y_0] + C[z-z_0] = 0$
Dạng 2: Biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp véctơ chỉ phương
Mặt phẳng $[P]$ đi qua điểm $M[x_0;y_0;z_0]$ và có cặp véctơ chỉ phương là $\vec{a}; \vec{b}$. Khi đó nếu ta gọi $\vec{n}$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $[P]$, thì $\vec{n}$ sẽ bằng tích có hướng của hai véctơ $\vec{a}$ và $ \vec{b}$. Tức là : $\vec{n} = [\vec{a};\vec{b}]$.
Dạng 3: Biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác
Mặt phẳng $[P]$ đi qua điểm $M[x_0;y_0;z_0]$ và song song với mặt phẳng $[Q]$ có phương trình là: $Ax + By +Cz + D = 0$.Khi đó mặt phẳng $[P]$ sẽ có phương trình là: $A[x-x_0] + B[y-y_0] +C[z-z_0]= 0$
Dạng 4: Biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng
Mặt phẳng $[P]$ đi qua 3 điểm không thẳng hàng $A;B;C$. Khi đó mặt phẳng $[P]$ có 1 cặp vécttơ chỉ phương là: $\vec{AB};\vec{AC}$ hoặc $\vec{AB};\vec{BC}$ hoặc $\vec{AC};\vec{BC}$ …
Kết luận:
Trên đây là 4 dạng toán cơ bản khi viết phương trình mặt phẳng trong không gian mà chúng ta sẽ phải dùng tới. Còn có rất nhiều dạng toán khác nữa nhưng thời gian tới khi các bạn ôn thi thầy sẽ gửi tới các bạn thêm.
Có thể bạn sẽ thích: 3 bài tập lập phương trình mặt phẳng học sinh chưa giỏi nên xem
Để các bạn có thể hiểu rõ hơn thì thầy sẽ gửi tới chúng ta hai bài tập áp dụng cho 4 dạng toán lập phương trình mặt phẳng trên. Và ngay bên dưới là hướng dẫn giải tóm tắt cho 2 bài toán này.
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng [P] trong các trường hợp sau:
a. Đi qua $M[3;1;1]$ và có VTPT $\vec{n}=[-1;1;2]$
b. $[P]$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ cho trước với $A[2;1;1]$ và $B[2;-1;-1]$
c. Đi qua $M[1;2;-3]$ và có cặp VTCP là $\vec{a}=[2;1;2]$ và $\vec{b}=[3;2;-1]$
d. Đi qua $3$ điểm không thẳng hàng $A[1;-2;4]; B[3;2;-1]; C[-2;1;-3]$
Hướng dẫn:
a. Biết điểm thuộc mặt phẳng và 1 véc tơ pháp tuyến => các bạn tự lắp vào phương trình.
b. [P] là mặt phẳng trung trực của AB nên [P] sẽ vuôngg góc với AB => $\vec{AB}$ là 1 véc tơ pháp tuyến.
c. Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa vào cặp véc tơ chỉ phương đã cho của mặt phẳng
d. Đi qua 3 điểm không thẳng hàng nên sẽ nhận 1 trong các cặp véc tơ sau làm cặp véc tơ chỉ phương. $\vec{AB};\vec{AC}$ hoặc $\vec{BC};\vec{BA}$ hoặc $\vec{CA};\vec{CB}$
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng $[P]$ biết:
a. $[P]$ đi qua điểm $M[2;1;5]$ và song song với các mặt phẳng tọa độ
b. $[P]$ đi qua điểm $M[2;1;5]$ và song song với mặt phẳng $[Q]: x-2y+z-10=0$
Hướng dẫn:
a. Vì [P] song song với các mặt phẳng tọa độ nên [P] nhận véc tơ pháp tuyến của các mặt phẳng tọa độ làm vec tơ pháp tuyến của mình => cần biết phương trình mặt phẳng các tọa độ [Oxy]; [Oxz]; [Oyz]
b. [P] nhận véc tơ pháp tuyến của [Q] làm véc tơ pháp tuyến cho mình
Xem thêm các video:
1. Chuyên đề khảo sát hàm số
2. Chuyên đề tích phân
3. Các phương pháp hay viết phương trình đường thẳng trong không gian
Đó là toàn bộ hướng dẫn cơ bản cho các bạn để làm được hai tập trên, quá dễ dàng phải không nào? Và toàn bộ nội dung của bài viết này thầy tổng hợp lại trong video bài giảng dưới đây. Trong video bài giảng này thầy sẽ trình bày cụ thể chi tiết cả lý thuyết và bài tập về 4 dạng viết phương trình mặt phẳng ở trên.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Hình học giải tích là một kiến thức khá mới và thú vị trong chương trình toán THPT. Chính vì vậy, hôm nay Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn hướng dẫn giải toán nâng cao 12 cho một số dạng bài tập hay bắt gặp trong các đề thi, mà tập trung chính sẽ là chủ đề phương trình mặt phẳng. Đây là những bài tập đòi hỏi tính vận dụng cao, ngoài kiến thức cơ bản, cũng yêu cầu sự kết hợp nhuần nhuyễn và linh hoạt các công thức mới có thể giải được. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:
I. Giải toán nâng cao 12 – Kiến thức cần nắm.
Vecto pháp tuyến [VTPT] của mặt phẳng:
Chú ý:
+ Nếu
+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu ta biết VTPT của nó và một điểm nó đi qua.
