2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a, $ab[a+b]\leq a^{3}+b^{3}$
b, $\frac{a^{2}+2}{\sqrt{a^{2}+1}}\geq 2$
c, $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$ [với a, b, c là các số dương]
d, $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{[x+y]^{2}}{a+b}$ [với a, b, c là các số dương và x, y, z là các số thực tùy ý]
3. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c là các số dương:
a, $[a+b]\left [ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right ]\geq 4$
b, $[1+ab]\left [ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right ]\geq 4$
c, $\left [ 1+\frac{a}{b} \right ]\left [ 1+\frac{b}{c} \right ]\left [ 1+\frac{c}{a} \right ]\geq 8$
Xem lời giải
12.227 lượt xem
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa dấu căn
GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo tài liệu Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn. Đây là một trong những dạng toán khó và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, đòi hỏi việc vận dụng linh hoạt các kiến thức Đại số Toán 9. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
1. Biến đổi biểu thức
Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.
Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
2. Chứng minh biểu thức luôn dương hoặc luôn âm
Phương pháp:
- Để chứng minh biểu thức A luôn dương ta cần chỉ ra:
- Để chứng minh biểu thức A luôn âm ta cần chỉ ra:
3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho hai số a, b không âm ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
4. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích
B. Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải
a] Điều kiện xác định x ≥ 0
Do
=> max A = 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0
b] Điều kiện xác định
Do
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0
Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: x ∈ [-3; 3]
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ: Cho biểu thức
a] Rút gọn biểu thức A
b] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Hướng dẫn giải
a] Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta rút gọn biểu thức được kết quả như sau:
b] Có hai cách giải bài toán như sau:
Cách 1: Thêm bớt rồi dùng bất đẳng thức Cauchy hoặc đánh giá dựa vào điều kiện đề bài.
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
Theo bất đẳng thức Cauchy ra có:
Như vậy P ≤ -5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9
Cách 2: Dùng miền giá trị để đánh giá
Với điều kiện x > 0 và x ≠ 1 ta có:
Để tổn tại P thì phương trình [*] phải có nghiệm, tức là:
∆ = [P - 1]2 - 36 ≥ 0 ⇔ [P - 1]2 ≥ 36 ⇔ P - 1 ≤ -6 [Do P < 1] ⇔ P ≤ -5
Như vậy P ≤ -5 khi
Vậy giá trị lớn nhất của P là -5 khi và chỉ khi x = 1/9
C. Bài tập vận dụng tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
Bài 2: Tìm giá trị của x nguyên để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:
Bài 3: Cho biểu thức:
a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
b. Rút gọn biểu thức B
c. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Bài 4: Cho biểu thức:
Bài 5: Cho biểu thức:
a. Rút gọn A
b. Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 6: Cho biểu thức:
a. Rút gọn B
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
-------------------------------------------------
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn là phần kiến thức quan trọng thường xuất hiện trong các bài thi, bài kiểm tra môn Toán lớp 9, chính vì vậy việc nắm vững các kiến thức là rất quan trọng giúp các em học sinh có thể đạt điểm cao trong các bài thi của mình. Hy vọng tài liệu trên sẽ giúp các em học sinh ghi nhớ lý thuyết và cách áp dụng từ đó vận dụng giải các bài toán về biểu thức chứa căn lớp 9 một cách dễ dàng hơn. Chúc các em học tốt.
Ngoài ra để có thể ôn tập hiệu quả nhất môn Toán 9 chuẩn bị thi vào lớp 10, các bạn học sinh có thể tham khảo thêm tài liệu:
10:39:4016/06/2020
Bài tập về tìm giá trị lớn nhất [GTLN] và giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số không phải là dạng toán khó, hơn nữa dạng toán này đôi khi xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Vì vậy các em cần nắm vững để chắc chắn đạt điểm tối đa nếu có dạng toán này.
Vậy cách giải đối với các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất [GTLN] và giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số [như hàm số lượng giác, hàm số chứa căn,...] trên khoảng xác định như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.
I. Lý thuyết về GTLN và GTNN của hàm số
• Cho hàm số y = f[x] xác định trên tập D ⊂ R.
- Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho f[x] ≤ f[x0] với mọi x ∈ X thì số M = f[x0] được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên X.
Ký hiệu:
- Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ X sao cho f[x] ≥ f[x0] với mọi x ∈ X thì số m = f[x0] được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên X.
Ký hiệu:
II. Các dạng bài tập tìm GTLN và GTNN của hàm số và cách giải
° Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị của nhất của hàm số trên đoạn [a;b].
- Nếu hàm số f[x] liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên [a;b] thì cahcs tìm GTLN và GTNN của f[x] trên [a;b] như sau:
* Phương pháp giải:
- Bước 1: Tính f'[x], giải phương trình f'[x] = 0 ta được các điểm cực trị x1; x2;... ∈ [a;b].
- Bước 2: Tính các giá trị f[a]; f[x1]; f[x2];...; f[b]
- Bước 3: Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số f[x] trên đoạn [a;b]; Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của hàm số f[x] trên đoạn [a;b].
