Tính tổng và tích các nghiệm của phương trình theo m
|
Hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình.. Câu 36 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 – Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Show
Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình: a) \(2{x^2} – 7x + 2 = 0\) b) \(2{x^2} + 9x + 7 = 0\) c) \(\left( {2 – \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0\) d) \(1,4{x^2} – 3x + 1,2 = 0\) e) \(5{x^2} + x + 2 = 0\)  a) \(\eqalign{ & 2{x^2} – 7x + 2 = 0 \cr & \Delta = {\left( { – 7} \right)^2} – 4.2.2 = 49 – 16 = 33 > 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = {7 \over 2};{x_1}{x_2} = {2 \over 2} = 1\) b) \(\eqalign{ & 5{x^2} + 2x – 16 = 0 \cr & a = 5;c = – 16;ac < 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: Quảng cáo\({x_1} + {x_2} = – {2 \over 5};{x_1}{x_2} = – {{16} \over 5}\) c) \(\eqalign{ & \left( {2 – \sqrt 3 } \right){x^2} + 4x + 2 + \sqrt 2 = 0 \cr & \Delta ‘ = {2^2} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 4 – 4 – 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + \sqrt 6 \cr & = 2\sqrt 3 + \sqrt 6 – 2\sqrt 2 > 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = {{ – 4} \over {2 – \sqrt 3 }} = – 4\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \cr & {x_1}{x_2} = {{2 + \sqrt 2 } \over {2 – \sqrt 3 }} = {{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \over {4 – 3}} = 4 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 + \sqrt 6 \cr} \) d) \(\eqalign{ & 1,4{x^2} – 3x + 1,2 = 0 \cr & \Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.1,4.1,2 = 9 – 6,72 = 2,28 > 0 \cr} \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = – {{ – 3} \over {1,4}} = {{30} \over {14}} = {{15} \over 7} \cr & {x_1}{x_2} = {{1,2} \over {1,4}} = {6 \over 7} \cr} \) e) \(\eqalign{ & 5{x^2} + x + 2 = 0 \cr & \Delta = 1 – 4.5.2 = 1 – 40 = – 39 < 0 \cr} \) Phương trình vô nghiệm, không có tổng và tích của các nghiệm.
Phương trình là một chủ đề thường gặp trong các đề thi toán tuyển sinh lớp 10. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến các bạn dạng toán tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng. Đây là 1 dạng ứng dụng của định lý Viet trong phương trình bậc 2 một ẩn. Phương pháp là gì? Ứng dụng ra sao? Mời các bạn cùng tham khảo: Lý thuyết vận dụng trong bài toán tìm 2 số khi biết tổng và tích.1. Định lý Vi-et.Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0). Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình trên, khi đó: Chú ý: trong một số trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2, dựa vào hệ thức Viet, ta có thể dễ dàng suy ra nghiệm, cụ thể: – Trường hợp a+b+c=0 thì 1 nghiệm x1=1, nghiệm còn lại là x2=c/a 2. Định lý Vi-et đảo.Giả sử hai số u, v thỏa: thì hai số u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 Điều kiện để tồn tại hai số u, v là: S2-4P≥0 Bài tập minh họa tìm 2 số khi biết tổng và tích.Bài tập Tìm 2 số khi biết tổng và tích.Cùng giải một số bài tập tìm 2 số khi biết tổng và tích sau nhé: Bài 1: Giải tìm u, v:
