Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu : a] Đi qua ba điểm A[0 ; 8 ; 0], B[4; 6 ; 2], C[0 ; 12 ; 4] và có tâm nằm trên mp[Oyz]; b] Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng [Oyz] và có tâm nằm trên tia Ox;
c] Có tâm I[1 ; 2 ; 3] và tiếp xúc với mp[Oyz].. Bài 14 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
Bài 14. Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu :
a] Đi qua ba điểm A[0 ; 8 ; 0], B[4; 6 ; 2], C[0 ; 12 ; 4] và có tâm nằm trên mp[Oyz];
b] Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng [Oyz] và có tâm nằm trên tia Ox;
c] Có tâm I[1 ; 2 ; 3] và tiếp xúc với mp[Oyz].
a] Tâm I của mặt cầu nằm trên mp[Oyz] nên \[I\left[ {0;b;c} \right]\]. Ta tìm b và c để IA = IB = IC. Ta có:
\[\left\{ \matrix{ I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr I{A^2} = I{C^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\left[ {8 – b} \right]^2} + {c^2} = {4^2} + {\left[ {6 – b} \right]^2} + {\left[ {2 – c} \right]^2} \hfill \cr {\left[ {8 – b} \right]^2} + {c^2} = {\left[ {12 – b} \right]^2} + {\left[ {4 – c} \right]^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ b = 7 \hfill \cr
c = 5 \hfill \cr} \right.\]
Quảng cáoVậy tâm \[I\left[ {0;7;5} \right]\] bán kính
R = IA =\[\sqrt {0 + 1 + 25} = \sqrt {26} \].
Mặt cầu có phương trình \[{x^2} + {\left[ {y – 7} \right]^2} + {\left[ {z – 5} \right]^2} = 26\].
b] Vì tâm của mặt cầu nằm trên tia Ox và mặt cầu tiếp xúc với mp[Oyz] nên điểm tiếp xúc phải là O, do đó bán kính mặt cầu là R = IO = 2 và \[I\left[ {2;0;0} \right]\].
Mặt cầu có phương trình \[{\left[ {x – 2} \right]^2} + {y^2} + {z^2} = 4\]
c] Vì mặt cầu có tâm \[I\left[ {1;2;3} \right]\] và tiếp xúc với mp[Oyz], vậy R = 1. Mặt cầu có phương trình \[{\left[ {x – 1} \right]^2} + {\left[ {y – 2} \right]^2} + {\left[ {z – 3} \right]^2} = 1\]
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A[1;2;-4], B[1;-3;1], C[2;2;3] và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy.
Với Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm .
Phương pháp giải
Gọi I [x; y; z ] là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C
⇔ IA=IB=IC
+ Dựa vào điều kiện cho trước để tìm phương trình còn lại
⇒ Tọa độ tâm I, R2 =IA2
⇒ Phương trình mặt cầu cần tìm.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho 3 điểm A [ 2; 0; 1], B [1; 0; 0], C [1; 1; 1] và mặt phẳng [P]: x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng [P]
Hướng dẫn:
Gọi I [x; y; z] là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C
⇔ IA=IB=IC
Do tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng [P] nên: x + y + z – 2 = 0
Ta có hệ phương trình
Vậy I [1; 0; 1] và R2 =IA2=1
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
[x-1]2 +y2 +[z-1]2 =1
Bài 2: : Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A [1; 0; 0], B [0; 3; 0], C [0; 0; 6]. Tìm phương trình mặt cầu [S] tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C và đi qua A
Hướng dẫn:
Gọi I [a; b; c] là tâm mặt cầu
IB→=[-a;3-b; -c]; IC→=[-a; -b;6-c]
Do mặt cầu [S] tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C nên
⇒ I[a;3;6]
I đi qua A nên ta có IA = IB
⇔ IA2 =IB2 ⇔ [a-1]2 +32 +62 =a2 +62
⇔ a=5
Khi đó, I [5; 3; 6] và R2=IA2 =61
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là :
[x-5]2 +[y-3]2 +[z-6]2 =61
Bài 3:Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua A [0; 8; 0], B [4; 6; 2], C [0; 12; 4] và có tâm I thuộc mặt phẳng [Oyz]
Hướng dẫn:
Do tâm I thuộc mặt phẳng [Oyz] nên I [0; b; c]
Mặt cầu đi qua A, B, C nên IA = IB = IC
Vậy I [0; 7; 5]; R2 =IA2 =26
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là
x2 +[y-7]2 +[z-5]2 =26
Tải tài liệuBài viết liên quan
« Bài kế sau Bài kế tiếp »
Với Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và thỏa mãn điều kiện cho trước, trong đó tọa độ A, B, C đã cho
Gọi I [x; y; z ] là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C
⇔ IA=IB=IC
+ Dựa vào điều kiện cho trước để tìm phương trình còn lại
⇒ Tọa độ tâm I, R2 =IA2
⇒ Phương trình mặt cầu cần tìm.
Bài 1: Cho 3 điểm A [ 2; 0; 1], B [1; 0; 0], C [1; 1; 1] và mặt phẳng [P]: x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng [P]
Hướng dẫn:
Gọi I [x; y; z] là tâm mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C
⇔ IA=IB=IC
Do tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng [P] nên: x + y + z – 2 = 0
Ta có hệ phương trình
Vậy I [1; 0; 1] và R2 =IA2=1
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
[x-1]2 +y2 +[z-1]2 =1
Bài 2: : Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A [1; 0; 0], B [0; 3; 0], C [0; 0; 6]. Tìm phương trình mặt cầu [S] tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C và đi qua A
Hướng dẫn:
Gọi I [a; b; c] là tâm mặt cầu
IB→=[-a;3-b; -c]; IC→=[-a; -b;6-c]
Do mặt cầu [S] tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc với Oz tại C nên
⇒ I[a;3;6]
I đi qua A nên ta có IA = IB
⇔ IA2 =IB2 ⇔ [a-1]2 +32 +62 =a2 +62
⇔ a=5
Khi đó, I [5; 3; 6] và R2=IA2 =61
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là :
[x-5]2 +[y-3]2 +[z-6]2 =61
Bài 3:Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua A [0; 8; 0], B [4; 6; 2], C [0; 12; 4] và có tâm I thuộc mặt phẳng [Oyz]
Hướng dẫn:
Do tâm I thuộc mặt phẳng [Oyz] nên I [0; b; c]
Mặt cầu đi qua A, B, C nên IA = IB = IC
Vậy I [0; 7; 5]; R2 =IA2 =26
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là
x2 +[y-7]2 +[z-5]2 =26