• Chú ý: Khi bài toán không chỉ rõ tập X thì ta hiểu tập X chính là tập xác định D của hàm số.
* Ví dụ 1 [Bài 1 trang 23-24 SGK Giải tích 12]: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a] y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
b] y = x4 - 3x2 + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5]
° Lời giải:
- Để ý bài toán trên gồm 2 hàm vô tỉ, một hàm hữu tỉ và 1 hàm có chứa căn. Chúng ta sẽ tìm GTLN và GTNN của các hàm này.
a] y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
+] Xét hàm số trên tập D = [-4; 4]
- Ta có: y' = 3x2 - 6x - 9 = 0 ⇔ x = –1 [∈ D] hoặc x = 3 [∈ D] nên:
y[-4] = [-4]3 - 3[-4]2 - 9[-4] + 35 = -41
y[-1] = [-1]3 - 3[-1]2 - 9[-1] + 35 = 40
y[3] = [3]3 - 3[3]2 - 9[3] + 35 = 8
y[4] = [4]3 - 3[4]2 - 9[4] + 35 = 15
+] Xét hàm số trên tập D = [0; 5]
- Ta có: y' = 3x2 - 6x - 9 = 0 ⇔ x = –1 [∉ D] hoặc x = 3 [∈ D] nên:
y[0] = 35; y[3] = 8; y[5] = 40.
b] y = x4 - 3x2 + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5]
- Ta có:
+] Xét D = [0; 3], có:
- Ta có:
- Vậy
+] Xét D = [2; 5], có:
- Ta có:
- Vậy
* Ví dụ 2 [Câu c Bài 1 trang 23-24 SGK Giải tích 12]: Tìm GTLN và GTNN của hàm số hữu tỉ:
° Lời giải
- Ta có:
- Tính:
+] Với D = [2; 4] có: y[2] = 0; y[4] = 2/3
- Vậy
+] Với D = [-3; -2] có: y[-3] = 5/4; y[-2] = 4/3
- Vậy
* Ví dụ 3 [Câu d Bài 1 trang 23-24 SGK Giải tích 12]: Tìm GTLN và GTNN của hàm số chứa căn:
° Lời giải:
d]
- Ta có: TXĐ:
- Xét tập D = [-1;1] có:
- Ta có:
- Vậy
* Ví dụ 4 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác: f[x] = 2cos2x + 2cosx - 1
° Lời giải:
- Ở đây ta thấy hàm cosx có dạng pt bậc 2 nên dùng phương pháp đặt ẩn phụ như sau:
- Đặt t = cosx, t ∈ [-1; 1], ta có:
g[t] = 2t2 + 2t - 1 với t ∈ [-1; 1].
- Ta có:
- Vậy hàm số g[t] đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi:
và đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3/2 khi:
* Ví dụ 5 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác: f[x] = cos2x + 2sinx - 3 với
° Lời giải:
- Từ công thức có cos2x = 1 - 2sin2x, ta có:
f[x] = 1 - 2sin2x + 2sinx - 3 = -2sin2x + 2sinx - 2
- Đặt t = sinx; ta có:
- Ta có: g[t] = -2t2 + 2t - 2
- Tính được:
- Vậy:
° Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị của nhất của hàm số trên khoảng [a;b].
* Phương pháp giải:
• Để tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một khoảng [không phải đoạn, tức X ≠ [a;b]], ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tìm tập xác định D và tập X
- Bước 2: Tính y' và giải phương trình y' = 0.
- Bước 3: Tìm các giới hạn khi x dần tới các điểm đầu khoảng của X.
- Bước 4: Lập bảng biến thiên [BBT] của hàm số trên tập X
- Bước 5: Dựa vào BBT suy ra GTLN, GTNN của hàm số trên X.
* Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau:
° Lời giải:
- Ta có: D = [0; +∞]
- Ta thấy x = -2 ∉ [0; +∞] nên loại, mặt khác:
- Ta có bảng biến thiên:
- Từ BBT ta kết luận:
* Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
° Lời giải:
- TXĐ: R{1}
- Ta có:
- Ta thấy x = 0 ∉ [1; +∞] nên loại, mặt khác:
- Ta có bảng biến thiên sau:
- Từ bảng biến thiên ta kết luận:
Như vậy, các em để ý để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ta có thể sử một trong hai phương pháp là lập bảng biến thiên hoặc không lập bảng biến thiên. Tùy vào mỗi bài toán mà chúng ta lựa chọn phương pháp phù hợp để giải.
Thực tế thì với bài toán tìm GTLN, GTNN trên đoạn chúng ta thường ít khi sử dụng pp lập bảng biến thiên. Lập bảng biến thiên thường sử dụng cho bài toán tìm GTLN và GTNN trên khoảng.
Ngoài ra, bài toán về GTLN và GTNN còn được vận dụng để biện luận nghiệm của phương trình [hoặc bất phương] trình dạng f[x] = g[m] [hay f[x] < g[m]] mà HayHocHoi sẽ giới thiệu với các em ở chuyên đề sau.