+ Nếu hai vecto
Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
+ Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng sau: Ax+ By+Cz+D=0 [với A²+B²+C²≠0]
+ Khi đó vecto [A,B,C] được xem là VTPT của mặt phẳng.
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M[x0,y0,z0] và xem vecto [A,B,C] ≠ 0 là VTPT là:
A[x-x0]+B[y-y0]+C[z-z0]=0
Một số trường hợp đặc biệt: Xét phương trình mặt phẳng [α]: Ax+ By+Cz+D=0
[với A²+B²+C²≠0]:
+ Nếu D=0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
+ Nếu A=0, BC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.
+ Nếu B=0, AC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy
+ Nếu C=0, AB≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz.
+ Nếu A=B=0, C≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oxy]
+ Nếu B=C=0, A≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oyz]
+ Nếu A=C=0, B≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oxz]
Như vậy ta rút ra nhận xét:
+ Nếu trong phương trình [α] không chứa ẩn nào thì mặt phẳng [α] sẽ song song hoặc chứa trục tương ứng [ví dụ A=0, tức là thiếu ẩn x, kết quả là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox].
+ Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: x/a +y/b + z/c=1. ở đây, mặt phẳng sẽ cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ [a,0,0]; [0,b,0] và [0,0,c] [với abc≠0]
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho [α]: Ax+By+Cz+D=0 và [β]: A’x+B’y+C’z+D’=0, khi đó:
+ [α] song song [β]:
+ [α] trùng [β]:
+ [α] cắt [β]: chỉ cần
Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng: cho mặt phẳng [α]: Ax+By+Cz+D=0 và điểm M[x0,y0,z0], lúc này khoảng cách từ M đến mặt phẳng [α] được tính theo công thức:
II. Hướng dẫn các dạng giải toán nâng cao 12 phương trình mặt phẳng.
Dạng 1: viết phương trình khi biết 1 điểm và VTPT. Dạng này có thể biến tấu bằng cách cho trước 1 điểm và một phương trình mặt phẳng khác song song với phương trình mặt phẳng cần tìm.
Phương pháp: Áp dụng trực tiếp phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có VTPT, áp dụng thêm lưu ý hai mặt phẳng song song thì có cùng VTPT.
VD: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A[1;0;-2] và VTPT [1;-1;2]?
Hướng dẫn:
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Phương pháp:
Mấu chốt vấn đề là ta phải tìm được VTPT của mặt phẳng, vì đã biết trước được một điểm mà mặt phẳng đi qua rồi [A, B và C].
Do A, B, C cùng nằm trên mặt phẳng nên AB, AC là hai đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng, lúc này:
Trường hợp này có thể biến tấu bằng cách thay vì cho 3 điểm cụ thể, bài toán sẽ cho 2 đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng cần tìm. Cách làm là tương tự, thay các vecto AB, AC bằng các vecto chỉ phương của mặt phẳng, ta sẽ tìm được VTPT. Sau đó, chọn 1 điểm bất kì trên 1 đường thẳng là ta lại quay về dạng 1.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A[1;0;-2], B[1;1;1] và C[0;-1;2].
Hướng dẫn:
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng [α] song song với mặt phẳng [β]: Ax+By+Cz+D=0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.
Phương pháp:
Do [α] song song [β] nên mặt phẳng cần tìm có dạng: Ax+By+Cz+D’=0.
Sử dụng công thức khoảng cách để tìm D’.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với [Q]: x+2y-2z+1=0 và cách điểm M[1;-2;1] một khoảng là 3.
Hướng dẫn:
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng [α] tiếp xúc với mặt cầu [S] cho trước.
Phương pháp:
Ta tìm tọa độ tâm I của [S]. Do [α] tiếp xúc [S] nên ta sẽ tìm tọa độ tiếp điểm, gọi tiếp điểm là M. Có được điểm đi qua, VTPT lại là vecto MI thì ta dễ dàng áp dụng như dạng 1.
Nếu bài toán không cho tiếp điểm mà ta chỉ có thể tìm được VTPT dựa vào 1 số dữ kiện ban đầu, lúc này phương trình mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Sử dụng công thức tính khoảng cách để tìm D.
Ví dụ: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q]: x+2y-2z+1=0 và tiếp xúc với mặt cầu [S]: x²+y²+z²+2x-4y-2z-3=0.
Hướng dẫn:
III. Giải toán nâng cao 12 – Các bài tập tự luyện.
Đáp án:
Trên đây là những vấn đề giải toán nâng cao 12 chủ đề phương trình mặt phẳng mà Kiến Guru muốn chia sẻ tới các bạn. Trong khuôn khổ bài viết, tuy mới chỉ là một trong số rất nhiều dạng trong chương trình Toán THPT, nhưng Kiến hy vọng đây sẽ là một tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các bạn. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều bài viết khác trên trang của Kiến nhé. “Có công mài sắt có ngày nên kim”, chúc các bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPT sắp tới.