Hướng dẫn: Ta đặt S=u+v, P=uv. 1. S2-4P=142-4.40=36≥0 suy ra u, v là nghiệm của phương trình: x2-14x+40=0 Giải phương trình trên, thu được x1=10, x2=4 Ta để ý hai số u và v có vai trò tương tự nhau, nên ta có đáp án: 2. S2-4P=(-5)2-4.(-25)=125≥0 suy ra u, v là nghiệm của phương trình x2+5x-25=0 giải tìm ra được: Ta để ý hai số u và v có vai trò tương tự nhau, nên ta có đáp án: 3. S2-4P=(10)2-4.26=-4<0 Vì vậy không tồn tại 2 số u, v thỏa mãn điều kiện tổng tích ban đầu. Trên là dạng toán cơ bản nhất, mời bạn cùng tham khảo thêm dạng toán nâng cao hơn về Giải bài tập Tìm 2 số khi biết tổng và tích Bài 2: Tìm hai số u, v biết rằng:
Hướng dẫn: Những bài kiểu này không cho trực tiếp các giá trị tổng và tích. Vì vậy, hướng xử lý là ta phải biến đổi các biểu thức ban đầu về dạng tổng tích, rồi tìm tổng tích của chúng. Cụ thể: Đặt S=u+v, P=uv. 1. Từ u2+v2=41 ⇒ (u+v)2-2uv=41 ⇒ uv=20 mà S2-4P=(9)2-4.(20)=1≥0, suy ra u, v là nghiệm của phương trình Do u, v có vai trò tương tự nhau nên: 2. Để ý, u-v=u+(-v)=5 Lại có: uv=36 ⇒ u(-v)=-36 mà S2-4P=(5)2-4.(-36)≥0 Suy ra u, (-v) là nghiệm của: Ta có kết quả: 3. Ta biến đổi u2+v2=61 ⇒ (u+v)2-2uv=61 ⇒ u+v=11 hoặc u+v=-11 Trường hợp 1: u+v=-11 Lúc này S2-4P=(-11)2-4.(30)=1≥0 suy ra u, v là nghiệm của: Do vai trò của u, v là tương tự, nên: Trường hợp 2: u+v=11 Lúc này S2-4P=(11)2-4.(30)=1≥0 suy ra u, v là nghiệm của: Do vai trò của u, v là tương tự, nên: Chú ý: cách biến đổi hệ để tính các giá trị tổng S và tích P sẽ dẫn đến cho chúng ta một dạng bài giải hệ phương trình, đó là hệ phương trình hai ẩn đối xứng loại 1. Dưới đây sẽ nêu ra định nghĩa và cách giải loại hệ này, tất nhiên, phụ thuộc nhiều vào khả năng biến đổi tổng S và tích P. 2. Hệ phương trình 2 ẩn đối xứng loại 1.Hệ phương trình 2 ẩn đối xứng loại 1 là hệ có dạng: Tức là khi thay đổi x bởi y, y bởi x thì các hệ thức không thay đổi. Ví dụ f(x,y)=x+y-2xy là một hệ thức đối xứng giữa x và y vì f(x,y)=x+y-2xy=y+x-2yx=f(y,x) Phương pháp giải:
Một số điểm cần nhớ:
Ví dụ 1: Giải hệ sau: Hướng dẫn: Để ý đây là hệ đối xứng loại 1, đặt x+y=S, xy=P (điều kiện S2-4P≥0). Hệ ban đầu trở thành: Ví dụ 2: Giải hệ : Hướng dẫn: Đặt t=-y. Lúc này hệ sẽ trở thành đối xứng loại 1. Lại đặt x+t=S, xt=P. Ta thu được: Ví dụ 3: Giải hệ sau: Hướng dẫn: Điều kiện: xy≠0 Hiển nhiên đây là 1 hệ phương trình đối xứng loại 1, tuy nhiên nếu để như vậy mà đặt S, P thì sẽ rất rối. Ta biến đổi nhỏ như sau: Lúc này, ta thấy hệ trở nên đơn giản hơn rất nhiều, đặt: Ta thu được: Chú ý: như các bạn để ý, cách chọn đặt ẩn S, P rất quan trọng. Nếu khéo léo xử lý, bài toán sẽ gọn hơn rất nhiều, ngược lại, nếu chỉ đặt S, P mà không suy xét biến đổi, bài toán sẽ trở nên phức tạp và đôi khi sẽ đi vào ngõ cụt. Trên đây là những tóm tắt về lý thuyết cũng như phương pháp giải quyết trong bài toán tìm 2 số khi biết tổng và tích. Hy vọng qua các ví dụ trên, các bạn sẽ có cái nhìn rõ ràng, chặt chẽ và hướng xử lý hiệu quả trong các bài toán chủ đề này. Đây là chủ đề rất quen thuộc, thường xuyên xuất hiện ở đề thi, việc vận dụng tốt cách giải sẽ giúp ích cho các bạn chinh phục các đề toán. Mời bạn tham khảo thêm những bài viết khác trên trang Kiến Guru để có thêm nhiều bài học bổ ích. Chúc các bạn may mắn! |
